1、 2012屆本科畢業論文第一數學歸納法及其應用院（系）名稱數學科學學院專 業 名 稱數學與應用數學學生姓名 學號 指導教師 完 成 時 間2012.5第一數學歸納法及其應用 摘要：數學歸納法是數學思維方法中最重要、最常用的方法之一, 這不僅因為其中大量問題都與自然數有關, 更重要的是它貫穿于發現問題和解決問題的全過程. 本文對數學歸納法的由來、運用技巧以及需要注意的問題進行較為完整的系統論述. 重點闡述了第一數學歸納法的精髓和一般的解題思路, 以及在求解數學問題中的應用和技巧.關鍵詞：歸納法 第一數學歸納法 不等式 數列1 引言 對于數學歸納法的研究國內已有不少論文, 這些論文在具體方面做了詳

2、盡的論述. 同時還有數量不少的論文從數學歸納法的細微處著眼. 我國的數學期刊或數理雜志, 如數學教育報, 數學通報, 數學通訊等, 刊載的相關文章都從各個角度具體闡述了數學歸納法的常見問題. 數學歸納法是數學中一種重要的證明方法, 也是中學數學一個非常重要的內容, 用于證明與無窮的自然數集相關的命題. 但凡涉及無窮, 總會花費數學家大量時間與精力, 去理解并弄清它的真正意義. 普通歸納法與自然數這一最古老的數學概念及“無窮”這個無法直觀感覺的概念相結合的“數學歸納法”, 自然也需要一個漫長的認識過程.在16世紀晚期, 數學歸納法開始出現在代數中. 1575年意大利數學家莫洛里克斯（1494-1

3、575）在他的著作算術中就提出了這種方法, 并證明了, 雖然莫洛里克斯并沒有把數學歸納法貫徹到底, 例如經有限的驗證后便以“等等”一類的話代替了必要的演繹, 但是可以說莫洛里克斯算是一個與數學歸納法有關的一個早期的數學家, 一般認為, 歷史上第一次成功利用數學歸納法的是17世紀法國數學家帕斯卡（1623-1662）, 1654年, 帕斯卡第一次用數學歸納法證明了指數為正整數時的二項式展開式的系數公式, 從而得到有名的帕斯卡三角陣. 繼帕斯卡之后, 數學歸納法就成為數學家們手中得心應手的工具, 如在費馬（1601-1665）、伯努力（1654-1705）、歐拉（1707-1783）這些大數學家們

4、的出色工作中, 都可以找到數學歸納法的例子, 1889年意大利數學家皮亞諾(cpeano, 18581932, 意大利)發表算術原理新方法, 給出自然數的公里體系, 使數學歸納法有了一個準確、合理的理論基礎現在開始我們重新認識一下數學歸納法. 2 數學歸納法的原理2.1 歸納法在現實中的一些運用先從少數的事例中摸索出規律來, 再從理論上來證明這一規律的一般性, 這是人們認識客觀世界的方法之一. 不論在數學上, 或在其他場合, 從對一系列具體事物的考察中引出一般性結論的推理方法或過程, 叫做歸納法. 人們從有限的經驗中得出經驗性的結論是屢見不鮮的, 在這個過程中人們自覺或不自覺地運用了歸納法.

5、許多閃爍著人類思想光芒的諺語、成語、格言等, 都是應用歸納法的產物. 如“兵貴神速”、“驕兵必敗”, 都是對戰爭的勝負規律的一種認識, 同樣“滴水石穿”、“有志竟成”是人們考察了古往今來許多有成就者的經歷后得出的. 2.2 數學歸納法的本原理解了歸納法我們再具體到數學中來, 以識數為例. 小孩子識數, 先學會數1個、2個、3個, 過些時候, 能夠數到10了, 又過些時候, 會數到20, 30, 100了, 但后來, 就不再是這樣一段段地增長了, 而是飛越前進. 倒了某個時候, 他領悟了, 就什么數都會數了, 這一飛躍, 竟是從有限到無窮!怎樣會有這種方式呢? 首先, 他知道從頭數; 其次, 他

