1、北京市朝陽區2014-2015學年高二上學期期末數學試卷（理科）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1（5分）橢圓+=1的離心率是（）abcd2（5分）已知兩條不同的直線a，b和平面，那么下列命題中的真命題是（）a若ab，b，則ab若a，b，則abc若a，b，則abd若ab，b，則a3（5分）直線截圓x2+y2=4所得劣弧所對圓心角為（）abcd4（5分）已知a，b是兩條不同的直線，且b平面，則“ab”是“a”的（）a充分且不必要條件b必要且不充分條件c充分必要條件d既不充分也不必要條件5（5分）已知拋物線x2=4y上的一點m到

2、此拋物線的焦點的距離為3，則點m的縱坐標是（）a0bc26（5分）某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的體積為（）a2b4c8d127（5分）已知雙曲線m的焦點與橢圓+=1的焦點相同如果直線y=x是m的一條漸近線，那么m的方程為（）a=1b=1c=1d=18（5分）給出如下四個命題：已知p，q都是命題，若pq為假命題，則p，q均為假命題；命題“若ab，則3a3b1”的否命題為“若ab，則3a3b1”；命題“對任意xr，x2+10”的否定是“存在x0r，x02+10”；“a0”是“xr，使得ax2+x+10”的充分必要條件其中正確命題的序號是（）abcd9（5分）已知點a的坐標為（1，0），點p

3、（x，y）（x1）為圓（x2）2+y2=1上的任意一點，設直線ap的傾斜角為，若|ap|=d，則函數d=f（）的大致圖象是（）abcd10（5分）已知e，f分別為正方體abcda1b1c1d的棱ab，aa1上的點，且ae=ab，af=aa1，m，n分別為線段d1e和線段c1f上的點，則與平面abcd平行的直線mn有（）a1條b3條c6條d無數條二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分，答案寫在答題卡上.11（5分）在空間直角坐標系中，點（4，1，2）與原點的距離是12（5分）以橢圓的右焦點為焦點，且頂點在原點的拋物線標準方程為13（5分）已知f1，f2是橢圓c：+=1的兩個焦點，過f1

4、的直線與橢圓c交于m，n兩點，則f2mn的周長為14（5分）如圖，某三棱柱的正視圖中的實線部分是邊長為4的正方形，俯視圖是等邊三角形，則該三棱柱的側視圖的面積為15（5分）已知拋物線c：y2=2x的焦點為f，拋物線c上的兩點a，b滿足=2若點t（，0），則的值為16（5分）已知等邊abc的邊長為2，沿abc的高ad將bad折起到bad，使得bc=，則此時四面體badc的體積為，該四面體外接球的表面積為三、解答題：本大題共4小題，共40分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟17（10分）在四棱柱abcda1b1c1d1中，底面abcd是矩形，側棱dd1平面abcd，且ad=aa1=1，ab=

5、2（）求證：平面bcd1平面dcc1d1；（）求異面直線cd1與a1d所成角的余弦值18（10分）在底面是菱形的四棱錐pabcd中，abc=60，pa=ac=1，pb=pd=，點e在棱pd上，且pe：ed=2：1（）求證：pa平面abcd；（）求二面角paec的余弦值；（）在棱pc上是否存在點f，使得bf平面aec？若存在，確定點f的位置；若不存在，請說明理由19（10分）在平面直角坐標系xoy中，點a的坐標為（0，3），設圓c的半徑為，且圓心c在直線l：y=2x4上（）若圓心c又在直線y=x1上，過點a作圓c的切線，求此切線的方程；（）若圓c上存在點m，使得|ma|=2|mo|，求圓心c的橫

6、坐標的取值范圍20（10分）已知橢圓c：+=1（ab0）的離心率為，其短軸的一個端點到它的左焦點距離為2，直線l：y=kx與橢圓c交于m，n兩點，p為橢圓c上異于m，n的點（）求橢圓c的方程；（）若直線pm，pn的斜率都存在，判斷pm，pn的斜率之積是否為定值？若是，求出此定值，若不是，請說明理由；（）求pmn面積的最大值北京市朝陽區2014-2015學年高二上學期期末數學試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1（5分）橢圓+=1的離心率是（）abcd考點：橢圓的簡單性質 專題：圓錐曲線的定義、性質與

