1、本科畢業論文關于均值不等式的探討discussion on inequality學院（部）： 理學院 專業班級： 數學與應用數學07-1學生姓名： 指導教師： 2011年 6 月 8 日關于均值不等式的探討摘要均值不等式是高二教材的一個教學內容,理解掌握均值不等式,研究均值不等式所得相關結果,用解決最值問題、不等式證明以及實際生活中的數學應用問題,具有極為重要的意義。關鍵詞均值不等式，最值，應用discussion on inequalityabstractinequality is a sophomore course content materials, understand and gr

2、asp the mean value inequality, inequality of income related to the mean results, to address the most value problems, inequalities and matheatical application of real-life problems, is extremely important.keywords：inequality ，the most value，the value of application顯示對應的拉丁字符的拼音字典目錄關于均值不等式的探討idiscussio

3、n on inequalityii1、淺談均值不等式及類型11.1 淺談均值不等式11.1.1均值不等式是攻破最值問題的有力武器11.1.2均值不等式用于不等式的證明21.1.3均值不等式的拓展及其相關結論21.1.4均值不等式的應用可以培養學生在數學學習中的興趣和認知投入41.2 試談運用均值不等式的待定系數法“套路”51.3 運用均值不等式解題的變形技巧81.4 利用均值不等式求最值的技巧102均值不等式錯例及“失效”時的對策152.1 均值不等式應用錯例分析152.2用“均值不等式”求最值忽視條件致錯舉例172.3均值不等式求最值“失效”時的對策193均值不等式的推廣及應用243.1均值

4、不等式的推廣2432應用均值不等式的推廣證不等式293.3均值不等式在高等數學中的應用333.4均值不等式在一類數列收斂證明中的應用373.5例說利用均值不等式解應用問題40參考文獻42謝辭431、淺談均值不等式及類型1.1 淺談均值不等式人民教育出版社出版的全日制普通高級中學教科書數學第二冊第六章第二節說明,如果a、b是正數,那么 ab,當且僅當a = b時取“ = ”號。即兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數。這個不等式,我們通常把它稱為均值不等式。對均值不等式的深刻理解和掌握,弄清楚其運用條件,便能在解題中快速找到突破口,進而找到正確解決問題的方法。1.1.1均值不等式是攻破最值問

5、題的有力武器對均值不等式認真觀察分析知道,若兩個正數的積為常數,當且僅當它們相等時,它們的和有最小值;若兩個正數的和為常數,當且僅當它們相等時,它們的積有最大值。最值問題在此便略有體現。經研究后,歸納出3個用均值不等式求最值問題的適用條件。條件一:在所求最值的代數式中,各變數都是正數,否則變號轉換;條件二:各變數的和或積要為常數,以確保不等式的一端為定值,否則執行拆項或添項變形;條件三:各變數必須有相等的可能。一個題目同時滿足上述三個條件,或者可以變形成適合以上條件的,便可用均值不等式求,這就幫助學生在解題時迅速找到了突破口,從而找到正確方法,快速簡易地求最值。下面舉出一些實例。例1:代數式的

6、最小值是_ 解: =1=3故的最小值是3。例2:若0 x 0, b 0, a + b = 1,求代數式的最小值解:故滿足條件的代數式的最小值是9。例5:過點p (2, 1)作直線l交x , y軸正向于a, b 兩點, 求l的方程,使三角形aob 的面積最小。 解:設直線l的方程為y - 1 = k ( x - 2) , l 與x軸交點為( a, 0) , l 與y軸交點為(0, b) ,其中a 0, b 0, k 0= 2,求的最小值,并求x, y的值。解：當且僅當,即y = 2x時,上式取等號。故取最小值是3。由 解得即當x = 1, y = 2時, 取得最小值31.1.3. 2研究均值不等

