1、2007年高考數(shù)學(xué)試題分類詳解立體幾何一、選擇題1（全國1文理7）如圖，正棱柱中，則異面直線與所成角的余弦值為a b c d解如圖，連接bc1，a1c1，a1bc1是異面直線與所成的角，設(shè)ab=a，aa1=2a， a1b=c1b=a，a1c1=a，a1bc1的余弦值為，選d。2、（山東文理3）下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個視圖相同的是（ ）正方形圓錐三棱臺正四棱錐abcd【答案】d【分析】： 正方體的三視圖都相同，而三棱臺的三視圖各不相同，正確答案為d。3、（天津理6） 設(shè)為兩條直線，為兩個平面.下列四個命題中，正確的命題是( )a.若與所成的角相等，則b.若，則c.若則d.若則【答案

2、】d【分析】對于a當(dāng)與均成時就不一定；對于b只需找個，且即可滿足題設(shè)但不一定平行；對于c可參考直三棱柱模型排除，故選d4、（天津文6）設(shè)為兩條直線，為兩個平面，下列四個命題中，正確的命題是（ ）a若與所成的角相等，則b若，則c若，則d若，則【解析】項中若與所成的角相等，則可以平行、相交、異面故錯；項中若，則可以平行、異面故錯；項中若則可以平行、相交；而d項是對，因為此時所成的角與所成的角是相等或是互補的，則5、（廣東文6）若是互不相同的空間直線，是不重合的平面，則下列命題中為真命題的是 【解析】逐一判除,易得答案(d).6、（全國2理7）已知正三棱柱abca1b1c1的側(cè)棱長與底面邊長相等，則

3、ab1與側(cè)面acc1a1所成角的正弦等于(a) (b) (c) (d) 解已知正三棱柱abca1b1c1的側(cè)棱長與底面邊長相等，取a1c1的中點d1，連接bd1，ad1，b1ad1是ab1與側(cè)面acc1a1所成的角，選a。 7、（全國2文7）已知三棱錐的側(cè)棱長的底面邊長的2倍，則側(cè)棱與底面所成角的余弦值等于（ ）abcd解已知三棱錐的側(cè)棱長的底面邊長的2倍，設(shè)底面邊長為1，側(cè)棱長為2，連接頂點與底面中心，則側(cè)棱在底面上的射影長為，所以側(cè)棱與底面所成角的余弦值等于，選a。8、(安徽文6)設(shè)均為直線,其中在平面內(nèi)，則“l(fā)”是“”的(a)充分不必要條件(b)必要不充分條件(c)充分必要條件(d)既不

4、充分也不必要條件解析：設(shè)均為直線,其中在平面內(nèi)，若“l(fā)”則“”，反之若“”，當(dāng)m/n時，無法判斷“l(fā)”，所以“l(fā)”是“”的充分不必要條件，選a。9、(安徽文10)把邊長為的正方形abcd沿對角線ac折成直二面角,折成直二面角后,在a,b,c,d四點所在的球面上,b與d兩點之間的球面距離為(a)(b)(c)(d) 解析：把邊長為的正方形abcd沿對角線ac折成直二面角,折成直二面角后,在a,b,c,d四點所在的球面上,球的半徑為1，b與d兩點恰好是兩條垂直的半徑的端點，它們之間的球面距離為個大圓周長，即，選c。10、(安徽理2)設(shè)l,m,n均為直線，其中m,n在平面內(nèi)，“l(fā)”是“l(fā)m且ln”的（

5、a）充分不必要條件 （b）必要不充分條件(c)充分必要條件 （d）既不充分也不必要條件解析：設(shè)l,m,n均為直線，其中m,n在平面內(nèi)，“l(fā)”，則“l(fā)m且ln”，反之若“l(fā)m且ln”，當(dāng)m/n時，推不出“l(fā)”， “l(fā)”是“l(fā)m且ln”的充分不必要條件，選a。11、（安徽理8）半徑為1的球面上的四點是正四面體的頂點，則與兩點間的球面距離為 （a）（b）（c）（d）解析：半徑為1的球面上的四點是正四面體的頂點，設(shè)ab=a，p為bcd的中心，o為球心，則ob=1，op=，bp=a，由解得， 由余弦定理得aob=arcos()， 與兩點間的球面距離為，選c。12、（北京文7理3）平面平面的一個充分條件是