6、知道一個一個按次序數, 而且不愁數了一個以后, 下一個不會數, 也就是領悟了下一個數的表達方式, 可以由上一個數來決定, 于是, 他也就會數任何數了. 解釋這個飛躍的原理就是, 正是運用了數學歸納法的思想, 數學歸納法大大地幫助我們認識客觀事物, 由簡到繁, 由有限到無窮. 1979年6月9日, 在英國倫敦, 一群記者和上千名觀眾靜靜注視著一個人,急切的等待著一項基尼斯世界紀錄的誕生. 這個人就是邁克凱尼, 他用13天的時間, 用了169713塊骨牌搭出一個長達6900米的多米諾牌陣, 當邁克凱尼走到第一塊骨牌前, 用手輕輕推到它時, 奇跡出現了將近17萬張骨牌組成的長達6900米的多米諾陣在

7、半小時內統統顛覆. 這就是神奇的多米諾現象, 在這個過程中要使所有的骨牌倒下必須滿足兩個條件, （1）第一塊骨牌倒下；（2）任意兩塊相鄰骨牌, 只要前一塊倒下, 后一塊必定倒下. 這樣我們就會發現這與數學中一個極其重要的證明方法數學歸納法如出一轍. 并且擺多米諾陣的人應該注意的關鍵問題竟然也和使用數學歸納法的人應該注意的關鍵問題神似韻合. 2.3 命題的長蛇陣在前面我們屢次提到數學歸納法, 那么究竟什么是數學歸納法？我們現在先看一個命題. 試證：在一個正方形的紙上有個點, 已知這個點連同正方形的4個頂點, 其中任意3點都不共線試證：至多可以剪得頂點屬于上述個點的三角形紙片個我們可以把這個命題看

8、成是無窮多個命題組合而成, 這無窮多個命題列舉如下：命題1：在一個正方形紙上有1個點, 已知這5個點中任意3點都不共線, 證明：至多可以剪得頂點屬于上訴5個點的三角形4個. 命題2：在一個正方形紙上有2個點, 已知這6個點中任意3點都不共線, 證明：至多可以剪得頂點屬于上訴6個點的三角形6個. 命題3：在一個正方形紙上有3個點, 已知這7個點中任意3點都不共線, 證明：至多可以剪得頂點屬于上訴7個點的三角形8個. 命題：在一個正方形紙上有個點, 已知這個點中任意3點都不共線證明：至多可以剪得頂點屬于上訴個點的三角形個. 命題:在一個正方形紙上有個點, 已知這個點中任意3點都不共線, 證明：至多

9、可以剪得頂點屬于上訴個點的三角形個. 上述無窮多個命題排成了一個命題的長蛇陣, 它像無窮多個骨牌, 一個接著一個的擺放在那里. 如何證明這無窮多個命題呢？命題1的證明：當正方形內有一點, 且五點不共線, 則可以如圖1所示, 得到4個三角形. 命題1得證. 命題2的證明：根據命題1, 當正方形中有2點, 則另外一點一定在上題所分的4個三角行中任一個中, 假設如圖2所示, 則可看作這一點把其中一個分成3個, 即多了2個, 有6個, 命題2得證. 命題3的證明：根據命題2, 當正方形中有3點, 則另外一點一定在上題所分6個三角形中任一個中, 假設如圖3所示, 則可看作是這一點把其中一個分成了3個,

10、即多了2個, 共有8個, 命題3得證. 繼續這個過程, 我們可以依次證明命題4、命題5、. 也就是說, 我們可以證明這一系列命題中的任何一個命題. 因此, 一開始給出的命題, 當是任意自然數時都是正確的. （圖1） （圖2） （圖3） 2.4 什么是數學歸納法在上一部分, 我們把一個與自然數有關的命題寫成一個命題長蛇陣, 然后依次來證明, 這種方法顯然給人一種繁瑣的感覺. 但是我們可以看到, 從命題2開始, 命題長蛇陣中的每一個命題都是在前一個命題成立的基礎上被證明的, 并且證明的方式很類似. 也就是說, 命題是在命題成立的基礎上被證明的. 因此我們處理長蛇陣的方法可以改用以下兩步：1.證明命

