1、云大數學分析習作讀書報告格式（500字） 云 南 大 學數學分析習作課（1）讀書報告題 目： 學 院： 專 業： 姓名、學號： 任課教師： 時 間：摘 要關鍵詞：以下為正文部分：小標題四號宋體字，其余均為小四號宋體字。撰寫時請刪除！12參考文獻1 數學分析習題集解，吉米多維奇原著，費定暉等編著，山東大學出版社，2005.2 論如何加強數學人才在求職中的優勢，楊漢春，張 慶，高等理科教育，No.4（2003）：2226.3 12345 第二篇：數學分析習作課(2)讀書報告張偉 11600字 云 南 大 學數學分析習作課（2）讀書報告題 目： 兩類曲線積分性質及曲面積分學 院： 物理科學技術學院

2、專 業： 數理基礎科學專業 姓名、學號： 張偉 20101050105 任課教師： 時 間： 2011年6月30日（星期四 ）摘要：1一 曲線積分：1第一類曲線積分的性質與應用；2第二類曲線積分的性質與應用；3兩類曲線積分的對比。二曲面積分：1.第一類曲面積分的性質與應用；2.第二類曲面積分的性質與應用；3.兩類曲面積分的對比。關鍵詞：曲線積分，曲面積分，概念，性質，計算，運用。 內容：一曲線積分：（一）第一類曲線積分：1.第一類曲線積分概念：（1） 模塊分解法：設幾何形體?是一可求長的空間曲線段l，在這個幾何形體?上定義了一個函數f?，?.將此幾何形體?分為若干可以度量的小塊?1，?2，?n

3、，把他們的度量大小仍記為?i?i?1,2,?,n?.并令d?max?i的直徑，在每一塊?i中任意取一點?i，作下列和式（也1?i?n稱為黎曼和數，或積分和數）?f?i?i，如果這個和式不論對于?怎i?1n樣劃分以及?i在?i上如何選取，只要當d?0時恒有同一極限I,則稱此極限為f?在幾何形體?上的黎曼積分，記為：?f?d?，也就是?f?d?lim?f?i?i.這個極限是與?的分法及?i取法無關的. d?0i?1n點列描述法：（2） 點列分解法：設L為xOy面內的一條有向光滑曲線弧，函數f(x,y)在L上有界在上任意插入一點列M1,M2,?,Mn?1把分成n個小弧段.設第i個小弧段的長度為?si

4、.又(?i,?i)為第i個小弧段上任意取定的點作乘積 2f(?i,?i)?si(i?1,2,?,n),并作和?f(?i,?i)?si,如果當各小弧段長度的最大i?1n值?0時，這和的極限總存在，則稱此極限為f(x,y)函數在曲線弧上對弧長的曲線積分或第一類曲線積分，記作?f(x,y)ds,即 L?Lf(x,y)ds?lim?f(?i,?i)?si ?0i?1n（3）"?"說法表達為：如果對任意?0及一定數I，總存在一個數?0，對于任意?的分法，只要d?時，不管點?i在?i上如何選取，恒有?f?ii?1?ni?，則稱I為f?在?上的黎曼積分，記為：?f?d?.這時，我們也稱f

5、?在?上可積.2，第一類曲線積分的性質（公式推導）：（1）若?fi?x,y?ds?i?1,2,?,k?存在，ci?i?1,2,?,k?為常數，則?LL?cf?x,y?dsiii?1k也存在，且?L?cf?x,y?ds?c?f?x,y?ds iiii?1i?1LiLikk（2）若曲線段L由曲線L1，?，且?f?x,y?ds?i?1,2,?,k?L2，Lk首尾相接而成，都存在，則?f?x,y?ds也存在，且?f?x,y?ds?f?x,y?ds LkLi?1Li?f?x,y?ds與?g?x,y?ds都存在，且在L上f?x,y?g?x,y?，則?f?x,y?ds?g?x,y?ds(4) 若?f?x,y

6、?ds存在，則?f?x,yds也存在，且?f?x,y?ds?f?x,yds(5) 若?f?x,y?ds存在，L的弧長為s，則存在常數c，使得?f?x,y?ds?cs，(3)若LLLLLLLLL其中inff?x,y?c?supf?x,y? LLL3,第一類曲線積分的計算：（1） 對參數方程：若曲線C（A,B）：x?t?,y?t?,?t?,是光滑的，即?/?t?,?/?t? 在?,? 連續，且不同時為0，函數f?x,y?在C連續，則函數f?x,y?在C（A,B）存在第一類曲線積分，且 3?CA,B?f?x,y?ds?f?t?,?t?/2t?/2tdt?（2）對坐標方程：曲線C（A,B）是由方程y=