6、（）存在一條直線存在一條直線存在兩條平行直線存在兩條異面直線解析：平面平面的一個充分條件是存在兩條異面直線，選 13、（江蘇4）已知兩條直線，兩個平面，給出下面四個命題：（c） 其中正確命題的序號是a b c d解析：用線面垂直的性質(zhì)和面面平行的性質(zhì)可判斷 正確，中m,n可以平行或異面中n可以在內(nèi) 選c14、（福建理8文9）已知m、n為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，則下列命題中正確的是a.，n b.，mnc.m，mnnd.nm,nm解析：a中m、n少相交條件，不正確；b中分別在兩個平行平面的兩條直線不一定平行，不正確；c中n可以在內(nèi)，不正確，選d15、（福建理10）頂點在同一球面上的正四棱

7、柱abcdabcd中，ab1，aa，則a、c兩點間的球面距離為a b c d 解析：正四棱柱的對角線為球的直徑，由4r2=1+1+2=4得r=1，ac=，所以aoc=（其中o為球心）a、c兩點間的球面距離為，選b16、（福建文6）如圖，在正方體abcd-a1b1c1d1中，e、f、g、h分別為aa1、ab、bb1、bc1的中點，則異面直線ef與gh所成的角等于a.45b.60 c.90d.120解析：連a1b、bc1、a1c1，則a1b=bc1=a1c1，且efa1b、ghbc1，所以異面直線ef與gh所成的角等于.60，選b17、（湖南理8）棱長為1的正方體的8個頂點都在球的表面上，分別是棱

8、，的中點，則直線被球截得的線段長為（ ）abcd【答案】d.【解析】正方體對角線為球直徑，所以，在過點e、f、o的球的大圓中，由已知得d=，所以ef=2r=。18、（湖南文6）如圖1，在正四棱柱 中，e、f分別是的中點，則以下結(jié)論中不成立的是a b. c. d. 【答案】d圖1【解析】連b1c，則b1c交bc1于f且f為bc1中點，三角形b1ac中ef，所以ef平面abcd，而b1b面abcd，所以；又acbd，所以，。由ef，aca1c1得efa1c119、（江西理7）如圖，正方體的棱長為，過點作平面的垂線，垂足為點，則以下命題中，錯誤的命題是（）點是的垂心垂直平面的延長線經(jīng)過點直線和所成角

9、為解析：因為三棱錐a是正三棱錐，故頂點a在底面的射映是底面中心，a正確；面面，而ah垂直平面，所以ah垂直平面，b正確；根據(jù)對稱性知c正確。選d20、（江西文9）四面體的外接球球心在上，且，在外接球面上兩點間的球面距離是（）解析：由球心在上，且，得球的半徑r=1，選c.abcda1b1c1d121、（湖北理4）平面外有兩條直線和，如果和在平面內(nèi)的射影分別是和，給出下列四個命題：；與相交與相交或重合；與平行與平行或重合其中不正確的命題個數(shù)是（）1234答案：選解析：由射影的概念以及線線垂直關(guān)系的判定方法，可知均錯, 具體可觀察如圖的正方體： 但不垂直，故錯；但在底面上的射影都是 故錯；相交，但異

10、面，故錯；但異面，故錯22、（湖北文5）在棱長為1的正方體abcda1b1c1d1中，e、f分別為棱aa1、bb1的中點，g為棱a1b1上的一點，且a1g=（01），則點g到平面d1ef的距離為a.b.c.d.答案：選d解析：因為a1b1ef，g在 a1b1上，在所以g到平面d1ef的距離即是a1到面d1ef的距離，即是a1到d1e的距離，d1e=，由三角形面積可得所求距離為，故選d23、（浙江理6）若兩條異面直線外的任意一點，則（）過點有且僅有一條直線與都平行過點有且僅有一條直線與都垂直過點有且僅有一條直線與都相交過點有且僅有一條直線與都異面【答案】：b【分析】：設(shè)過點p的直線為，若與l、m