11、題1成立;2.根據命題成立, 推出命題成立. 這樣根據第二步可知以后每個命題都成立. 可見, 有這兩步已經足夠了. 如果把命題長蛇陣里的一個命題比作一塊骨牌, 那么第二步就像把這些骨牌統統擺到了能產生“多米諾”現象的位置, 第一步恰如用手指輕輕地推倒了第一塊骨牌. 僅用這兩步就可以使命題長蛇陣中的每一個命題一個接一個的自動證明. 一般來說, 一個與自然數有關的命題可以看成是一個命題長蛇陣. 時為命題1, 時為命題2, 依次類推. 因此, 在證明一個與自然數有關的命題時, 可以采用以下兩步： 證明時命題成立； 證明：如果時命題成立, 那么時命題也成立. 這種證明方法就叫做數學歸納法. 這種方法也

12、可以概括為：“1對；假設對, 那么也對”. 這種概括是著名數學家華羅庚提出來的. 2.5 數學歸納法的歷史與原理在前面的論述中我們從游戲入手已經基本理解了數學歸納法的基本思想和主要步驟, 那么什么事保證數學歸納法的正確性呢？數學歸納法的背景是什么呢？在這里我們簡要地介紹一下數學歸納法的理論背景. 意大利有一個數學家, 名叫皮亞諾(cpeano, 18581932, 意大利), 他總結了自然數的有關性質, 并在關于自然數的理論中提出了關于自然數的五條公理, 后人稱為“皮亞諾公理”. 1是一個自然數； 1不是任何其他自然數的后繼； 每個自然數的后繼是自然數； 若兩個自然數的后繼相等, 則這兩個自然

13、數也相等；（歸納公理）自然數的某個集合若含有1, 而且如果含一個自然數就一定含有這個自然數的后繼, 那么這個集合含全體自然數. 其中公理5被稱為歸納公理, 是數學歸納法的邏輯基礎自然數系公理系統直接地保證了數學歸納法的合理性, 所以也可以把數學歸納法當作公理來看待. 所謂公理不是已知數學理論的邏輯推理的產物, 而是未經證明的產物, 其承認的的根據是生活實踐. 3 第一數學歸納法第一步：當時, 等式成立;第二步：假設當時, 這個等式是成立；也就是假設 3.1 第一數學歸納法的步驟及其誤區下面我們具體論述第一數學歸納法的步驟. 設是一個含有自然數的命題, 利用第一數學歸納法的證明步驟是：驗證時成立

14、;假設時成立, 能推出時也成立. 根據（1）、（2）知, 對一切自然數,成立. 第一數學歸納法的第一個步驟是奠基, 是命題論證的基礎；第二個步驟是歸納, 是命題的正確性能夠由特殊遞推到一般的依據. 這兩個步驟密切相關, 缺一不可. 如果只有奠基步驟而沒有歸納步驟則屬于不完全歸納法, 因而論斷的普遍性是不可靠的. 如果只有歸納步驟而沒有奠基步驟, 則歸納的假設就失去了依據, 從而是歸納法步驟的證明失去意義. 甚至會導致一些錯誤. 下面我們來看幾個例子. 誤區一：忽略了歸納奠基的必要性. 例1 試證明.錯證：假設時等式成立, 即,當時.則時等式成立.根據數學歸納法原理可知, 當是任意自然數時, 等

15、式都成立. 事實上我們知道這個題目本身就是錯的, 但是我們竟然把錯誤的結論“證明”出來了, 此種怪現象出現的原因, 就是缺乏歸納奠基這一步. 切莫以為歸納基礎這一步就是“當時命題正確”這么一句話, 似乎無關緊要, 可有可無. 從上例可以看出, 不去認真的驗證這一步, 或者根本沒有這一步, 都可能陷入錯誤之中. 誤區二：忽略了歸納遞推的必要性例2 求證:錯證：當時, 得；這時等式成立. 假設時, 這個等式成立；也就是說假設.當時, 而 所以也就是說, 當時, 這個等式也是成立的. 歸納步驟完成, 結論成立. 乍看起來, 上面的證明似乎也用到了數學歸納法的兩個步驟, 特別是也有了第二個步驟, 但事