7、y(x)給出，且y/?x?在?a,b?連續時，上式表示為：?C?A,B?f?x,y?ds?f?x,y?x?y/2xdxab4,第一類曲線積分的應用：(1) 計算?Lyds, 其中L是拋物線y?x2上點O(0,0)與點B?1,1?之間的一段弧.解：由于L由方程y?x2(0?x?1)給出，因此10?Lyds=?1x2?(x2)?2dx=?x?4x2dx1?1?12=?(1?4x)?=(55?1) ?12?012(2)求 I?解：令Cx2?y2ds，其中C是圓周x2?y2?ax,a?0C1:y?ax?x2,C2:y?ax?x2,y/?由公式則：I? ?a0a?2x2ax?x2,ds?y/2dx?a2

8、ax?x2dxCx2?y2ds?C1x2?y2ds?2C2x2?y2dsx2?ax?x2aa2ax?xa0dx?ax2?ax?x2a2ax?x2dx?2?aax2ax?x2?aa?dx?x?aa2a?2a2(3) 計算曲線積分?(x2?y2?z2)ds, 其中?為螺旋線x?acost,y?asint,z?kt上相應于t從0到2?的一段弧. 解：?(x2?y2?z2)ds2?2?02?(acots)?(asint)2?(kt)2?(?asint)2?(acots)2?k2dt?(a2?k2t2)a2?k2dtk23?2?22?2?a?k?at?t?3?03?(4) 物理計算：2?a2?k2(3a

9、2?4?2k2)4計算半徑為R, 中心角為2?的圓弧L關于它的對稱軸的轉動慣量I (設線密度?1).解：取以x軸為對稱軸，則I=?y2ds L利用L的參數方程x?Rcos?,y?Rsin?(?)于是I?yds?R2sin2?(?Rsin?)2?(Rcos?)2d?L?2?R3?R?sin?d?23?2sin2?3?R(?sin?cos?)?2?（一） 第二類曲線積分：1.第二類曲線積分的概念：設L為一條有向光滑或逐段光滑曲線，其方向由A到B，且設F（x,y,z）是定義在L上的向量函數，表示式為又設P,Q,R都是有界函數.將LF?x,y,z?P?x,y,z?i?Q?x,y,z?j?R?x,y,z

10、?k，自A到B分為n個有向小弧段?si?i?1,2,?,n?，每個小弧段?si 的起點為Ai，終點為Ai?1，有向弧段?si的大小為?si，方向與AiAi?1的方向一致，?si的表示式為?si?xii?yij?zik，在每一段內任取一點?i,?i,?i?，作和式（即黎n?niiii?曼iiii和）?F?,?,?s?(P?,?,?xi?1i?1?Q?i,?i,?i?yi?R?i,?i,?i?zi)，當n?d?max?si?，令d?0，如果極限?lim?F?i,?i,?i?si存在，并且I1?i?nd?0i?1與L的劃分以及與?i,?i,?i?的選取無關，則稱此極限為F（x,y,z）在L上的第L二

11、類L曲線積分，記為?F?x,y,z?ds?P?x,y,z?dx?Q?x,y,z?dy?R?x,y,z?dz.其中L的方向是從A到B，ds?dxi?dyj?dzk,dx,dy,dz理解為ds在x軸，y軸，z軸上的 5投影，是帶有符號的.2.第二類曲線積分的性質（積分與方向有關）：（1）A(x,y)?P(x,y)i?Q(x,y)j ?LA?tds?L(Pcos?Qcos?)ds（2）?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy?LP(x,y)dx?LQ(x,y)dy（3）?Pdx?Qdy?Pdx?Qdy，其中L?表示有向弧段L的反方向弧段 LL?（4） ?kPdx?Qdy?k?Pdx?Qdy，k為任意常

12、數 LL?k?k?（5） 若?Pidx?Qidy,?i?1,2,?,k?存在，則?ciPi?dx?ciQi?dy存在，且： LL?i?1?i?1?k?k?k?ciPi?dx?ciQi?dy?ci?L?i?1?i?1?i?1?Pdx?Qdy?，其中c?i?1,2,?,k?為常數 Liii（6） 若有向曲線L是有向曲線L1,L2,?,Lk首尾相接而成，則?LiPdx?Qdy?i?1,2,?,k?存在，且：?Pdx?Qdy?Li?1kLiPdx?Qdy3.第二類曲線積分的計算：（1） 對參數方程： 設光滑曲線L:x=x(t),y=y(t),z=(t) 且t從?到?變化時L從點A到點B變化，設向量函數