11、都平行，則l、m平行，與已知矛盾，故選項a錯誤。由于l、m只有惟一的公垂線，而過點p與公垂線平行的直線只有一條，故b正確。對于選項c、d可參考右圖的正方體，設(shè)ad為直線l，為直線m;若點p在p1點，則顯然無法作出直線與兩直線都相交，故選項c錯誤。若p在p2點，則由圖中可知直線均與l、m異面，故選項d錯誤。24、(浙江文7)若p是兩條異面直線l、m外的任意一點，則(a)過點p有且僅有一條直線與l、m都平行(b)過點p有且僅有一條直線與l、m都垂直(c)過點p有且僅有一條直線與l、m都相交(d)過點p有且僅有一條直線與l、m都異面【答案】：b【分析】：設(shè)過點p的直線為，若與l、m都平行，則l、m平

12、行，與已知矛盾，故選項a錯誤。由于l、m只有惟一的公垂線，而過點p與公垂線平行的直線只有一條，故b正確。對于選項c、d可參考右圖的正方體，設(shè)ad為直線l，為直線m;若點p在p1點，則顯然無法作出直線與兩直線都相交，故選項c錯誤。若p在p2點，則由圖中可知直線均與l、m異面，故選項d錯誤。25、（海、寧理文8）已知某個幾何體的三視圖如下，根據(jù)圖中2020正視圖20側(cè)視圖101020俯視圖標(biāo)出 的尺寸（單位：cm），可得這個幾何體的體積是（）【答案】：b【分析】：如圖， 26、（海、寧理12）一個四棱錐和一個三棱錐恰好可以拼接成一個三棱柱.這個四棱錐的底面為正方形，且底面邊長與各側(cè)棱長相等，這個三

13、棱錐的底面邊長與各側(cè)棱長也都相等設(shè)四棱錐、三棱錐、三棱柱的高分別為，則（）【答案】：b【分析】：如圖，設(shè)正三棱錐的各棱長為，則四棱錐的各棱長也為， 于是 27、（海、寧文11）已知三棱錐的各頂點都在一個半徑為的球面上，球心在上，底面，則球的體積與三棱錐體積之比是（） 【答案】：d【分析】：如圖， 28、（重慶理3）若三個平面兩兩相交，且三條交線互相平行，則這三個平面把空間分成（ ）a5部分 b.6部分 c.7部分 d.8部分【答案】：c【分析】：可用三線表示三個平面，如圖，將空間分成7個部分。29、（遼寧文6理7）若是兩條不同的直線，是三個不同的平面，則下列命題中的真命題是（ ）a若，則b若，

14、則c若，則d若，則解析：由有關(guān)性質(zhì)排除a、b、d，選c30、（四川文理4）如圖，為正方體，下面結(jié)論錯誤的是（）（a）平面（b）（c）平面（d）異面直線與所成的角為解析：選d顯然異面直線與所成的角為31、（四川文理6）設(shè)球的半徑是1，、是球面上三點，已知到、兩點的球面距離都是，且二面角的大小是，則從點沿球面經(jīng)、兩點再回到點的最短距離是（）（a）（b）（c）（d）解析：選c本題考查球面距離32、（陜西理6）一個正三棱錐的四個頂點都在半徑為1的球面上，其中底面的三個頂點在該球的一個大圓上，則該正三棱錐的體積是zxxk.com （a） (b) (c) (d) zxxk.com解析：正三棱錐的高為1，由

15、平面幾何知識知底面邊長為，體積為，選c33、（陜西理10）已知平面平面，直線m，直線n，點am,點bn，記點a、b之間的距離為a,點a到直線n的距離為b,直線m和n的距離為c,則zxxk.coma.bac b.acbc. cab d. cbazxxk.com解析：由圖知c最小，a最大，選d34、（陜西文7）rtabc的三個頂點在半徑為13的球面上，兩直角邊的長分別為6和8，則球心到平面abc的距離是（a）5（b）6（c）10（d）12解析：rtabc的斜邊長為10，且斜邊是rtabc所在截面的直徑，球心到平面abc的距離是d=，選d35、（陜西文10）已知p為平面a外一點，直線la,點ql,記