7、方程分析：由橢圓+=1，可得a2=25，b2=16，利用c2=a2b2可得c，再利用離心率計算公式即可得出解答：解：由橢圓+=1，可得a2=25，b2=16，a=5，c2=a2b2=9，解得c=3橢圓的離心率e=故選：a點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題2（5分）已知兩條不同的直線a，b和平面，那么下列命題中的真命題是（）a若ab，b，則ab若a，b，則abc若a，b，則abd若ab，b，則a考點：空間中直線與平面之間的位置關系 專題：空間位置關系與距離分析：利用線面垂直的性質以及線面平行即垂直的判定定理解答解答：解：對于a，若ab，b，那么a或者a，

8、故a錯誤；對于b，若a，b，則a，b可能平行、相交或者異面；故b錯誤；對于c，如果a，b，則ab，正確；對于d，若ab，b，則a或者a，故d錯誤；故選c點評：本題考查了線面垂直、線面平行的性質、直線平行的性質，熟練運用定理是關鍵3（5分）直線截圓x2+y2=4所得劣弧所對圓心角為（）abcd考點：直線與圓的位置關系 分析：先解劣弧所對圓心角的一半，就是利用弦心距和半徑之比求之解答：解：圓到直線的距離為：=1，又因為半徑是2，設劣弧所對圓心角的一半為，cos=0.5，=60，劣弧所對圓心角為120故選 d點評：直線與圓的關系中，弦心距、半徑、弦長的關系，是2015屆高考考點，本題是基礎題4（5分

9、）已知a，b是兩條不同的直線，且b平面，則“ab”是“a”的（）a充分且不必要條件b必要且不充分條件c充分必要條件d既不充分也不必要條件考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷 專題：簡易邏輯分析：根據充分必要條件的定義分別判斷其充分性和必要性即可解答：解：若ab，則a不一定垂直于，不是充分條件，若a，則ab，是必要條件，故選：b點評：本題考查了充分必要條件，考查了直線和平面的判定定理，是一道基礎題5（5分）已知拋物線x2=4y上的一點m到此拋物線的焦點的距離為3，則點m的縱坐標是（）a0bc2考點：拋物線的簡單性質 專題：圓錐曲線的定義、性質與方程分析：求得拋物線x2=4y的焦點為（0，1）

10、，準線方程為y=1，設m（m，n），則由拋物線的定義可得，可得n+1=3，即可求得點m的縱坐標解答：解：拋物線x2=4y的焦點為（0，1），準線方程為y=1，設m（m，n），則由拋物線的定義可得，m到此拋物線的焦點的距離即為m到準線的距離，即有n+1=3，解得n=2故選c點評：本題考查拋物線的定義、方程和性質，主要考查定義法的運用，以及準線方程的運用，屬于基礎題6（5分）某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的體積為（）a2b4c8d12考點：由三視圖求面積、體積 專題：計算題；空間位置關系與距離分析：根據三視圖判斷幾何體由兩部分組成，左邊部分是四棱錐，且四棱錐的底面是邊長為2的正方形，高為2；

11、右邊部分是三棱錐，且三棱錐的高為2，底面是直角邊長為2的等腰直角三角形，把數據代入棱錐的體積公式計算解答：解：由三視圖知幾何體的左邊部分是四棱錐，且四棱錐的底面是邊長為2的正方形，高為2；幾何體的右邊部分是三棱錐，且三棱錐的高為2，底面是直角邊長為2的等腰直角三角形，其直觀圖如圖：幾何體的體積v=222+222=4故選：b點評：本題考查了由三視圖求幾何體的體積，判斷幾何體的形狀及三視圖的數據所對應的幾何量是解答本題的關鍵7（5分）已知雙曲線m的焦點與橢圓+=1的焦點相同如果直線y=x是m的一條漸近線，那么m的方程為（）a=1b=1c=1d=1考點：橢圓的簡單性質 專題：圓錐曲線的定義、性質與方

12、程分析：由題意可設雙曲線的標準方程為，由直線y=x是m的一條漸近線，可得=由橢圓+=1的焦點為（3，0），可得c=3，再利用c2=a2+b2，解出即可解答：解：由題意可設雙曲線的標準方程為，直線y=x是m的一條漸近線，=橢圓+=1的焦點為（3，0），c=3，聯立，解得a2=3，b2=6m的方程為：故選：c點評：本題考查了圓錐曲線的標準方程及其性質等基礎知識與基本技能，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題8（5分）給出如下四個命題：已知p，q都是命題，若pq為假命題，則p，q均為假命題；命題“若ab，則3a3b1”的否命題為“若ab，則3a3b1”；命題“對任意xr，x2+10”的否定是“存在x

