1、第二章 導數與微分一、教學目標與基本要求1. 理解函數在一點的導數的三種等價定義和左、右導數的定義；了解導函數與函數在一點的導數的區別和 聯系；會用導數的定義求一些極限，證明一些有關導數的命題，驗證導數是否存在；了解導數的幾何意義 及平面曲線的切線和法線的求法。2. 掌握常數、基本初等函數及雙曲函數與反雙曲函數的導數公式；掌握導數的四則運算法則和復合函數的 求導法則。3. 理解高階導數定義； 掌握兩函數乘積高階導數的萊布尼茲公式； 綜合運用基本初等函數的高階導數公式， 兩函數和、差、積的高階導數公式及萊布尼茲公式等，求函數高階導數。4. 理解隱函數定義并會求隱函數的一階、二階導數；掌握反函數的

2、求導法則。5. 掌握參數方程所確定的函數的一、 二階導數的求導公式； 會用對數求導法求冪指函數和具有復雜乘、 除、 乘方、開方運算的函數的導數。6. 理解微分的定義以及導數與微分之間的區別和聯系；掌握基本初等函數的微分公式；理解微分形式的不 變性；了解微分在近似計算及誤差估計中的應用。7. 理解函數在一點處可導、可微和連續之間的關系。二、教學內容與學時分配第一節 導數的概念，計劃 3.5 學時；第二節 函數的和、差、積、商的求導法則，計劃 1.5 學時；第三節 反函數的導數、復合函數的求導法則，計劃 3.5 學時；第四節 初等函數的導數問題，計劃 1 學時；第五 節 高階導數，計劃 2.5 學

3、時；第六節 隱函數的導數、由參數方程所確定的函數的導數，計劃 3.5 學時； 第七節函數的微分，計劃 2.5 學時；第八節 微分在近似計算中的應用，計劃 1.5 學時；共計 20 學時。三、重點與難點1. 導數的概念與幾何意義及物理意義；2. 可導與連續的關系；3. 導數的運算法則與基本求導公式；4. 微分的概念與微分的運算法則；5. 可微與可導的關系。四、內容的深化與拓寬1. 導數概念的深刻背景2. 復合函數的求導法則的應用3. 綜合運用基本初等函數的高階導數公式，兩函數和、差、積的高階導數公式及萊布尼茲公式等，求函數 的高階導數。4. 綜合運用導數的幾何意義及求導法則，解決幾何方面的曲線切

4、線與法線的問題及相關變化率問題。五、教學手段以教師講解為主，輔以學生練習，適當提問增強學生互動，引發學生積極思考。六、注意內容1. 對導數與微分概念的理解2. 求導及求微分方法的靈活運用3. 對函數在一點處可導、可微和連續之間的關系的理解。七、參考書目八、思考題與習題 2-1導數的概念一、導數產生的背景1. 非勻速運動物體的速度問題2. 平面曲線的切線問題例1.力學中的線密度問題非勻速直線問題和曲線的切線的斜率都歸結為如下的極限：lim f(Xo_勺一丄勺.這里 x與x 0xf (xo x) f (xo)分別是函數y = f (x)的自變量的增量和函數的增量y。二、導數的定義1. 導數定義2.

5、 左、右導數定理：f x0a f x0f x0a3. 導函數導函數定義顯然導數f(X0)是導函數f(X)在x X0處的函數值，即f(X0)f (x) x x0。三、求導數舉例1. y C,x R( C 為常數)(C)02. y xn( n為正整數)nn 1(x ) nx一般地，對于幕函數(x )x 1例 1. (x3)3x21(=) (xy)1 1 2 =x221JJ2 22、xxlx11x01（自變量對其本身的導數為1）3.三角函數 y sin x(sin x) cosx同理：(cosx) sin x4.指數函數 y ax(a 0, a 1)(ax)ax l na特別的，(ex) ex例 2

6、. (4x)4xln45.對數函數y In x(x 0)1(In x)x例 3. Ioga x(a 0,a1,x0)，求 y解: y loga xlim匹x 0lOga x1ln aln limx 01(log a x) xln a1例 4. (log 5 x)x l n 5四、導數的幾何意義1,1處的切線方程例5.求曲線y x2上任意一點處切線的斜率，并求在點五、導數存在的必要條件定理：若f X在點Xo可導的必要條件是它在點 X0連續。另一方面，如果函數在某一點連續，卻不一定在該點處可導。見下例:例6. y x在點x 0連續，但不可導。例7.討論yn .1x sin , xx 0(n N)在