16、點p到平面a的距離為a,點p到直線l的距離為b，點p、q之間的距離為c，則（a）（b）c(c) (d)解析：由圖可知a最小，c最大，選a二、填空題1、（全國1理16）一個等腰直角三角形的三個頂點分別在正三棱柱的三條側(cè)棱上，已知正三棱柱的底面邊長為2，則該三角形的斜邊長為_。解一個等腰直角三角形def的三個頂點分別在正三棱柱的三條側(cè)棱上，edf=90，已知正三棱柱的底面邊長為ab=2，則該三角形的斜邊ef上的中線dg=， 斜邊ef的長為2。2、（天津理12） 一個長方體的各頂點均在同一球面上，且一個頂點上的三條棱的長分別為則此球的表面積為.【答案】【分析】長方體外接球直徑長等于長方體體對角線長，

17、即，由3、（天津文13）一個長方體的各頂點均在同一球的球面上，且一個頂點上的三條棱的長分別為，則此球的表面積為 解.【解析】長方體的各頂點均在同一球的球面上則長方體的體對角線長為球的直徑，設(shè)球的直徑為則：，由于球的表面積為:.4、（全國1文15）正四棱錐的底面邊長和各側(cè)棱長都為，點s、a、b、c、d都在同一個球面上，則該球的體積為_。解正四棱錐的底面邊長和各側(cè)棱長都為，點s、a、b、c、d都在同一個球面上，則該球的球心恰好是底面abcd的中心，球的半徑是1，體積為。5、（全國2文理15）一個正四棱柱的各個頂點在一個直徑為2cm的球面上。如果正四棱柱的底面邊長為1cm，那么該棱柱的表面積為 cm

18、2.解一個正四棱柱的各個頂點在一個直徑為2cm的球面上。正四棱柱的對角線的長為球的直徑，現(xiàn)正四棱柱底面邊長為1cm，設(shè)正四棱柱的高為h， 2r=2=，解得h=，那么該棱柱的表面積為2+4cm2.6、(安徽理15)在正方體上任意選擇4個頂點，它們可能是如下各種幾何形體的4個頂點，這些幾何形體是 （寫出所有正確結(jié)論的編號）.矩形；不是矩形的平行四邊形；有三個面為等腰直角三角形，有一個面為等邊三角形的四面體；每個面都是等邊三角形的四面體；每個面都是直角三角形的四面體.解析：在正方體abcda1b1c1d1上任意選擇4個頂點，它們可能是如下各種幾何形體的4個頂點，這些幾何形體是矩形如acc1a1；.

19、有三個面為等腰直角三角形，有一個面為等邊三角形的四面體，如aa1bd；每個面都是等邊三角形的四面體，如acb1d1；每個面都是直角三角形的四面體，如aa1dc，所以填。7、（江蘇14）正三棱錐高為2，側(cè)棱與底面所成角為，則點到側(cè)面的距離是.解析：設(shè)p在 底面abc上的射影為o，則po=2，且o是三角形abc的中心，設(shè)底面邊長為a,則 設(shè)側(cè)棱為b則 斜高 。由面積法求 到側(cè)面的距離 8、（上海理10）平面內(nèi)兩直線有三種位置關(guān)系：相交，平行與重合。已知兩個相交平面與兩直線，又知在內(nèi)的射影為，在內(nèi)的射影為。試寫出與滿足的條件，使之一定能成為是異面直線的充分條件 【答案】 ，并且與相交（，并且與相交）

20、【解析】 作圖易得“能成為是異面直線的充分條件”的是“，并且與相交”或“，并且與相交”。a9、（上海文7）如圖，在直三棱柱中， ，則異面直線與所成角的 大小是 （結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）【答案】【解析】異面直線與所成角為，易求，。10、（湖南文15）棱長為1的正方形的8個頂點都在球o的表面上，則球o的表面積是 ；設(shè)分別是該正方形的棱的中點，則直線被球o截得的線段長為 .【答案】，【解析】正方體對角線為球直徑，所以，所以球的表面積為；由已知所求ef是正方體在球中其中一個截面的直徑，d=，所以，所以ef=2r=。11、（江西文16）如圖，正方體的棱長為1，過點a作平面的垂線，垂足為點有下列四個命題

