1、此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除不等式與線性規(guī)劃元二次不等式的【考情解讀：(1)在高考中主要考查利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行兩數(shù)的大小比較、 解法、基本不等式及線性規(guī)劃問題基本不等式主要考查求最值問題，線性規(guī)劃主要考查直接求最優(yōu)解和已知最優(yōu)解求參數(shù)的值或取值范圍問題.(2 )多與集合、函數(shù)等知識(shí)交匯命題，以填空題的形式呈現(xiàn)，屬中檔題.1 四類不等式的解法(1) 一元二次不等式的解法先化為一般形式 ax2 + bx+ cO(a豐0),再求相應(yīng)一元二次方程ax2 + bx+ c= 0(a 0)的根，最后根據(jù)相應(yīng)二次函數(shù)圖象與x軸的位置關(guān)系，確定一元二次不等式的解集.(2) 簡(jiǎn)單分式不等式的解法

2、f x 變形？ gT0(0(0( W 0)? f(x)g(x) 0(w 0)且 g(x)M 0.(3) 簡(jiǎn)單指數(shù)不等式的解法 當(dāng) a1 時(shí)，af(x)ag(x)? f(x)g(x); 當(dāng) 0aag(x)? f(x)1 時(shí)，logaf(x)logag(x)? f(x)g(x)且 f(x)0 , g(x)0; 當(dāng) 0alog ag(x)? f(x)0, g(x)0.2. 五個(gè)重要不等式(1) |a|0, a2 0(a R).(2) a2 + b22ab(a、b R).a+ bf ,ab(a0 , b0).a+ b 2(4)abw (2 )2(a, b R).(a0, b0).3. 二元一次不等式(

3、組)和簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃(1) 線性規(guī)劃問題的有關(guān)概念：線性約束條件、線性目標(biāo)函數(shù)、可行域、最優(yōu)解等.(2) 解不含實(shí)際背景的線性規(guī)劃問題的一般步驟：畫出可行域；根據(jù)線性目標(biāo)函數(shù)的幾何 意義確定最優(yōu)解；求出目標(biāo)函數(shù)的最大值或者最小值.只供學(xué)習(xí)與交流4兩個(gè)常用結(jié)論(l)ax1 2 + bx+ cO(a豐0)恒成立的條件是a0,0.a0,0.(2)aX + bx+ c0(a豐0)恒成立的條件是熱點(diǎn)一一元二次不等式的解法1例 1 (1)(2013安徽)已知一元二次不等式f(x)0的解集為x|x2 ,則f(10x)0的解集為已知函數(shù)f(x) = (x 2)(ax+ b)為偶函數(shù)，且在(0,+ )單調(diào)遞增，

4、則f(2 x)0的解集為思維啟迪利用換元思想，設(shè)10x= t,先解f(t)0.(2)利用f(x)是偶函數(shù)求b，再解f(2 x)0.答案 (1) x|x lg 2(2) x|x41解析 由已知條件010x2,1解得x0.f(2 x)0 即 ax(x 4)0，解得 x4.思維升華二次函數(shù)、二次不等式是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，也是高考的熱點(diǎn)，“三個(gè)二次”的相互轉(zhuǎn)化體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法.變式訓(xùn)塚(1)不等式上二丄0.若 pA q 為真命題，則實(shí)數(shù) m 的 取值范圍是 .1答案(1)( 2，1(2)( 2,0)1解析(1)原不等式等價(jià)于(x 1)(2x+ 1)0或x 1 = 0,即2x1或x= 1

5、,所以不等式的解集（2）pA q為真命題，等價(jià)于 p, q均為真命題.命題 p為真時(shí)，m0;命題q為真時(shí)，= m1-40，解得2m2.故 p A q 為真時(shí)，2m7在x (a, +)上恒成立，貝U實(shí)數(shù)a的最小值為 x a3答案(1)3(2)3解析因?yàn)辄c(diǎn)A(m,n)在第一象限，且在直線 + 4y= 1上，所以m, n0,且+4= 1.m n+所以m 4w(冷4).當(dāng)且僅當(dāng) = 4= J 即卩 m= I, n = 2 時(shí),取等號(hào)).所以1，即mn w 3,卜2ax a 2x a 紅+ 2a = 4+ 2a,x a所以mn的最大值為3.22(2)2x+= 2(x a) +x a3由題意可知4+ 2a