7、點x 0連續性和可導性。0 ,x 0例&已知ya bx, xe x, x0 .在x 00可導，求a, b之值。 2-2函數的和、差、積、商的求導法則求導法則：1. ux v xu xv x例1.2y xsin x cosx1,求 y。例2.設y a0nn 1xa-ixLan必an，求 y。通常，多項式的導數仍是多項式，其次數降低一次，系數相應改變。2. (u(x)v(x) u (x)v(x) u(x)v(x)c(v(x)。例 3.設 u C(C 為常數)，v v x 可導，則(Cv(x)(C) v(x) C(v(x)通常，常數因子可以提到導數符號外面。例 4.設 y ax b，則 y (ax

8、b) (ax) (b) a(x) a。即線性函數的導數為一個常數.直線的切線就是它本身。例 5. y log a x,求y。例 6.已知 y (x 1)(x2)(x 3)，求 y % 33 u(x)u (x)v(x) u(x)v(x) (v(x) 0)v(x)v2(x)例 7. y cotx，求 y。1例8.設函數v x可導，且v x0,證明v(x)v(x)v2(x)例 9. y e x，求 y 。例 10. y secx，求 y。一般地，(1)n若函數u X ,V X均可導，則( ui (x)i 1nd 門ui (x)或 ui (x) i 1dx i 1n dui(x)1 d x(2)(u(

9、x)v(x)u (x)v(x) u(x)v (x)n(ui(x)i 1nu1(X)u2(X)ui (x) un(x)i 1d-ui(x)d x i 1nUi(x)U2(x)i 1警 un(x)d x(3)u(x)v(x)u (x)v(x) u(x)v (x)v2(x) 2-3反函數的導數、復合函數的求導法則、反函數的導數定理：設單調函數y在區間I內可導,x 0,則它的反函數x在相應的某區間J內單調、可導，且f(X)1o(y)該定理說明：一個函數單調、連續、可導，則它的反函數存在，且單調、連續、可導。例 1. y arcsinx 1 x 1，求 y。例 2. y arccosx 1 x 1，求

10、y。例 3.設 y arctanx x (,)，求 y。二、復合函數的導數定理：設u x在點x處可導，y f u在對應點u u x 處也可導，復合函數 y f x 在U x內有定義，則y fx 在點x處是可導的，且亠 d y d y d u(f( (x)f ( (x) (x)或d x d u d x例 4. y sin ax ,求 y。例 5. y e 5x，求 y。1x例6.證明：in7.ln(x . x a )，8.sin2 ，求 y。9.yCOt才，求y。1)10.11.12.sin fIn.x2 1,|x|cos2ln1 x1,求 y。,x ( 1,1),求 y。可導，寫出下列函數關于

11、 x的導數y=cos f x f x2)3)In fy 3f(x)4)f sinxsinx cosx5)6)f ln xy1 f (ln x)-x13.證明：在a, a內可導的奇（偶）函數的導數是偶（奇）函數. 2-4初等函數的導數問題(C)0;(x )(sin x) cosx;(cos x)(tan x)sec x;(cot)(secx)secxtan x;(csc x)(ax)ax ln x;(e ) e1(ln x)-;(log a x)常用的基本初等函數的求導公式xsin x;2CSC x;cscxcot x;xx1(arcsin x)(arcta n x).廠x211 x2(1 x

12、1); (arccos x)x (,) ; (arccot x)1 x211 x2(1x1);x (,).、函數的和、差、積、商的求導法則設u u X ,v v x都可導，則(1) (u(x)v(x) u (x) v(x)(2) (Cv(x)(C)v(x) C(v(x)C(v(x)(3) (u(x)v(x) u (x)v(x) u(x)v (x)(4) 回u(x)v(x)2 u(x)v(x) ,(v(x) 0)v(x)v (x)三、復合函數的求導法則x處也可導，復合函數y f設u x 在點x處可導， y f u 在對應點 u uU x內有定義，則y f x 在點x處是可導的，且 (f( (x)