21、點是的垂心垂直平面二面角的正切值為點到平面的距離為其中真命題的代號是（寫出所有真命題的代號）解析：因為三棱錐a是正三棱錐，故頂點a在底面的射映是底面中心，a正確；面面，而ah垂直平面，所以ah垂直平面，b正確；連接即為二面角的平面角, c正確; 對于d, 連接面,故點是的三等分點,故點到平面的距離為從而d錯.則應(yīng)填a，b，c.12、（浙江理16）已知點在二面角的棱上，點在內(nèi)，且若對于內(nèi)異于的任意一點，都有，則二面角的大小是【答案】： 【分析】：設(shè)直線op與平面所成的角為,由最小角原理及恒成立知,只有作于h, 則面,故為.13、(浙江文17)已知點o在二面角ab的棱上，點p在內(nèi)，且pob45若對

22、于內(nèi)異于o的任意一點q，都有poq45，則二面角ab的取值范圍是_【答案】： 【分析】：若二面角ab的大小為銳角，則過點p向平面作垂線,設(shè)垂足為h.過h作ab的垂線交于c,連pc、ch、oh，則就是所求二面角的平面角. 根據(jù)題意得，由于對于內(nèi)異于o的任意一點q，都有poq45，設(shè)po=，則又pob45，oc=pc=，而在中應(yīng)有pcph ,顯然矛盾，故二面角ab的大小不可能為銳角。即二面角的范圍是。若二面角ab的大小為直角或鈍角，則由于pob45，結(jié)合圖形容易判斷對于內(nèi)異于o的任意一點q，都有poq45。即二面角的范圍是。14、（遼寧文理15）若一個底面邊長為，棱長為的正六棱柱的所有頂點都在一個

23、平面上，則此球的體積為 解析：根據(jù)條件正六棱柱的最長的對角線為球的直徑，由得r=，球體積為15、（四川文理14）在正三棱柱中，側(cè)棱長為，底面三角形的邊長為1，則與側(cè)面所成的角是_解析：，點到平面的距離為， 三、解答題：1（全國理19）四棱錐sabcd中，底面abcd為平行四邊形，側(cè)面sbc底面abcd。已知abc45，ab2，bc=2，sasb。()證明：sabc；()求直線sd與平面sab所成角的大??；解答：解法一：（）作，垂足為，連結(jié)，由側(cè)面底面，得底面因為，所以，又，故為等腰直角三角形，由三垂線定理，得dbcas（）由（）知，依題設(shè)，故，由，得，的面積連結(jié)，得的面積設(shè)到平面的距離為，由于

24、，得，解得設(shè)與平面所成角為，則所以，直線與平面所成的我為解法二：（）作，垂足為，連結(jié)，由側(cè)面底面，得平面因為，所以又，為等腰直角三角形，dbcas如圖，以為坐標(biāo)原點，為軸正向，建立直角坐標(biāo)系，所以（）取中點，連結(jié)，取中點，連結(jié)，與平面內(nèi)兩條相交直線，垂直所以平面，與的夾角記為，與平面所成的角記為，則與互余，所以，直線與平面所成的角為2、（全國理19）如圖，在四棱錐s-abcd中，底面abcd為正方形，側(cè)棱sd底面abcd，e、f分別是ab、sc的中點。abcdpef第38題圖第39題圖()求證：ef平面sad；()設(shè)sd = 2cd，求二面角aefd的大?。唤夥ㄒ唬海?）作交于點，則為的中點連