6、乙得a2,即實(shí)數(shù)a的最小值為|.熱點(diǎn)三 簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題【例3 (2013湖北)某旅行社租用A、 B兩種型號(hào)的客車安排900名客人旅行，A、B兩種車輛的載客量分別為36人和60人,租金分別為1 600元/輛和2 400元/輛，旅行社要求租車總數(shù)不超過21輛，且B型車不多于A型車7輛，則租金最少為元.思維啟迪 通過設(shè)變量將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題.答案 36 800解析設(shè)租A型車x輛，B型車y輛時(shí)，租金為z元,x+ yw 21則 z= 1 600x+ 2 400y,且 x,y滿足y x 900,x, y0, x, y N畫出可行域如圖,2 z 直線 y= 2x+ 2過點(diǎn)A(5,12)時(shí)縱截距

7、最小,所以 Zmin = 5 X 1 600 + 2 400 X 12= 36 800,故租金最少為 36 800元.思維升華線性規(guī)劃問題一般有三種題型：一是求最值；二是求區(qū)域面積；三是確定目標(biāo)函數(shù)中的字母系數(shù)的取值范圍.(2)解決線性規(guī)劃問題首先要找到可行域，再注意目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合找到目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解.(3)對(duì)于應(yīng)用問題，要準(zhǔn)確地設(shè)出變量，確定可行域和目標(biāo)函數(shù).x0,曼式調(diào)域H 已知實(shí)數(shù)x, y滿足約束條件 4x+ 3yw 4,則w = 也的最小值是 xy 02x- y+ 10,(2013北京)設(shè)關(guān)于x, y的不等式組 x+ m0滿足X0 2y0= 2,求得m的取值范圍

8、是 2答案(1)1(2)汽一3解析(1)畫出可行域，如圖所示.寧表示可行域內(nèi)的點(diǎn)為1 0(x, y)與定點(diǎn)P(0, 1)連線的斜率，觀察圖形可知PA的斜率最小當(dāng)m0時(shí)，若平面區(qū)域存在，則平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)在第二象限，平面區(qū)域內(nèi)不可能存在點(diǎn)P(X0, y0)滿足 X0 2y0= 2，因此 m0.如圖所示的陰影部分為不等式組表示的平面區(qū)域.1要使可行域內(nèi)包含 y= x 1上的點(diǎn)，只需可行域邊界點(diǎn)1 1 2(m, m)在直線y= 2x 1的下方即可，即 m m 1,解得 m 3.I本講規(guī)律總結(jié)I1 幾類不等式的解法一元二次不等式解集的端點(diǎn)值是相應(yīng)一元二次方程的根，也是相應(yīng)的二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)

9、，即二次函數(shù)的零點(diǎn)；分式不等式可轉(zhuǎn)化為整式不等式（組）來解；以函數(shù)為背景的不等式可利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化.2 基本不等式的作用二元基本不等式具有將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”或?qū)ⅰ昂褪健鞭D(zhuǎn)化為“積式”的放縮功能，常常用于比較數(shù)（式）的大小或證明不等式或求函數(shù)的最值或解決不等式恒成立問題.解決問題的關(guān)鍵是弄清分式代數(shù)式、函數(shù)解析式、不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇好利用基本不等式的切入點(diǎn)，并創(chuàng)造基本不等式的應(yīng)用背景，如通過“代換”、“拆項(xiàng)”、“湊項(xiàng)”等技巧，改變?cè)降慕Y(jié)構(gòu)使其具備基本不等式的應(yīng)用條件利用基本不等式求最值時(shí)要注意“一正、二定、三相 等”的條件，三個(gè)條件缺一不可.3線性規(guī)劃問題的基本步驟（1）定域