13、0r，x02+10”；“a0”是“xr，使得ax2+x+10”的充分必要條件其中正確命題的序號是（）abcd考點：命題的真假判斷與應用 專題：簡易邏輯分析：根據復合命題之間的關系進行判斷；根據否命題的定義進行判斷”；根據全稱命題的否定是特稱命題進行判斷；根據充分條件和必要條件的定義進行判斷解答：解：已知p，q都是命題，若pq為假命題，則p，q至少有一個為假命題，故錯誤；命題“若ab，則3a3b1”的否命題為“若ab，則3a3b1”；故正確，命題“對任意xr，x2+10”的否定是“存在x0r，x02+10”；故正確，若a0，則判別式=14a0，此時ax2+x+10有解，即“a0”是“xr，使得a

14、x2+x+10”的充分必要條件錯誤，故錯誤，故正確的命題為，故選：b點評：本題主要考查命題的真假判斷，根據復合命題，四種命題之間的關系以及含有量詞的命題的否定，充分條件和必要條件的定義是解決本題的關鍵9（5分）已知點a的坐標為（1，0），點p（x，y）（x1）為圓（x2）2+y2=1上的任意一點，設直線ap的傾斜角為，若|ap|=d，則函數d=f（）的大致圖象是（）abcd考點：函數的圖象 分析：分兩種情況考慮，當直線op過第一象限與當直線op過第四象限，畫出函數圖象，即可得到結果解答：解：當直線op過第一象限時，如圖：由于ab為直徑，故=，得到d=f（）=2cos（0），當直線op過第四象限

15、時，同理可得到d=f（）=2cos（）=2cos（），函數d=f（）的大致圖象：故選：d點評：此題考查了圓的標準方程，利用了數形結合的思想，弄清題意是解本題的關鍵10（5分）已知e，f分別為正方體abcda1b1c1d的棱ab，aa1上的點，且ae=ab，af=aa1，m，n分別為線段d1e和線段c1f上的點，則與平面abcd平行的直線mn有（）a1條b3條c6條d無數條考點：直線與平面平行的性質 專題：空間位置關系與距離分析：取bh=bb1，連接fh，在d1e上任取一點m，過m在面d1he中，作mg平行于ho，其中o滿足線段oe=d1e，再過g作gnfh，交c1f于n，連接mn，根據線面平行

16、的判定定理，得到gm平面abcd，ng平面abcd，再根據面面平行的判斷定理得到平面mng平面abcd，由面面平行的性質得到則mn平面abcd，由于m是任意的，故mn有無數條解答：解：取bh=bb1，連接fh，則fhc1d連接he，在d1e上任取一點m，過m在面d1he中，作mgho，交d1h于g，其中o為線段oe=d1e再過g作gnfh，交c1f于n，連接mn，由于gmho，hokb，kb平面abcd，gm平面abcd，所以gm平面abcd，同理由ngfh，可推得ng平面abcd，由面面平行的判定定理得，平面mng平面abcd，則mn平面abcd由于m為d1e上任一點，故這樣的直線mn有無數

17、條故選d點評：本題考查空間直線與平面的位置關系，主要是直線與平面平行的判斷和面面平行的判定與性質，考查空間想象能力和簡單推理能力二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分，答案寫在答題卡上.11（5分）在空間直角坐標系中，點（4，1，2）與原點的距離是考點：空間兩點間的距離公式 專題：空間位置關系與距離分析：根據空間兩點間的距離公式進行求解即可解答：解：根據兩點間的距離公式得點（4，1，2）與原點的距離是=，故答案為：點評：本題主要考查空間兩點間的距離公式的計算，比較基礎12（5分）以橢圓的右焦點為焦點，且頂點在原點的拋物線標準方程為y2=4x考點：拋物線的標準方程 專題：計算題；圓錐曲