16、實上, 在證明等式的過程中根本沒有用到這個式子. 所謂從“”到“”的過程, 意思是必須把“”時的命題, 當作已經給定的條件（假設）, 在這個基礎上來證明“”時的命題. 上面這個證明的過程中, 只不過是把要證明的公式加以“注解”而已, 等于什么也沒有做. 正確的證法應該是：在這個等式兩邊都加上,得而.所以 .這就是說, 當時, 這個等式是成立的.歸納步驟完成, 就可以斷定, 對于任何自然數, 這個等式都能成立. 誤區三：忽略了歸納遞推與歸納奠基之間的協同配合例3 試證任何個人都一樣高.錯證：當時, 命題變成“任何一個人都一樣高”, 結論顯然成立. 設時, 結論成立, 即“任何個人都一樣高”, 那

17、么, 當時將個人記為,由歸納假設, 都一樣高, 而也都一樣高,故都一樣高. 根據數學歸納法原理, 任何人都一樣高. 顯然, 例題3的題目是錯誤的, 但是錯證中數學歸納法的步驟齊全, 這次的問題出在什么地方呢？我們注意到在上述歸納推理步驟中, 有一個步驟是這樣的：“由歸納假設, 都一樣高, 而也都一樣高,故都一樣高. ”仔細推敲, 不難發現, 這個推理只有在時才能成立, 而在時不成立. 這就是說, 盡管由時命題成立, 可以推出時命題也成立, 但是由時命題成立, 不可能推倒出時命題成立. 此例中顯然還需要“時命題成立”作為它的歸納奠基, 這顯然是不會成立的. 這道題問題就出在歸納遞推步驟與歸納奠基

18、的協同配合. 上面舉的幾類錯誤地應用數學歸納法的例子, 實際上通過這些例子說明了應用數學歸納法應當注意的地方. 讓大家明白數學歸納法的兩個步驟是密切聯系、缺一不可的. 3.2 數學歸納法的應用在上一部分我們說明了數學歸納法的步驟及誤區, 并且我們可以知道數學歸納法是一些涉及自然數的論斷, 我們可能會這樣問：“是不是涉及自然數的論斷都可以用數學歸納法呢？或者什么時候用數學歸納法呢？”這個問題較難回答, 主要是決定于問題的具體情況. 例如, 要證明對于任意自然數, 等式成立. 我們可以直接計算左邊式子而得到證明. 又如, 如果,都是自然數, 要證明對于任意自然數, 有. 這里, 我們可以利用分數的

19、基本性質, 通過計算來證明這個不等式成立. 像這類問題就不必用數學歸納法. 但是對于那些無法直接計算而必須按從小到大的順序逐步計算的式子, 要證明這些論斷的正確性, 一般需要應用數學歸納法. 運用數學歸納法, 可以證明下列問題：與自然數n有關的恒等式、代數不等式、數列問題、幾何問題、整除性問題等等. 下面說明數學歸納法在一些數學問題中的應用3.2.1 用歸納法證明代數恒等式例4 (全國高考試題)證明下列恒等式：證明：當時, 左邊=；右邊. 等式成立. 假設當時等式成立, 即當時, 說明當時等式也成立, 恒等式對任何正整數都成立. 3.2.2 用歸納法證明不等式例5 設, 用數學歸納法證：證明：

20、當時, , , ,所以, 假設時, 成立證明時, 也成立. 所以原命題成立. 3.2.3 用數學歸納法解決整除問題運用數學歸納法來證明整除問題, 是充分運用整除的性質, 即：則. 例6 證明能被11整除. 證明：當n=l 時, =能被ll整除. 假設時, 能被ll整除. 則當時, 由于能被1l整除, 能整除ll, 所以能整除ll. 即當時命題也成立. 根據數學歸納法第一步與第二步可知, 等式對一切成立. 3.2.4 運用數學歸納法證明與數列有關的命題例7 設數列的前項和為, 若對于所有的自然數, 都有, 證明：是等差數列.分析：要證明是等差數列, 可以證明其通項符合等差數列的通項公式的形式,

21、即證：. 命題與有關, 考慮是否可以用數學歸納法進行證明. 證明：設, 猜測. 當時, , 當時猜測正確. 當時, ,當時猜測正確假設當時, 猜測正確, 即：.當時,將代入上式, 得整理得因為, 所以, 即時猜測正確. 綜上所述, 對所有的自然數, 都有,從而是等差數列. 評注：將證明等差數列的問題轉化成證明數學恒等式關于自然數成立的問題.在證明過程中的得出是本題解答的關鍵. 利用已知的等式,數列中通項與前項和的關系建立含的方程, 代人假設成立的式子解出. 另外, 不能忽視驗證、的正確性,本題 用數學歸納法證明時遞推的基礎是時等式成立,因為得到的條件是. 3.2.5 用數學歸納法證明幾何問題例