10、一一畫出不等式（組）所表示的平面區(qū)域，注意平面區(qū)域的邊界與不等式中的不等號(hào)的對(duì) 應(yīng)；（2）平移一一畫出目標(biāo)函數(shù)等于 0時(shí)所表示的直線I,平行移動(dòng)直線，讓其與平面區(qū)域有公共點(diǎn)， 根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義確定最優(yōu)解，注意要熟練把握最常見的幾類目標(biāo)函數(shù)的幾何意義；（3）求值一一利用直線方程構(gòu)成的方程組求解最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)，求出最值 【真題感悟11. （2014山東改編）已知實(shí)數(shù)x, y滿足axay（0ay21n； In（x X x+ 1 = 13(當(dāng)且僅當(dāng) =x+ 1,即x= 1時(shí)取等號(hào))，所以促銷費(fèi)用投入1萬(wàn)元時(shí)，j x + 1x+ 1廠家的利潤(rùn)最大.3x- y l n（y2+ 1）； s

11、in xs in y; x2.若點(diǎn)P(x, y)滿足線性約束條件x- .3y+ 2 0,點(diǎn)A(3，丿3), O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則OA OPy 0,的最大值為.答案 6解析 由題意，知 OA= (3, ,3),(x, y),則 oA OP = 3x+、；3y.令 z= 3x+ 3y,y3.答案1解析 因?yàn)?a1, axy.米用賦值法判斷，中，當(dāng) x= 1, y= 0時(shí)，？1，不成 立.中，當(dāng) x= 0, y= 1時(shí)，In 1ln 2，不成立.中，當(dāng) x= 0, y= n時(shí)，sin x= sin y =0,不成立中，因?yàn)楹瘮?shù) y= x3在R上是增函數(shù)，故恒成立.x + 2y 4 0,2. （2014浙

12、江）當(dāng)實(shí)數(shù)x, y滿足x y K 0,時(shí)，1 ax+ y 1范圍是答案1, %解析 畫可行域如圖所示，設(shè)目標(biāo)函數(shù)z= ax+ y,即y= ax+ z,要使1 zw4恒成立，則1 2a+ 1 0,數(shù)形結(jié)合知，滿足i三玄三43 3即可，解得 K a 2.所以a的取值范圍是 K a0),所以 y = 17 - (2 * 如圖畫出不等式組所表示的可行域， + x + 1) 17 -Px+ 1x + 1可知當(dāng)直線 y 一 3x+ 33 z經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，z取得最大值.寸 3x y= 0,x= 1,由解得即B(1 ,3)，故z的最大值為3X 1+3X 3= 6.x- ,3y+ 2 = 0,y= . 3,即(5

13、A6P的最大值為6.i i3如果關(guān)于x的不等式f(x)0和g(x)0的解集分別為(a, b),輅，？，那么稱這兩個(gè)不等式為“對(duì)偶不等式”，如果不等式x2- 4 3xcos 2 0+ 20與不等式2x2 + 4xsin 2 0+ 10為“對(duì)偶不等式”，且 0 (n, n ,貝廿 0=.答案5n6解析由題意可知 ab= 2, a + b = 4 3cos 2 0,1 1+ -=- 2sin 2 0,b a即ab =- 2sin 2 0 ,ab 2 3cos 2 0=- 2sin 2 0, tan 2 0=-3.T 0(2, n)5 n5 n 2 0 ( n 2 n) 2 0= .0=.3 6(推薦

14、時(shí)間：50分鐘)一、填空題x+ 1,x0 ,1.函數(shù)f(x)=則不等式x + (x + 1)f(x+ 1) 0 ,答案x|x w 2 1解析 當(dāng)x- 1恒成立，所以x -1時(shí)，原不等式可化為 x + (x+ 1) xw 1 ,解得2 1w xW 2 1,所以一1 w xW 2 1.綜上，原不等式的解集為x|xw 2 - 1.2下列不等式一定成立的是 .1 lg x2+ 4 lg x(x0)；1 sin x2(xm k n k Z);sin x x2+ 1 2X|(x R)； 冷1(x R).答案解析 應(yīng)用基本不等式：x, y0, xyxy(當(dāng)且僅當(dāng)x = y時(shí)取等號(hào))逐個(gè)分析，注意基本不 等式