18、線的定義、性質與方程分析：依題意，可求得橢圓+y2=1的右焦點，利用拋物線的簡單性質即可求得答案解答：解：橢圓+y2=1的右焦點f（，0），以f（，0）為焦點，頂點在原點的拋物線標準方程為y2=4x故答案為：y2=4x點評：本題考查拋物線的標準方程，考查橢圓與拋物線的簡單性質，屬于中檔題13（5分）已知f1，f2是橢圓c：+=1的兩個焦點，過f1的直線與橢圓c交于m，n兩點，則f2mn的周長為8考點：橢圓的簡單性質 專題：計算題；圓錐曲線的定義、性質與方程分析：利用橢圓的定義可知|f1m|+|f2m|和|f1n|+|f2n|的值，進而把四段距離相加即可求得答案解答：解：利用橢圓的定義可知，|f

19、1m|+|f2m|=2a=4，|f1n|+|f2n|=2a=4，mnf2的周長為|f1m|+|f2m|+f1n|+|f2n|=4+4=8故答案為：8點評：本題主要考查了橢圓的簡單性質解題的關鍵是利用橢圓的定義14（5分）如圖，某三棱柱的正視圖中的實線部分是邊長為4的正方形，俯視圖是等邊三角形，則該三棱柱的側視圖的面積為8考點：簡單空間圖形的三視圖 專題：空間位置關系與距離分析：由正視圖與俯視圖可知：該三棱柱是直三棱柱、高與底邊邊長都為4即可得出解答：解：由正視圖與俯視圖可知：該三棱柱是直三棱柱、高與底邊邊長都為4該三棱柱的側視圖的面積=8故答案為：8點評：本題考查了正三棱柱的三視圖及其側面積，

20、屬于基礎題15（5分）已知拋物線c：y2=2x的焦點為f，拋物線c上的兩點a，b滿足=2若點t（，0），則的值為2考點：拋物線的簡單性質 專題：平面向量及應用；圓錐曲線的定義、性質與方程分析：設a（，m），b（，n），y2=2x的焦點為f（，0），求得向量af，fb的坐標，運用向量共線的坐標表示，解方程可得m，n，進而得到a，b的坐標，再由兩點的距離公式計算即可得到解答：解：設a（，m），b（，n），y2=2x的焦點為f（，0），=（，m），=（，n），由=2，則有m=2n，m2+2n2=3，解得m=，n=，或m=，n=，即有a（1，），b（，）或a（1，），b（，）|ta|=，|tb|=則的

21、值為2故答案為：2點評：本題考查拋物線的方程和性質，主要考查拋物線的方程的運用，同時考查向量共線的坐標表示和兩點的距離公式的運用，屬于中檔題16（5分）已知等邊abc的邊長為2，沿abc的高ad將bad折起到bad，使得bc=，則此時四面體badc的體積為，該四面體外接球的表面積為考點：球的體積和表面積 專題：計算題；空間位置關系與距離；球分析：由題意可得，三棱錐bacd的三條側棱bdad、dcda，底面是等腰直角三角形，可得ad底面bcd，由三棱錐的體積公式計算即可得到；它的外接球就是它擴展為三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心連線的中點到頂點的距離，就是球的半徑，然后求球的體積即可解答：

22、解：根據題意可知三棱錐bacd的三條側棱bdad、dcda，由bd=cd=1，bc=，則底面是等腰直角三角形，則ad底面bcd，ad=，即有四面體badc的體積為11=；它的外接球就是它擴展為三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心連線的中點到頂點的距離，就是球的半徑，三棱柱abca1b1c1的中，底面邊長為1，1，由題意可得：三棱柱上下底面中點連線的中點，到三棱柱頂點的距離相等，說明中心就是外接球的球心，三棱柱abca1b1c1的外接球的球心為o，外接球的半徑為r，球心到底面的距離為，底面中心到底面三角形的頂點的距離為，球的半徑為r=四面體abcd外接球體積為：r3=（）3=故答案為：，點評：本

23、題考查線面垂直的判定定理和三棱錐的體積公式和球的體積公式的運用，同時考查空間想象能力，計算能力；三棱柱上下底面中點連線的中點，到三棱柱頂點的距離相等，說明中心就是外接球的球心，是本題解題的關鍵，仔細觀察和分析題意，是解好數學題目的前提三、解答題：本大題共4小題，共40分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟17（10分）在四棱柱abcda1b1c1d1中，底面abcd是矩形，側棱dd1平面abcd，且ad=aa1=1，ab=2（）求證：平面bcd1平面dcc1d1；（）求異面直線cd1與a1d所成角的余弦值考點：異面直線及其所成的角；平面與平面垂直的判定 專題：空間位置關系與距離；空間角分析