7、式所得相關結果對a 0, b 0,作進一步研究,顯然有,又由于等價的均值不等式 因此,對于a 0, b 0,有三個重要結論: ; 當且僅當a = b時,上面三式取等號,這三個式子雖然是由均值不等式推廣而得,但掌握并應用于解題之中,有時候比均值不等式更有效,起到事半功倍的效果。下面舉幾個例子予以說明:例10:已知a0, b0, a + b = 1,求代數式的最大值解:由得。故滿足條件的最大值是。例11:已知a b 0,求的最小值。解:由式得, 所以,故的最小值是16。例12:若a + b + c = 1,且a, b, c ,求的最小值。解:由式得 所以 =例13:一段長為l的籬笆圍成一個一邊靠墻

8、的矩形菜園,問這個矩形的長、寬各為多少時,菜園的面積最大,最大的面積是多少?解:設矩形的長為x,則寬為，于是,菜園面積為:當且僅當x =l - x,即時取等號。這時寬為故這個菜園的長為,寬為時,菜園面積最大,最大面積是1.1.4均值不等式的應用可以培養學生在數學學習中的興趣和認知投入本人在這個內容的教學中,引導學生思維,讓學生自我發現并相互探討,尋求以上例題的解法,直接或變形后運用均值不等式及其相關結果,學生感到很輕松,非常感興趣,并能自覺或不自覺地用聯系和理解的方法學習數學,不是依賴于死記硬背的方法,對完成學習任務有一種愉快的感覺,學生在領會知識方面具有一定的獨立性,能夠舉一反三,觸類旁通,

9、充分體現了學生在數學學習中的熱情投入,這一良性循環,對今后的學習,對素質的培養,將具有深遠的影響。總之,對均值不等式的學習研究,理解掌握和運用,對數學問題的解答,對實際生活和生產實際中應用數學問題的處理,對學生學習的能力和素質的培養,都具有極為重要的意義。1.2 試談運用均值不等式的待定系數法“套路”不等式是高中數學的重要內容, 均值不等式是不等式進行變形的一個重要依據, 在應用時不僅要牢記三個條件“正、定、等”, 而且要善于根據均值不等式的結構特征,創設應用均值不等式的條件,利用待定系數法湊定值是常用的解題技巧, 本文舉例說明.例1 已知常數a , b都是正數,變量x 滿足0 x 0 ,則由

10、1 = x + (1 - x) 及題設知0 x 1 ,0 1 - x 0 , b 0 ,且a + b = 1 ,求的最小值.解設m 0 ,則由題設及均值不等式可知: (1)(1) 式當且僅當,即時取等號.又,即,亦即 (2)顯然(1) , (2) 同時取等號的充要條件是 解之得m = 16. 代入(1) 得:.故當且僅當時, 取到最小值.例3 若a,且a + b = 1. 求證: 證明設m 0 ,則.由均值不等式得. (1)其中當且僅當時取等號.同理可得: (2)其中當且僅當時取等號.顯然(1) , (2) 同時取等號的充要條件是.由于a + b = 1 , 故可解得將m = 1 代入(1)

11、, (2) ,并將兩式相加得即.例4 已知a 0 , b 0 ,且a + b = 1. 求證: .證明設m 0 , 則由題設及均值不等式可得: (1)(1) 式當且僅當即 時取等號.同理可得 (2)(2) 式當且僅當即時取等號.再由題設及均值不等式可得:. (3)(3) 式當且僅當時取等號.于是(1) , (2) , (3) 同時取等號的條件是. .將分別代入(1) 式, (2) 式可得.兩式相乘得: . 故例5 (第42 屆imo 試題) 已知a 0 , b 0 ,c 0 ,求證: 證明a 0 , b 0 , c 0 ,.為了脫掉根號,設m 0 ,且 (1) 而 ,故 (2)比較(1) ,

12、(2) , 令, 則可得,代入(2) 得: . 又 , 故 (3)同理可得: (4) (5)由(3) , (4) , (5) 相加知: .思考題1 已知 ,且a + b + c = 1.求證: . (提示:1)可利用 ;2) 可推知. )思考題2 已知a + b + c = 1 , 求 的最大值. (答案: . )1.3 運用均值不等式解題的變形技巧利用均值不等式解題的關鍵是湊“ 定和”和“定積”，此時往往需要采用“ 拆項、補項、平衡系數”等變形技巧找到定值，再利用均值不等式來求解，使復雜問題簡單化，收到事半功倍的效果!1.3.1 拆項例1（原人教版課本習題）已知n0, 求證：證明：因為n0，