15、的應(yīng)用條件及取等號(hào)的條件.11當(dāng) x0 時(shí)，x2 +2 x = x,4 21所以lg x2+ lg x(x0)，故不正確；4運(yùn)用基本不等式時(shí)需保證“一正、二定、三相等”，而當(dāng)xm kn, k Z時(shí)，sin x的正負(fù)不定，故不正確；由基本不等式可知，正確； 當(dāng)x = 0時(shí)，有二丄=1,故不正確.x + 13. (2013重慶改編)關(guān)于x的不等式x2- 2ax 8a20)的解集為(X1, x2),且 沁一X1 = 15,則a=.答案|解析 由x2 2ax 8a20 ,得（x+ 2a）（x 4a）0，所以不等式的解集為（一2a,4a），即5x2= 4a, X1= 2a,由 X2 X1= 15,得 4

16、a （ 2a） = 15,解得 a = .4. （2014重慶改編）若Iog4（3a+ 4b）= log/ab，則a+ b的最小值是 .答案 7+43.ab0,a0,解析由題意得ab 0,所以b0.3a+ 4b0,又 Iog4（3a + 4b） = Iog2 ab,所以 log3a+ 4b） = log4ab, 所以 3a+ 4b = ab,故-+ 3= 1.a b所以 a + b = （a + b）（4 + 3）= 7 + 曽+ 譽(yù)當(dāng)且僅當(dāng)3a=4b時(shí)取等號(hào).b ax+ y 5 w 0,5 .已知變量x , y滿足約束條件x 2y + 1 w 0,貝V z = x + 2y 1的最大值為x

17、1 0答案 8x+ y 5w 0,解析 約束條件x 2y+ 1 w 0,所表示的區(qū)域如圖,x 1 0由圖可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過 A(1,4)時(shí)取得最大值，故 z= x+ 2y 1的最大值為1 + 2 X 4 1 = 8.6.已知f(x)是R上的減函數(shù)，A(3, 1), B(0,1)是其圖象上兩點(diǎn)，則不等式|f(1 + In x)|1的解隹阜集是.答案(2, e2)e解析/ |f(1 + ln x)|1 , 1f(1 + ln x)1 , f(3)f(1+ ln x)f(0),又 f(x)在R上為減函數(shù)， 01 + ln x3, 1ln x2,.1-ex0,且z= 2x+ 3y的最大值是5,則實(shí)數(shù)a

18、的值為.yw a,答案 1解析 畫出滿足條件的可行域如圖陰影部分所示，則當(dāng)直線z= 2x+ 3y過點(diǎn)A(a, a)時(shí)，z = 2x+ 3y取得最大值5,所以5= 2a+ 3a，解得a= 1.1的最小值為&若點(diǎn)A(1,1)在直線2mx+ ny 2 = 0上，其中mn0,則席3答案2+ .2解析 點(diǎn)A(1,1)在直線2mx+ ny 2= 0上,/ 2m+ n = 2,又T mn0，二 m0 且 n0.丄+丄J , 1 2m+ n 1 =(m+才丁=2(2+2m+耳 +1)n mm n當(dāng)且僅當(dāng)2m=m，即n =，2m時(shí)取等號(hào),113 + -的最小值為；+ J2.m n2二、解答題19設(shè)集合 A為函數(shù)y = ln( x2 2x+ 8)的定義域，集合B為函數(shù)y= x+=的值域，集合 CI I1為不等式(ax-)(x+ 4)0 ,得一4x0，即 x 1 時(shí)，y2 1 = 1,此時(shí)x= 0，符合要求；當(dāng) x + 10，即 x0 時(shí)，C = x| 4wx a，不可能 C? ?rA;1當(dāng) a -2,若 C? ?rA,則2,. a2w 1,a2 -22 a0, 即 a 2b+ 2 b0 , + (2 b)x+ 1在x=xi處取得極大值，在 x= X2處取得極小值，且0xi1x20;若z= a + 2b，求z的取值范圍.(1)證明求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f (x