25、結(jié)，又，故為平行四邊形，又平面平面所以平面（2）不妨設(shè)，則為等腰直角三角形取中點，連結(jié)，則又平面，所以，而，aaebcfsdgmyzx所以面取中點，連結(jié)，則連結(jié)，則故為二面角的平面角所以二面角的大小為解法二：（1）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)，則，取的中點，則平面平面，所以平面（2）不妨設(shè)，則中點又，所以向量和的夾角等于二面角的平面角所以二面角的大小為3、（北京理16）如圖，在中，斜邊可以通過以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角是直二面角動點的斜邊上（i）求證：平面平面；（ii）當(dāng)為的中點時，求異面直線與所成角的大??；（iii）求與平面所成角的最大值解法一：（i）由題意，是二面角是直二面角，又二面角是直

26、二面角，又，平面，又平面平面平面（ii）作，垂足為，連結(jié)（如圖），則，是異面直線與所成的角在中，又在中，異面直線與所成角的大小為（iii）由（i）知，平面，是與平面所成的角，且當(dāng)最小時，最大，這時，垂足為，與平面所成角的最大值為解法二：（i）同解法一（ii）建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，異面直線與所成角的大小為（iii）同解法一4、（安徽理17）如圖，在六面體abcda1b1c1d1中，四邊形abcd是邊長為2的正方形，四邊形a1b1c1d1是邊長為1的正方形，dd1平面a1b1c1d1，dd1平面abcd，dd12。（）求證：a1c1與ac共面，b1d1與bd共面；（）求證：平面a1acc1

27、平面b1bdd1；（）求二面角abb1c的大小（用反三角函數(shù)值圾示）；5、（福建理18）如圖，正三棱柱abca1b1c1的所有棱長都為2，d為cc1中點。（）求證：ab1面a1bd；（）求二面角aa1db的大??；（）求點c到平面a1bd的距離；分析：本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系，二面角的大小，點到平面的距離等知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力滿分12分解答：解法一：（）取中點，連結(jié)為正三角形，abcdof正三棱柱中，平面平面，平面連結(jié)，在正方形中，分別為的中點，在正方形中，平面（）設(shè)與交于點，在平面中，作于，連結(jié)，由（）得平面，為二面角的平面角在中，由等面積法可求得，又，所以

28、二面角的大小為（）中，在正三棱柱中，到平面的距離為設(shè)點到平面的距離為由得，點到平面的距離為解法二：（）取中點，連結(jié)為正三角形，在正三棱柱中，平面平面，平面取中點，以為原點，的方向為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，xzabcdofy，平面（）設(shè)平面的法向量為，令得為平面的一個法向量由（）知平面，為平面的法向量，二面角的大小為（）由（），為平面法向量，點到平面的距離6、（廣東理19）如圖6所示，等腰abc的底邊ab=6，高cd=3，點b是線段bd上異于點b、d的動點.點f在bc邊上，且efab.現(xiàn)沿ef將bef折起到pef的位置，使peae。記bex，v(x)表示四棱錐pacfe的體積。（）求v

29、(x)的表達(dá)式；（）當(dāng)x為何值時，v(x)取得最大值？（）當(dāng)v(x)取得最大值時，求異面直線ac與pf所成角的余弦值；33（湖北理18題）如圖，在三棱錐v-abc中，vc底面abc，acbc，d是ab的中點，且ac=bc=a，vdc=。（）求證：平面vab平面vcd ；（）當(dāng)角變化時，求直線bc與平面vab所成的角的取值范圍；分析：本小題主要考查線面關(guān)系、直線與平面所成角的有關(guān)知識，考查空間想象能力和推理運算能力以及應(yīng)用向量知識解決數(shù)學(xué)問題的能力解答：解法1：（），是等腰三角形，又是的中點，又底面于是平面又平面，平面平面（） 過點在平面內(nèi)作于，則由（）知平面連接，于是就是直線與平面所成的角ad

30、bchv在中，；設(shè)，在中，又，即直線與平面所成角的取值范圍為解法2：（）以所在的直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，于是，從而，即同理，即又，平面又平面平面平面（）設(shè)直線與平面所成的角為，平面的一個法向量為，adbcvxyz則由得可取，又，于是，又，即直線與平面所成角的取值范圍為解法3：（）以點為原點，以所在的直線分別為軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，于是，從而，即同理，即又，平面又平面，平面平面（）設(shè)直線與平面所成的角為，平面的一個法向量為，adbcvxy則由，得可取，又，于是，又，即直線與平面所成角的取值范圍為解法4：以所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的