13、所以 當且僅當n=2 時等號成立!1.3.2 拆冪例2 (1993年全國高考題）如果圓柱軸截面的周長為定值，那么圓柱體積的最大值（） a b. c. d. 解 設圓柱底面半徑為r，高為h，則2h+4r= ，即 所以 ，故選 a.1.3.3 升冪例3 設，求的最大值. 解 因為，所以0，所以 所以當且僅當即tanx=時等號成立，故.1.3.4 整體代換 例4 已知，且x+2y=1，求證：證明：因為，x+2y=1，所以. 當且僅當，即，時等號成立.1.3.5 平衡系數例5 用總長14.8米的鋼條制作一個長方體容器的框架，如果所制作容器的底面的一邊比另一邊長0.5米，那么高為多少時容器的容積最大？并

14、求出它的最大容積!解 設容器底面短邊長為x 米，則另一邊長為x+0.5 米，并設容積為y ，其中容器的高為，0x0時，當且僅當，即時取等號.所以當時函數取最大值.總之，我們利用均值不等式求最值時，一定要注意“一正二定三等”，同時還要注意一些變形技巧，靈活運用均值不等式.1.4 利用均值不等式求最值的技巧均值不等式 ( a 0 , b 0 , 當且僅當a = b時等號成立) 是一個重要的不等式,利用它可以求解函數最值問題. 對于有些題目,可以直接利用公式求解. 但有些題目必須進行必要的變形才能利用,下面是一些常用的變形技巧.1.5.1 配湊1) 湊系數例1 當0 x 4 時,求 = x (8 -

15、 2 x) .解析由0 x 0 , 利用均值不等式求最值,必須和為定值或積為定值,此題為2 個式子的積的形式,但其和不是定值. 注意到2 x + (8 - 2 x) = 8 為定值,故只需將y = x (8 - 2 x) 湊上一個系數即可. ,當且僅當2 x = 8 - 2 x 即x = 2 時取等號,所以當x = 2時, y = x (8 - 2 x) 的最大值為8.點評本題無法直接運用均值不等式求解,但湊上系數后即可得到和為定值, 就可利用均值不等式求得最大值.2) 湊項例2 已知 ,求函數的最大值.解析由已知4 x - 5 0 ,.當且僅當即x = 1 時等號成立.點評本題需要調整項的符

16、號,又要配湊項的系數,使其積為定值.3) 分離例3 求的值域.解析本題看似無法運用均值不等式, 如將分子配方湊出( x + 1) ,再將其分離.當x + 1 0 ,即x -1 時, (當且僅當x = 1 時取“ = ”號) .當x + 1 0 ,即x 0 , m 0 , g ( x) 恒正或恒負) 的形式,然后運用均值不等式來求.鏈接練習1. 某公司一年購買某種貨物400 t ,每次都購買x t ,運費為4 萬元/ 次,一年的總存儲費用為4 x 萬元. 要使一年的總運費與總存儲費用之和最小,則x = t .2. 若a、b、c 0 且a( a + b + c) + bc = ,則2 a + b

17、+ c的最小值為( ) .a ; b ; c ; d 3. 已知 、 為雙曲線的2 個焦點, p 為雙曲線右支上異于頂點的任意一點, o為坐標原點. 下面4 個命題中真命題的代號是(寫出所有真命題的代號) .a 的內切圓的圓心必在直線x = a 上;b 的內切圓的圓心必在直線x = b 上;c 的內切圓的圓心必在直線o p 上;d 的內切圓必通過點( a ,0) .4. 設a 0 , b 0 ,則下列不等式中不恒成立的是( ) .a ; b ;c ; d5. 已知平面上點 ,求滿足條件的點p 在平面上所組成的圖形面積.鏈接練習提示及答案1. 20. (提示:可知共購買次,所求即取最小值時x 的