22、8 平面內有個圓, 其中每兩個圓都相交于兩點, 且每三個圓都不相交于同一點. 求證：這個圓把平面分成個部分. 證明：當時, 一個圓把平面分成兩部分, , 命題成立. 假設當 時命題成立, 即個圓把平面分成. 當時這個圓中的個圓把平面分成個部分, 第個圓被前個圓分成條弧, 每條弧把它所在部分分成了兩個部分, 這時共增加了個部分即個圓把平面分成即命題也成立. 根據數學歸納法第一步與第二步可知, 等式對一切成立. 從上面的一些例子可以看到, 數學歸納法在代數、幾何等方面都有很廣泛的應用, 當然這些例子只是九牛一毛, 例如運用數學歸納法證明三角函數的求和公式, 證明組合里的一些公式, 證明函數的各種性

23、質, 以及在微積分行列式一些證明中的應用等等. 總之, 遇到一個涉及自然數的問題的時候, 首先我們要考慮的是, 有沒有簡單直接的方法來把它算出來. 如果沒有簡單直接的方法, 就可以用數學歸納法來試試, 至于那些從對等情況遞推而歸納出的結果, 它的正確性, 一般要用數學歸納法來證明. 4 第一數學歸納法的技巧應用數學歸納法證題, 易陷入困境的常在第二步, 解決這個問題并無萬能方法, 應該遵循的基本原則：積極創造條件, 有效利用歸納假設, 巧妙變形過渡, 4.1 欲進先退若在由到的推導過程中陷入困境, 不妨先由 退到, 然后用歸納假設再進回到. 退的技巧有很多, 常用的有撤出、合并等. 4.1.1

24、 撤出例9 有個飛機場, 每個飛機場都有一架飛機, 各個飛機場之間的距離互不相等. 現讓所有的飛機一起起飛, 飛向最近的機場降落, 求證必存在一個機場沒有飛機降落. 證明：當時, 設3個飛機場為其中,則間的飛機必定對飛. 而不管機場的飛機飛向還是飛向, 都使機場無飛機降落. 現假設時命題成立, 當時, 由于機場之間的距離兩兩不等, 必有兩處機場的距離是最近的, 這兩處的飛機會對飛, 不會影響其他機場. 我們將這兩個機場先撤出, 由歸納假設, 剩下的個機場中, 存在一個機場沒有飛機降落, 再把撤走的機場放回, 則仍無飛機降落, 從而可知當時命題成立. 4.1.2 合并例10 設有個球分成了許多堆

25、, 我們可以任意選甲, 乙兩堆來按照以下規則挪動：若甲堆的球數不少于乙堆的球數, 則從甲堆拿個球放到乙堆去, 這樣算挪動一次, 求證:可以經過有限次挪動把所有的球合并成一堆. 證明：當時, 共有2個球, 若已成一堆, 則不必挪動；若分成兩堆, 則挪動一次便可成功. 假設時命題成立, 當時,對于個球, 若將2個粘合成1個便退到個球的情況, 這種粘合要求每堆球的個數為偶數, 可討論如下：若每堆球的個數為偶數, 則每挪動一次都挪動了偶數個球, 這樣的任意一次挪動與將球兩兩粘合在一起挪動無本質區別, 從而等價與個球的挪動, 根據歸納假設, 這是可以做到的. 若存在球數為奇數的堆, 則由總球數為偶數知,

26、 有奇數的堆數為偶數, 將它們配對先挪動一次, 于是每堆球數都為偶數, 問題可以解決. 4.2 構造待添加的隱藏文字內容3在用數學歸納法證明某些問題時, 從到的證明中有時需要巧妙構造. 例11 對每個, 求證存在個互不相等的正整數,使得,對任意的成立.證明：當時, 取, 命題顯然成立. 假設時命題成立, 即存在滿足,記b為及它們每兩數之差的最小公倍數,則個數,也滿足, 即命題對時成立, 由數學歸納法知命題得證. 上例證明中從到的過渡用到了較高的構造技巧. 4.3 湊配有些問題從到證明過程中需要湊配出一些特定形式. 例12 設數列, 求證：當時, .證明：顯然, 題設數列是正數列當時, , 而a