31、空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)adbcvxyz（），即，即又，平面又平面，平面平面（）設(shè)直線與平面所成的角為，設(shè)是平面的一個非零法向量，則取，得可取，又，于是，關(guān)于遞增，即直線與平面所成角的取值范圍為aebgdfcaebcfdg1g2圖1圖27、（湖南理18）如圖1，分別是矩形的邊的中點，是上的一點，將，分別沿翻折成，并連結(jié)，使得平面平面，且連結(jié)，如圖2（i）證明：平面平面；（ii）當(dāng)，時，求直線和平面所成的角；解：解法一：（）因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面（ii）過點作于點，連結(jié)由（i）的結(jié)論可知，平面，所以是和平面所成的角因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，故因為，

32、所以可在上取一點，使，又因為，所以四邊形是矩形由題設(shè)，則所以，因為平面，所以平面，從而故，又，由得故即直線與平面所成的角是解法二：（i）因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，從而又，所以平面因為平面，所以平面平面（ii）由（i）可知，平面故可以為原點，分別以直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），由題設(shè)，則，相關(guān)各點的坐標(biāo)分別是，所以，設(shè)是平面的一個法向量，由得故可取過點作平面于點，因為，所以，于是點在軸上因為，所以，設(shè)（），由，解得，所以設(shè)和平面所成的角是，則故直線與平面所成的角是abcda1d1c1b1gmhfe8、（江蘇理18）如圖，已知是棱長為3的正方體，點在上，點在上，且。（i

33、）求證：四點共面；（4分）（ii）若點在上，點在上，垂足為，求證：面；（）用表示截面和面所成銳二面角大小，求。9、（江西理20）右圖是一個直三棱柱（以a1b1c1為底面）被一平面所截得到的幾何體，截面為abc已知a1b1b1c1l，alblc190，aal4，bbl2，ccl3。（i）設(shè)點o是ab的中點，證明：oc平面a1b1c1；（ii）求二面角baca1的大小；（）求此幾何體的體積；解法一：（1）證明：作交于，連則因為是的中點，所以則是平行四邊形，因此有平面且平面，則面（2）如圖，過作截面面，分別交，于，作于，連因為面，所以，則平面又因為，所以，根據(jù)三垂線定理知，所以就是所求二面角的平面角

34、因為，所以，故，即：所求二面角的大小為（3）因為，所以所求幾何體體積為解法二：（1）如圖，以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，則，因為是的中點，所以，待添加的隱藏文字內(nèi)容3易知，是平面的一個法向量因為，平面，所以平面（2），設(shè)是平面的一個法向量，則則，得：取，顯然，為平面的一個法向量則，結(jié)合圖形可知所求二面角為銳角所以二面角的大小是（3）同解法一10、（遼寧理18）如圖，在直三棱柱中，分別為棱的中點，為棱上的點，二面角為。（i）證明：；（ii）求的長，并求點到平面的距離。11、（海南、寧夏理19）如圖，在三棱錐中，側(cè)面與側(cè)面均為等邊三角形，為中點（）證明：平面；（）求二面角的余弦值證明：（）由題設(shè)，連

35、結(jié)，為等腰直角三角形，所以，且，又為等腰三角形，故，且，從而所以為直角三角形，又所以平面（）解法一：取中點，連結(jié)，由（）知，得為二面角的平面角由得平面所以，又，故所以二面角的余弦值為解法二：以為坐標(biāo)原點，射線分別為軸、軸的正半軸，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系設(shè)，則的中點，故等于二面角的平面角，所以二面角的余弦值為12、（陜西理19）如圖,在底面為直角梯形的四棱錐中，,bc=6。()求證：；()求二面角的大??；解法一：（）平面，平面又，即又平面（）過作，垂足為，連接平面，是在平面上的射影，由三垂線定理知，為二面角的平面角aedpcbf又，又，由得在中，二面角的大小為解法二：（）如圖，建立坐標(biāo)系，則，aedpcbyzx，又，平面（）設(shè)平面的法