18、值,由均值不等式, ,當且僅當 ,即x = 20 時取到. )2. d. 提示:由a( a + b + c) + bc = ,得( a + b) ( a + c) = ,則 .3. a. 提示: 如圖3 , 設的內切圓與各邊交點是a 、b 、c,有 , , ,結合雙曲線的第一定義,有 , 即 , 由圓m 與x軸相切, 設m ( m, n) , 則m = a , 即的內心m 恒在直線x =a 上.4. b. 提示:可證選項a、c、d 都是正確的,也可舉反例確定b不恒成立,如a = 3 , b = 4 ,則 ,而.5. 動點 在圓上,又 = 4 ,故點p的軌跡是到原點的距離不小于2 且不大于6 的

19、點的集合,圖形實際是一個圓環面,可得所求面積是32.1.5.2整體代換例4 已知a 0 , b 0 , a + 2b = 1 ,求的最小值.解析當且僅當時取“ = ”號.由 ,得,即時,的最小值為.點評本題巧妙運用“1”的代換,得到,而與的積為定值,即可用均值不等式求得的最小值.1.5.3 換元例5 求函數的最大值.解析變量代換,令 ,則 ( t 0) ,則,當t = 0 時, y = 0 ,當t 0 時, , 當且僅當, 即 時取“= ”號, 所以時, .點評本題通過變量代換,使問題得到了簡化,而且將問題轉化成熟悉的分式型函數的最值問題,從而為構造積為定值創設有利條件.1.5.4取平方例6

20、求函數 的最大值.解析注意到2 x - 1 與5 - 2 x 的和為定值,.又y 0 ,所以,當且僅當2 x - 1 = 5 -2 x ,即 時取“ = ”號,所以點評本題將解析式2 邊平方構造出“和為定值”,為利用均值不等式創造了條件.總之,我們利用均值不等式求最值時,一定要注意“一正二定三相等”,同時還要注意一些變形技巧,積極創造條件利用均值不等式.鏈接練習1. 當0 x 0 , y 0 ,且,求x + y 的最小值.5. 已知a 0 , b 0 , c 0 ,且a + b + c = 1 ,求證:.鏈接練習參考答案1. ; 2. 5 ; 3. 8 ; 4. 4/ 9 ;5. 提示: ,

21、, 三式相乘即可.2均值不等式錯例及“失效”時的對策2.1 均值不等式應用錯例分析均值不等式在初等數學中有著非常重要而廣泛的應用, 然而學生往往對均值不等式“一正, 二定, 三相等”這個條件理解不透或運用不慎, 出現下面常見的錯誤。2.1.1 漏記“一正”條件致誤 例1: 求函數的值域。在均值不等式a其中, 錯解: 故得結論: y4,+)上述解法中, 僅僅具備了相等、定值這兩個條件, 是否均為正數呢? 因為函數的定義域為( - , 0)u( 0, +) , 顯然, “一正”條件不夠充分的情況下, 貿然使用均值不等式, 得出不完全正確的結論。所以在運用公式前, 應先檢查公式的條件是不是已滿足,

22、若不滿足, 應創造條件應用公式或改用其它途徑去解決問題。解: 當x0 時, 可以滿足“一正, 二定, 三相等”可得y4當x0 b0 a+b=1 求函數的最小值。錯解: 故, s 取得最大值8根據均值不等式取等號的充分必要條件是每個數皆相等, 否則: 則: 2a=b,2b=a,從而a=b=0 這與已知a0, b0,a+b=1 相矛盾, 所以 事實上: 其中等號在時取到。故當a=b=時, s 取得最小值9。例3: 用總長14.8m 的鋼條制作長方體容器框架, 如果所制作容器框架的底邊的一邊比另一邊長0.5 米, 當長方體的高為多少時, 容器的容積最大? ( 2002 年數學高考題)錯解: 設則 是

23、定值長方體容器最大值為3.7 立方米事實上, x+0.5=3.2- 2x=x, 在這樣的等式下x 值是不存在的, 所以,結果為錯誤的。但作適當系數調整就滿足“相等”這個條件。 是定值 且3x=2x+1=8- 5x 的值存在, 為x=1, 則高為1.2 時, 長方體容器容積最大立方米。例4: 三棱錐, s-abc 的例棱, sc與底面垂直,sa=sb=a ab=2.sc求此三棱錐體積v 的最值。錯解: 如圖所示, 設ab 中點為d, 連結cd, 令ab=2x,則sc=x 顯然ac=bc cd 是等腰三角形abc 底邊上的高,即: 當 即時, 三棱錐體積v 取得最大值, v 最大這里得出的結果是對