13、F?x,y,z?P?x,y,z?i?Q?x,y,z?j?R?x,y,z?k，則AB?F?x,y,z?ds?P?x,y,z?dx?Q?x,y,z?dy?R?x,y,z?dz AB=?P?x?t?,y?t?,z?t?x/?t?Q?x?t?,y?t?,z?t?y/?t?R?x?t?,y?t?,z?t?z/?t?dt ?（2） 對坐標方程：設光滑曲線L:y=y(x),z=z(x) 且x從a到b變化時L從點A到點B變化，則:AB?P?x,y,z?dx?Q?x,y,z?dy?R?x,y,z?dzba=?P?x,y?x?,z?x?Q?x,y?x?,z?x?y/?x?R?x,y?x?,z?x?z/?x?dx4

14、.第二類曲線積分的應用：6 ?（1）若對任意的x，y有解：由格林公式將 ?Q?P，設C是有向閉曲線，則Pdx?Qdy ?C?x?yCP(x,y)dx?Q(x,y)dy?(D?Q?P?)dxdy ?x?y?Q?P知，應該填寫：0 ?x?y其中D為C l圍成的平面區域，及條件（2）?ydx?xdy?_，其中l是延圓周(x?1)2?(y?1)2?1正向一周 l解：因為圓周(x?1)2?(y?1)2?1所圍圓面積D為：12?，由格林公式得：?ydx?xdy?lD(1?1)dxdy=2?，應該填寫：2?（3）（物理中的計算）彈性力的方向向著坐標原點，力的大小與質點距坐標原點x2y2的距離成比例，設此點反

15、時針方向描繪出橢圓2?2?1的正四分之一，球彈性ab力所做的功。?解：依胡克定律，彈性力F?k?xi?yj? ? 功的微分為： dA?F?ds?k?xi?yj?dxi?dyj?k?xdx?ydy? ?x2y2從而A?k?xdx?ydy?， 其中C為橢圓2?2?1的正四分之一弧段，即abC從(a,0)到(0,b)的一段弧段， ?x?acost?，,0?t?2?y?bsint?0令故 A?2?k?a2costsint?b2sintcostdt?k2a?b22?即彈性力做功為k2a?b2. 2?（三）兩類曲線積分見的聯系：?x?x?s?設L為從A到B的有向光滑曲線，它以弧長s為數.L:?,0?s?l

16、，若?y?ys?P(x,y),Q(x,y)為曲線L上的連續函數，則7?Pdx?Qdy?P?x,y?cos?t,x?Q?x,y?cos?t,y?ds?LL，其中dxdy?cos?t,x?,?cos?t,y? dsds二曲面積分：（二）第一類曲面積分：1.第一類曲面積分的概念：（2） 模塊分解法：設幾何形體?是一可求面積的曲面片S，在這個幾何形體?上定義了一個函數f?，?.將此幾何形體?分為若干可以度量的小塊?1，?2，?n，把他們的度量大小仍記為?i?i?1,2,?,n?.并令在每一塊?i中任意取一點?i，作下列和式（也d?max?i的直徑，1?i?n稱為黎曼和數，或積分和數）?f?i?i，如果

17、這個和式不論對于?怎i?1n樣劃分以及?i在?i上如何選取，只要當d?0時恒有同一極限I,則稱此極限為f?在幾何形體?上的黎曼積分，記為：?f?d?，也就?是?f?d?lim?f?i?i.這個極限是與?的分法及?i取法無關?d?0i?1n的.（2）"?"說法表達為：如果對任意?0及一定數I，總存在一個數?0，對于任意?的分法，只要d?時，不管點?i在?i上如何選取，恒有?f?ii?1?ni?，則稱I為f?在?上的黎曼積分，記為：?f?d?.這時，我們也稱f?在?上可積.2, 第一類曲面積分的計算：（1）設有光滑曲面 S:z?z?x,y?,?x,y?D，f?x,y,z?為S上

18、的連續函數，則?f?x,y,z?dS?f?x,y,z?x,y?zx?zydxdy （坐標22SD方程）（2）若光滑曲面 S:x?x?u,v?,y?y?u,v?,z?z?u,v?,?u,v?D，f?x,y,z?為S上的連續函數，則 8?Sf?x,y,z?d?f?x?u,v?,y?u,v?,z?u,v?FG?F2dudv， D其中E?xu/2/2/2/2/2/2?yu?zu,F?xuxv?yuyv?zuzv,G?xv?yv?zv（參數方程）3.第一類曲面積分的應用：（1）計算 ?SxyzdS, 其中S是曲面z?x2?y2介于z?0,z?1之間的部分解：對于曲面z?x2?y2， ?z?z?2x,?2