13、 f ( (x) (x)或字 乎乎。d x d u d x 2-5 高階導數一、高階導數的概念n階導數概念f x在區間I上n階連續可導無窮次連續可導例1.求幕函數y xn， n N的高階導數” rn例2. y ax b的高階導數例3.多項式R(x) axn a/1 L a* 1X an的高階導數。例4.求y ex的各階導數。例5.求y ax的各階導數。例6.求y In X的各階導數。1例7.求y的高階導數。X例8.求y sinx,y cosx的各階導數。例9. yIn si n x ,求d2ydx2例 10. yesinx，求 y例11.dx試從dxydy、高階導數的運算法則設f x ,g x

14、有直到n階的導數，則(1)(f (x)g(x)(n) f (n)(x) g(n)(x)n萊布尼茲公式(f(x) g(x)(n)Cn f(n k)(x)g(k)(x),其中 ckk 0n!k!( n k)!例12.,100十d求 100dx1x2 5x 6例13.設yx2 sin x,求 y 80。例 14.證明 f xarcsinx 滿足下式(1 x2) f (n 2)(x) (2n 1)xf(n 1(x) n2f (n)(x)0。 2-6 隱函數的導數、由參數方程所確定的函數的導數一、隱函數的求導法則如果由方程Fx,y 0確定隱函數y fx可導，則將y fx代入方程中，得到F x, f x0

15、對此方程兩邊關于 x求導： F(x, y) 0然后，從這個式子中解出y ,就得到隱函數dx的導數。例1.求由方程F(x, y) xy ex ey 0x0所確定的隱函數的導數 y ,并求y x 0。2 2例2.求橢圓占 1在點(x,y)處的切線方程。a b二、參數方程求導法則 參數方程求導法則:dy設X yx(t) t y(t) tI，右y y (t)，x (t)存在，且 x (t)dtdto,則 dyy(t)x tdt dx dt例3.xa cost 亠求橢圓，在t 時的切線方程。ybsi nt22 2 2例4.星形線x73ya3的參數方程為3 .acos tasin t(t三、取對數求導法例

16、5.求y例6.設y例7.設y四、隱函數、數等的導數。3參數方程確定的函數的高階導數xsinx的導數。(1 x)(1 2x)(1 x2)，求 y。(1 5x)(1 8x)(1 x4)3 一 2 1 X . 32.x 2 sin xcos x，求 y。1 x2例8設x2xy y4，求烏。dx9.xyx ye ，求10.tan(xy),11.12.ln(1t2)求叭t arctantdx3a(tsi nt)d2ya(1si nt)，求菽。oxyxy求馬。dx13.已知2y爲，x(t)，曲)均有二階導數,求乎。對y f x兩邊同時取對數后對方程兩邊關于x求導，常用來求一些復雜的乘除式、根式、幕指函 2

17、-7 函數的微分、函數的微分1. 微分的概念f x在點Xo處可微定義2. 可微與可導的關系定理：f X在點Xo可微f X在Xo可導,且A f Xo 。也就是說,f X在點Xo處可微性與可導性是等價的，且f x可微,則y f xo x o x，故dy f Xo x。例 1. y x，求 dy。該例說明：自變量的增量就是自變量的微分，函數的微分可以寫成：dy f x dx 或 df x f x dx此外，當X為自變量時，還可記 X2 dx2， xn dxn等。微商3. 微分的幾何意義二、基本初等函數的微分公式和微分的運算法則1. 微分的基本公式2. 函數和、差、積、商的微分法則d(u v) du

18、dvd(cu) cdud (uv) vdu udv/U、 vdu udv,d()2 (v o)vv3. 一階微分形式不變性(復合函數微分法則)當u為中間變量時的微分形式與 u為自變量時的微分的形式相同，均為dy f u du，這種性質稱為函數的一階微分形式不變性。例2.求y x3在x 2處的微分，以及當 x 0.1時在x 2處的微分。dx例3.已知y f x的反函數是x y ，f x在I內單調、可導，且f x O，則(y) 存在，dy/、 dx 11/亠+工(y)(作為商來看)。dy 業 f (x)dx例4設x y24y，求魚。dx例 5設 X(t) , x(t),y(t)存在,求 9。 y y(t)dx 2-8 微分在近似計算中的應用f x在處的導數存在，且很小時，有y f x0x(1)即 f(xx) f(x)y f (Xo)x或f(x x) f(