24、的, 但推理的依據卻是錯的。原因在于忽略了 不是定值這一點。即不滿足一正, 二定, 三相等, 這個條件。解: 而是定值。可見當即時三棱錐體積v 取得最大值。以上例子分析, 在使用均值定理時一定要搞清楚, 只有在“一正,二定, 三相等”都同時具備時方能使用公式, 否則得出的結論不可靠,甚至是錯誤的結論。以上幾例僅是均值不等式應用中的幾種常見錯誤, 僅供老師們在教學中參考使用, 以引導學生找出錯誤所在, 并且弄清產生錯誤的原因, 從而提高糾正錯誤和正確應用均值不等式的能力。2.2用“均值不等式”求最值忽視條件致錯舉例用“ 均值不等式”求最值是求最值問題中的一個重要方法, 也是高考考查的一項重要內容

25、, 運用這種方法有三個條件:(1)正; (2)定; (3)相等。在此運用過程中, 往往需要對相關對象進行適當地放大、縮小, 或不等式之間進行傳遞等變形, 在此過程中, 學生常常因為忽視條件成立而導致錯誤, 而且錯誤不易察覺。2.2.1 忽視均值不等式中的各項為“ 正”致錯例1 求的值域。錯解因為所以評注雖然的積是常數, 但x- 1 不一定是正數, 因此解法是錯誤的。正確解當x1 時, , 當且僅當, 即x=2 時等號成立; 當x1 時, , 所以y- 1,當且僅當x=0 時取 等號,所以原函數的值域為2.2.2 忽視均值不等式中的等號成立條件致錯例2 求的最小值。錯解, 所以y 的最小值是2。

26、評注在y2 中, 當且僅當, 即, 這是不可能的, 所以等號不成立,故y 的最小值不是2。正確解 因, 令, 則(t2), 易證在2,+)上遞增,所以y 的最小值是, 當且僅當t=2 時, 即, x=0, 取“ =”號。例3 若正數x、y 滿足2x+y=1, 求的最小值。錯解 因, 于是, 故的最小值是。評注這里中, 當且僅當2x=y 時取“ =”號。而中, 當且僅當, 即x=y 時取“ =”號, 這兩個式子不可能同時成立, 因此不是的最小值。正確解, 當且僅當, 即時(此時)取“ =”號, 故的最小值是。例4 實數x、y、m、n 滿足, 且, 求的最大值。錯解 因, 所以, 故的最大值是。評

27、注 這里兩次用到了均值不等式, 當且僅當m=x 且n=y 時取“ =”號, 于是, 即與已知矛盾, 因此等號不成立, 故的最大值不是.正確解, 所以.當且僅當時取“ =”號。故的最大值是 (本題也可用三角代換解。)2.2.3 忽視均值不等式中的定值致錯。例5 若正數x、y 滿足x+2y=6, 求xy 的最大值。錯解: , 當且僅當x=y 且x+2y=6, 即x=y=2 時取“ =”號, 將其代入上式, 可得xy 的最大值為4。評注 初看起來, 很有道理, 其實在用均值不等式求最值時, 在各項為正的前提下, 應先考慮定值, 再考慮等號是否成立。但在中, x+y 不是定值, 所以xy 的最大值不是

28、4 .正確解因, 當且僅當x=2y 時(此時)取“ =”號, 所以.在教學過程中, 這些錯誤屢見不鮮, 為解決這個問題, 筆者認為, 不妨采用“ 挫折”教育, 如例題出示后, 不加任何啟發, 讓學生大膽嘗試, 積極探索, 對出現的每一個問題, 不必急于評價, 而放手讓學生討論, 反思和質疑, 讓他們自己在辨析中總結規律, 在“ 挫折”中形成知識, 深刻思維。這樣經過多次反復, 會收到良好的效果。2.3均值不等式求最值“失效”時的對策運用均值不等式是求最值的一種常用方法, 但由于其約束條件苛刻, 不少同學在使用時往往顧此失彼,從而導致均值不等式“失效”. 下面例說幾種常用的處理策略.2.3.1