19、y， ?x?yS在xy平面上的投影區域為D：x2?y2?1，故： ?Sxyz?xyx2?y2D?2x?2ydxdy?4?xyx2?y2?2x?2ydxdy2222D1? 其中D1為單位圓在第一象限中的部分，此部應用了對稱性.極坐標變換得：?4?xyx?yD1?22?2x?2ydxdy?4?2220sin?cos?d?r5?4r2dr?2?r5?4r2dr0011變換u?4r2，得（2）計算曲面積分?SxyzdS?51 ?84420dS，其中曲面?是由平面z?h?0?h?a?截球面 zx2?y2?z2?a2的頂部9圖1 解： 曲面?的方程為z?a2?x2?y2，它在坐標面xoy上的投影為圓形的閉

20、區域：x2?y2?a2?h222?zx?zy?aa?x?y222，所以dS ?z?Dxy利用極坐標計算上面的積分，得到2?dSardrd?22?d?00za?ra2?r2?Dxy?1?2?a?ln?a2?r2?2?0（3）計算曲面積分? ?2?alnahdS1?x?y2，其中曲面?是由平面x?y?z?1以及三個坐標面所圍成的四面體的表面解：如上圖，曲面?由曲面?1,?2,?3,?4組成，其中?1,?2,?3,?4分別是平面x?y?z?1，x?0,y?0,z?0上的部分?1?x?y?1dS2?dx?011?xdy01?x?y21?3?ln2?；2?10?1?x?y?2dS2?dz?0111?zd

21、y01?ydx2?1?ln2； ?1?x?y?3dS2?dz?011?x1?z01?xdy2?1?ln2； 1 2?1?x?y?4dS2?dx?001?x?y2?ln2?得?1?x?y?dS21?1?1?ln2?1?ln2?ln2?ln2?2?2? 3?3?1ln22?（二）第二類曲面積分：（*） 曲面的側的概念：（1）單側曲面與雙側曲面在實際生活中碰到的都是雙側曲面，至于單側曲面也是存在的，牟彼烏斯帶就是這類曲面的一個典型例子。（2）曲面的上側和下側，外側和內側雙側曲面的定向: 曲面的上、下側，左、右側，前、后側. 設法向量為 ?(cos? , cos? , cos?),則上側法線方向對應第

22、三個分量?0, 即選“+”號時，應有cos?0，亦即法線方向與Z軸正向成銳角. 類似確定其余各側的法線方向. 封閉曲面分內側和外側.111，第二類曲面積分的概念：在光滑的曲面S上任取一點P0，過點P0的法線有兩個方向，選定一個方向為正，當點P在曲面S上連續變動（不越過曲面的邊界）時，法線也連續變動.當動點P從點P0出發沿著曲面S上任意一條閉曲線又回到點P0時，如果法線的正向與出發時的法線正向相同，稱這種曲面S是雙側曲面，否則稱為單側曲面.設S是光滑曲面，預先給定了曲面的側，亦即預先給定了曲面上的單位法向量n0，又設f?x,y,z?是一個向量，f?x,y,z?P?x,y,z?i?Q?x,y,z?

23、j?R?x,y,z?k，其中P,Q,R都是連續函數.將S劃分為許多有向小塊?Si?i?1,2,?,n?，在?Si內任取一點?i,?i,?i?，作向量?Si?n0?i,?i,?i?Si，再作和式?f?i,?i,?i?Si，i?1?n令?max?Si的直徑，如果極限limf?i,?i,?i?Si存在，并且此極限與點i?0?i,?i,?i?的選取無關，又與S的劃分無關，則稱它是f?x,y,z?在有向曲面S上的第二類曲n面積分?，記，為同?f?x,y,z?dSS，知即道?f?,?,?S?f?x,y,z?dS?lim?S?0iiii?1i時還?f?x,y,z?dS?f?x,y,z?nSS?dS.2.第二

24、類曲面積分的性質：（1）?Pdydz?Qdzdx?Rdxdy?Pdydz?Qdzdx?Rdxdy,其中-S表示曲面S的另?SS一側（2） 若 ?Pidydz?Qidzdx?Ridxdy,?i?1,2,?,k?存在，則有：Sk?k?k?k?CiPi?dydz?CiQi?dzdx?CiRi?dxdy?Ci?i?1?i?1?i?1?S?i?1?Pdydz?Qdzdx?Rdxdy?iiiS（3） S?Uik?1si，且si與sj在i?j時，無公共點，則：?Pdydz?Qdzdx?Rdxdy?Pdydz?Qdzdx?RdxdySi?1sik3. 第二類曲面積分的計算：12z?z?x,y?,?x,y?Dx