24、：（）由線面垂直得dd1bc，由矩形性質得dcbc由此能證明bc平面dcc1d1，從而得到平面bcd1平面dcc1d1（）取da，dc，dd1所在的直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系dxyz，由=，利用向量法能求出異面直線cd1與a1d所成角的余弦值解答：（本題滿分10分）（）證明：在四棱柱abcda1b1c1d1中，dd1平面abcd，dd1bc（2分）底面abcd是矩形，所以dcbc又dd1dc=d，bc平面dcc1d1又bc面bcd1，平面bcd1平面dcc1d1（5分）（）解：取da，dc，dd1所在的直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系dxyz，如圖所示，ad=aa1=1，ab

25、=2，則d（0，0，0），c（0，2，0），d1（0，0，1），a1（1，0，1），（7分）=（0，2，1），=（1，0，1），=（9分）異面直線cd1與a1d所成角的余弦值是（10分）點評：本題考查面面垂直的證明，考查異面直線所成角的求法，是中檔題題，解題時要注意線線、線面、面面間的位置關系和性質的合理運用，注意空間思維能力的培養18（10分）在底面是菱形的四棱錐pabcd中，abc=60，pa=ac=1，pb=pd=，點e在棱pd上，且pe：ed=2：1（）求證：pa平面abcd；（）求二面角paec的余弦值；（）在棱pc上是否存在點f，使得bf平面aec？若存在，確定點f的位置；若不存在

26、，請說明理由考點：用空間向量求平面間的夾角；直線與平面垂直的判定 專題：空間位置關系與距離；空間角分析：（）根據線面垂直的判定定理即可證明pa平面abcd；（）建立空間坐標系，利用向量法即可求二面角paec的余弦值；（）利用向量法，結合線面平行的判定定理進行求解即可解答：證明：（）因為底面abcd是菱形，且abc=60，所以abc是等邊三角形，所以ab=ad=ac=pa=1在pab中，pa=ab=1，pb=，所以pb2=pa2+ab2，即paab同理可證paad，且abad=a，所以pa平面abcd （3分）（）由（）知pa平面abcd，取cd中點g，連接ag由已知條件易知abag，如圖以a為

27、原點建立空間直角坐標系（4分）因為pa平面abcd，pa平面pad，所以平面abcd平面pad平面abcd平面pad=ad，取ad中點h，連接hc，則hcad所以hc平面pad所以是平面pad的法向量，也是平面pae的法向量a（0，0，0），d（，0），h（，0），c（，0），e（，），p（0，0，1），b（1，0，0），=（，0），=（，0），=（，），（5分）設平面aec的法向量為=（x，y，z），所以，則，令x=，則=（，1，2），（6分）所以cos，=由圖可知，二面角paec的平面角為鈍角，所以其余弦值為 （7分）（ iii）存在，點f是棱pc的中點設=（，1），（8分）則=（1，0，

28、1）+（，1）=（1+，1），由（ ii）知平面aec的法向量為=（，1，2）由已題知bf平面aec，等價于，即（1+，1）（，1，2）=（1+）+2（1）=0解得 （9分），所以點f是棱pc的中點（10分）點評：本題主要考查線面平行和垂直的判定，以及二面角的求解，建立空間坐標系，利用向量法是解決二面角的常用方法考查學生的運算和推理能力19（10分）在平面直角坐標系xoy中，點a的坐標為（0，3），設圓c的半徑為，且圓心c在直線l：y=2x4上（）若圓心c又在直線y=x1上，過點a作圓c的切線，求此切線的方程；（）若圓c上存在點m，使得|ma|=2|mo|，求圓心c的橫坐標的取值范圍考點：直線和圓的方程的應用 專題：直線與圓分析：（）聯立兩直線方程求得圓心c的坐標，則圓的方程可得，設出切線方程，利用點到直線的距離求得k，則直線的方程可得（）設出圓心c的坐標，表示出圓的方程，進而根據|ma|=2|mo|，設出m，利用等式關系整理求得m的軌跡方程，進而判斷出點m應該既在圓c上又在圓d上，且圓c和圓d有交點進而確定不等式關系求得a的范圍解答：m解：（） 由得圓心c為（3，2），因為圓c的半徑為1，所以圓c的方程為：（x3）2+（y2）2=1顯