29、化負為正 例1 已知0 x 1 ,求的最大值.分析本題滿足 為定值,但因為0 x 1 , lgx 0 , 所以此時不能直接應用均值不等式,需將負數化正后再使用均值不等式.解0 x 1 , lgx 0 , , 即y - 4. 當且僅當即時等號成立, 故2.3.2 平衡系數例2 求y = x(1 - 2x) 的最大值.分析x +(1 - 2 x) 不是定值,但可通過平衡系數來滿足和為定值.解 . 當且僅當2 x = 1 - 2 x ,即時等號成立. 故2.3.3 添項例3 已知a b 0 , 求的最小值.分析不是定值,但可通過添項、減項來滿足積為定值.解. 當且僅, 即a = 8 ,b = 4時等

30、號成立. 故.2.3.4 拆項例4 已知0 x 0 , y 0 , ,求x + y 的最小值.分析若直接運用均值不等式, 則需使用兩次均值不等式,即由,得xy16 ,再由,得x + y 8 ,但此時兩次均值不等式中等號成立的條件不一致,從而x + y 8 中等號不能成立. 但若將x + y 乘1 ,則只需使用一次均值不等式即可.解當且僅當,且 ,即x = 3 , y = 6時等號成立,故2.3.8 取倒數例8 已知x 0 ,a ,b 為正常數, 求 的最大值.解析 , 當且僅當,時等號成立.故2.3.9 三角代換例9 求 的最小值.分析不是定值,但由0 x 2 可用三角代換來創造積為定值.解0

31、 x 0 ,且, , .當且僅當x = y = z 即a = b = c 時等號成立. 故.評注通過換元, 把陌生的結構轉化為重要不等式的形式,證題思路自然流暢.2.3.11 對偶代換例11 已知,且x + 2 y = 1 ,求的最小值.證明, x + 2 y = 1 , 可設, ,則當且僅當, 即 , , 時等號成立. 故的最小值為.2.3.12 公差代換例12 若a , b 是正實數, 且a + b = 1 , 求 的最小值.解a + b = 1 , a , , b 是等差數列,設公差為d ,則, d = 0 即a = b =時, 有最小值9.2.3.13用向量例13 已知 , ,求ax

32、+ by的最大值.分析直接運用均值不等式時,等號成立的條件為a = x 且b = y ,從而 ,即4 = 9 ,顯然等號不能成立,故不能直接運用均值不等式, 但此時利用向量則可迅速求出最值.解法1 令m = ( a , b) , n = ( x , y) , 則由內積的性質m n | m| | n| ,得ax + by 6 ,當且僅當m與n 同向即時等號成立,故ax + by 的最大值為6.本題也可用柯西不等式求解.解法2 由柯西不等式 ,得 ,即| ax + by| 6 ,故ax + by 的最大值為6.2.3.14 用函數的單調性例14 求函數的最小值.分析直接運用均值不等式 時, 等號成

33、立的條件為, 即, 無解, 所以等號不可能成立. 故不能直接用均值不等式求最小值,需另辟蹊徑,可利用函數的單調性解決.解設,則 .易證函數在t 2 , + ) 上是增函數, t = 2 即x = 0 時, 2.3.15運用放縮例15 求函數 在x 1 , +) 上的最小值.分析此題看似無法使用均值不等式, 但可運用兩次放縮便可達到求解目的.解.以上兩個“ ”號中“= ”成立的條件都是x = 1. y 的最小值為- 2.3均值不等式的推廣及應用3.1均值不等式的推廣3.1.1 引言均值不等式在不等式理論中處于核心地位,是現代分析數學中應用最廣泛的不等式之一.巧妙地應用此不等式在求最值,比較大小,