25、ySDxy（1）曲面S表示，其中符號“?”由曲面S的正側外法線與z軸正向的夾角余弦的符號決定；Q?x,y,z?dzdx?Q?x,y?z,x?,z?dzdx?Dzx（2） 曲面S表示y?y?z,x?,?z,x?Dzx，S，其中符號“?”由曲面S的正側外法線與y軸正向的夾角余弦的符號決定P?x,y,z?dydz?P?x?y,z?,y,z?dydz?x?x?y,z?,?y,z?DyzSDxy（3）曲面S表示為,其中符號“?”由曲面S的正側外法線與x軸正向的夾角余弦的符號決定；（4）曲面S表示為： x?x?u,v?,y?y?u,v?,z?z?u,v?,?u,v?Duv， ?R?x,y,z?dxdy?R

26、?x,y,z?x,y?dxdy?P?x,y,z?dydz?P?x?u,v?,y?u,v?,z?u,v?SDuvD?y,z?dudv Du,v其中符號“?”由曲面S的正側外法線與x軸正向的夾角余弦的符號決定；D?z,x?Qx,y,zdzdx?Qxu,v,yu,v,zu,vdudv ?Du,vSDzx其中符號“?”由曲面S的正側外法線與y軸正向的夾角余弦的符號決定；D?x,y?Rx,y,zdxdy?Rxu,v,yu,v,zu,vdudv ?Du,vSDxy其中符號“?”由曲面S的正側外法線與z軸正向的夾角余弦的符號決定；4. 第二類曲面積分的應用：（1）設S?:z?c?R2?x?a?y?b的上側，

27、試計算積分 22I?x2dydz?y2dzdx?x?a?yzdxdyS?分比考慮三個積分：首先 ?x?a?yzdxdy 由于S關于x=a 平面前后對稱，而被積函數S?x?a?yz在對稱點處的值大小相等，符號相反，故應有此項積分為零 13且 2222xdydz 由對稱性知， ?x?x?a?2ax?a?a?S?2?x?a?S?a2dydz?0， 故?2x?dydz?8a?x?a?dydz 其中S1在?S?S1?x?a,y?b2 的2部分，應將S1?向yOz投影?:?y?b?z?c?R2,z?c,y?b則?x2dydz?8a?R2?y?b?z?cdydz?22S?4a?R3 3還有 2y?dzdx

28、仍由對稱性爾后向xOz投影，可求得S?2?ydzdxS?4b?R3 3得 I?4?a?b?R3 3（2）計算積分(x?y)dydz?(y?z)dzdx?(z?3x)dxdy，?為球面 ?x2?y2?z2?R2取外側.解： 對積分(x?y)dydz, 分別用?前和?后記前半球面和后半球面的外?側, 則有 ?前 : x?R2?y2?z2, Dyz: y2?z2?R2; ?后: x?R2?y2?z2, Dyz: y2?z2?R2. 因此, (x?y)dydz=?前+ ?后?Dyz?R?2?y2?z2?ydydz?Dyz?ydydz?0? ?2y2?z2?R2?8?2d?y?rcos?, z?rsin

29、?0rdr ?1 ?4?R2?r2?2?322?3?r?Rr?04?R3. 3對積分(y?z)dzdx, 分別用?右和?左記右半球面和左半球面的外側, ?14則有?右: y?R2?z2?x2, Dzx: x2?z2?R2; ?左: y?R2?z2?x2, Dzx: x2?z2?R2. 因此, (y?z)dydz?右+?左 ?DzxR?2?z2?x2?zdzdx?R2?z2?x2?zdzdx Dzx? ?2x2?z2?R24R2?z2?x2dzdx?R3. 3對積分(z?3x)dxdy, 分別用?上和?下記上半球面和下半球面的外側, 則有 ?上: z?R2?x2?y2, Dxy: x2?y2?R2; ?下: x?R2?x2?y2, Dxy: x2?y2?R2. 因此, (z?3x)dxdy=?上+ ?下?Dxy3xdxdy?3xdxdy Dxy?2x2?y2?R2?4R2?x2?y2dxdy?R3. 3（三）兩類曲面積分間的聯系： 令?,?, ?分別是s上的法線方向與x軸正向，y軸正向，z軸正向的夾角，則有：?P?x,y,z?dydz?P?x,y,z?cos?dsSS?Q?x,y,z?dzdx?Q?x,y,z?cos?dsSS?R?x,y,z?dxdy?R?x,y,z?cos?dsSS三 曲線積分與曲面