27、3=33=69, 所以, 原不等式成立. 假設時, 有,即, 當時,要證, 即要證, 由式兩邊分別乘以, 從而,兩邊消去, 得. 兩邊開次方即得. 即當時, 原式成立. 綜上, 證得原命題成立. 上例證明第二步若要直接將代入是困難的, 因此用湊配法, 先在的兩邊乘以, 問題就迎刃而解了. 4.4 先猜后證有些題目的結論是不容易以下求得的, 根據特殊到一般的規律, 先從符合題意的最小基數入手, 探索, , 等個別特例的結果, 發現、總結其規律性. 對一般的自然數給出一個猜想, 再用數學歸納法論證這個猜想的正確性. 即先猜后證. 例13 設列的通項公式為求數列的前項和的公式. 解：因為, , ,至

28、此, 可以猜測數列的前n項和公式是 下面用數學歸納法證明. 當時由上述計算可知公式是正確的. 設公式當時正確, 當時,因為故公式當時也是正確的. 因此, 公式對一切自然數都成立. 即是數列an前項和公式. 這種求和方法觀察-歸納-證明, 實質上是一種由不完全歸納到完全歸納的方法. 由于這種方法中, 的形式要從, , , 等幾個數值中看出來, 因而對, , , 等幾個數值的化簡式變形就成了關鍵, 只有待其體現了某種規律時, 才有可能猜想出的形式. 4.5 順勢分流假如要做一件事, 一下子做不了, 我們不妨把其中能做的那一部分分出來先做了, 然后再去做剩下的一部分. 假如用數學歸納法證題, 一下子

29、證不出來, 我們不妨把其中能用數學歸納法的證明的那一部分分出來先證, 然后再去證明剩下的那一部分, 我們把這種方法叫做順勢分流, 即順著數學歸納法之勢, 將能做的與不能做的分開處理. 例14 試證：對于一切自然數, 都有.分析：當時結論顯然成立, 設時結論成立, 即, 當時,此時發現, 僅當時,才有. 這就是說, 僅當時, 命題n=k+1成立. 因此我們不得不將的情況與的情況分開來處理, 具體的說, 我們可以采用以下的方式證題：直接驗證時不等式成立, 即驗證時不等式成立；用數學歸納法證明時不等式成立, 即驗證“時對, 假設時對, 推證時成立”. 命題即可得證, 證明從略. 通過上述論證可以看出

30、, 數學歸納法的論證十分的靈活多變, 要完全掌握這一方法單靠死記硬背是行不通的, 關鍵是要培養自己的邏輯思維能力, 把握住歸納奠基與歸納遞推所展示的邏輯鏈, 而邏輯思維能力是一個需要畢生精力不斷苦練的功夫. 5 小結 通過上述論證可以看出, 數學歸納法是十分有效的方法, 也是一種認識可數無限集合性質的重要方法. 使用數學歸納法進行論證, 將會更深刻的理解所要論證的命題, 實現由有限到無限的飛躍. 當然, 并非一切與自然數有關的命題的證明都一定要采用數學歸納法, 有些命題雖與自然數有關, 但不用數學歸納法也可以證明. 另外, 對于有些問題運用數學歸納法比較簡便, 而另一些問題則以不用數學歸納法較為方便. 因此在具體問題中, 何時運用數學歸納法比較簡捷, 必須根據具體情況來確定, , 而題設命題的可數性則是用數學歸納法的必要條件. 總起來說, 數學歸納法的使用特點是：（1）用數學歸納法證明的命題必須與整數n有關, 這種關系有時是隱蔽的；（2）僅當命題p（n+1）與p（n）、p（n-1）、之間的關系易于發現時, 運用數學歸納法才容易成功. 總之, 盡管數學歸納法是一種證明方法, 但實質是遞推思想, 只要把握住“遞推”, 巧妙的進行命題轉換, 以遞推分析為住, 這樣就可以理解其實質, 掌握證題技巧, 真正提高分析問題解決問題