34、證明不等式等各方面都可得到較為理想的解法.均值不等式的推廣是均值不等式的延伸,也是解題的重要依據之一.定理a(均值不等式) 設為n 個正數,則其算術平均,幾何平均與調和平均有: 引理(jensen 不等式）若函數f在區間i上存在二階導數,且有f(x)0,則有其中xii,qi 0,i=1,2,n,且=1,當且僅當x1 q1=x2 q2=xnqn時等號成立;若f(x)0,不等式反號.3.1.2 主要結論定理1 設 0， 0，i1，2，n,則 (1)當且僅當時等號成立； (2)當且僅當時等號成立。證明 設f（x）lnx，x（0，+）,則f（x）= 0,i 0,i=1,2,n,且 (3)由jensen

35、 不等式得 由y=lnx 的單調性知 由jensen 不等式取等號的條件知,當且僅當時上式等號成立.由于 0, 0,i=1,2,n 及(3)式,運用jensen 不等式得從而有由jensen 不等式取等號的條件知,當且僅當時上式等號成立.注1:當 時,定理1 即為定理a(均值不等式) 推論1 設0, 0,i=1,2,n,則 (4)當且僅當時等號成立； （5）當且僅當時等號成立證明 由, 0，i=1,2,n,及(1)得即由定理1 知,當且僅當時上式等號成立.由，i=1,2,n,及(2)得即由定理1 知,當且僅當時上式等號成立.推論1 得證推論2 設 0， 0，i=1,2,n,且,則有當且僅當等號

36、成立；當且僅當等號成立.注2：當q=1時，則有當且僅當等號成立 當且僅當等號成立.例1 試證對任意正數a，b，c,d，有證明 在(4)中令n3,得令 , , , , 得 例2 設n 為自然數,n2, 試證證明 由(5)得取i，1 ，i1，2，n,由(6)得又取i，1 ，i1，2，n,由(6)得從而有例3 設n 為自然數,n2,試證 證明 記上式的左端為 ,對任意p0,有由(6)得令，得32應用均值不等式的推廣證不等式文1 用列表法證明了算術 幾何平均數不等式的推廣.本文應用均值不等式的推廣證明一些不等式.為了閱讀方便，將均值不等式的推廣擇錄如下:符號 a =a()與=()分別表示非負實數的算術

37、平均數與幾何平均數.推廣 設由n行和k列組成的長方形表中，全部填寫著非負實數:第一行填寫 ;第二行填;第n行填寫、在每一行中計算幾何平均數并分別用 表示.在每一列中計算算術平均數并分別用 表示(表1). 則()a() (*) (證明詳見文1).特別 ，當 長方形表為nn 的正方形表時(如表2填寫法)，便得到;.因此.即(*)式是均值不等式的推廣.課程卷頻頻出現這類綜合題.例6 由原點向曲線引切線，切于異于點的點，再由引此曲線的切線，切于不同于的點，如此繼續地作下去，得到點(i )求;(ii )求與的關系;(iii )若 a0，比較與a的大小，并加以證明.解 (i)因為,所以切線的斜率為,而的斜

38、率又為.于是=.因為,故 (ii)切線的斜率為,而直線的斜率又為.于是 = .整理得但 所以=0(iii)設,得,令得.故數列是以合為首項，公比為的等比數列.于是當n為奇數時, 0，故a; 當n為偶數時, 0，故 0, 證明證明:作3x2長方形表: 由(*)式，得，即兩邊 平 方 ，整理得例 2 ( 2001)年加拿大數學奧林匹克試題)證明:對任意正實數a,b ,。，均有證明作 3x3正方形表：由(*)式，得，即兩邊立方，化簡，得例3(第 24屆全蘇數學競賽題)如果正數的和為1，則證明 作nx2長方形表: 由(*)式，得注意到，將上述不等式兩邊平方，整理，即得例4 (2003年第64屆普特蘭數

39、學競賽題)設和都是非負實數.證明證明 作2x n長方形表:由（*）式得即例5 (第36屆imo試題)設a,b ,c為正數，且abc=1.試證證明 作3x2長方形表由（*）式，得注意到abc=1，兩邊平方，整理，得 即例6 (第39屆imo備選題)已知，且xyz=1求證 證明 作3x3正方形表由（*）式，得由均值不等式，得注意到xyz=1，化簡，得例 7 (第31屆imo備選題)設a,b ,c,d0,且 ab+bc+cd+da=1。求證證明 作4x2長方形表:由（*）式，得因為代入上式左端，所以上述不等式兩邊平方，整理，得3.3均值不等式在高等數學中的應用極限概念是高等數學中的重要概念， 極限理

40、論是高等數學中的基礎理論。高等數學中有許多重要的概念都是以極限形式來定義的。而極限概念是用不等式刻畫的。這就決定了不等式運算是高等數學中最基本的運算之一， 因此作為基本不等式之一的均值不等式在解決高等數學的問題中發揮著重要的作用。3.3.1 證明重要極限的存在性。 證明：先證數列單調遞增。令，則由均值不等式得即 所以數列單調遞增。再證數列有上界。下面的證明可以看到一個更強的命題： 數列以（ k 為正整數） 為上界。先證不等式：當nk 時，.設 ，.由均值不等式 因此， 其次由，有當nk 時， 任取一個正整數k，均是數列的上界。又數列單調遞增， 當nk 時， 不等式仍然成立。因此， 對于數列（

41、n=1，2） 恒有（ k 為正整數） 。任意選定一個k值，均是數列的上界。所以數列單調有界， 由單調有界定理， 數列極限存在。設極限值為e，即.由上面的證明，我們不難用均值不等式證明：數列極限存在且其極限也是e。證明如下：記所以數列 單調減少，且 數列收斂，且極限也是e。由上面的結果有，兩邊取對數有由此可以證明數列收斂。（ 其極限稱為euler 數）3.3.2 求極限解：利用因為有，故3.3.3 證明積分不等式例1 2 證明：若函數f（ x） 在 a，b 連續，且x a，b ，有f（ x）0，則證明：利用的變形.由已知條件：與在 a，b 上均可積。應用積分定義，將區間 a，b 進行n 等分。取

42、極限（ n） 則有例2 2 證明：若函數在 a，b 上是正值可積的，k=1，2n，且0ab，則證明：利用有于是：即例3 設f （ x） 在 ， 上非負連續， 證明：證明：由題設知f（ x） ，1nf（ x） 在 ， 上可積，將 ， n 等分，作積分和 所以由均值不等式得故注1： 此例中的結論僅僅是著名的jensen 不等式的一個特例。注2：jensen 不等式： 設 是在集 內的代數 上的正測度，使得（ ） ，若f 是內的實函數，對所有的x，af（ x） 0. 由定理2有 其中 1,故“ =”不成立,所以數列為單調遞增數列,又因為 其中,故“ =”不成立,故,即上式對一切偶數成立, 又為單調遞

43、增數列, 故對一切正整數n, 有 0,則數列有下界.根據定理1推論2,數列收斂.問題三:證明數列收斂證明由猜想數列為單調遞增數列, 需證. 即要證,又.由定理2,所以.下面要明證化簡得: ,即有: ,顯然成立.因此, 故數列為單調遞增數列. 又,由問題一知. 所以數列有上界.由定理1推論1,數列收斂.綜上問題的證明過程中,有一定的分析的思路,過程簡潔,比較容易理解.3.5例說利用均值不等式解應用問題 要解決實際問題, 需要運用數學模型, 而某些數學模型常用到不等式的知識,尤其是均值不等式.本文試舉例說明均值不等式在解實際問題中的應用. 例1 小強家住農村,十月一日國慶節回家,正趕上父親收割莊稼,由于今年大豐收糧食太多,自家糧倉全部裝滿, 還剩下很多. 這時爸爸想出一個主意,決定用一塊長方形木板, 借助兩面成直角的墻,在屋子的墻角處圍成一個直三棱柱的谷倉, 木板可立,可橫. 小強心想,這么多糧食,怎樣圍才能裝最多的糧食呢? 經過測算,小強得出滿意的答案,向父親提供了建議,請你敘述小強的做法. 如果換成任意的兩面墻,如何處理?解小強用直尺