1、北師大版七年級下冊數學培優壓軸題一解答題（共8小題）1已知四邊形abcd中，ab=bc，abc=120，mbn=60，mbn繞b點旋轉，它的兩邊分別交ad，dc（或它們的延長線）于e，f當mbn繞b點旋轉到ae=cf時（如圖1），易證ae+cf=ef；當mbn繞b點旋轉到aecf時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段ae，cf，ef又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想，不需證明2（1）如圖，在四邊形abcd中，ab=ad，b=d=90，e、f分別是邊bc、cd上的點，且eaf=bad求證：ef=be+fd；（2）如圖，在四邊形abcd中，ab=ad，b

2、+d=180，e、f分別是邊bc、cd上的點，且eaf=bad，（1）中的結論是否仍然成立？1（3）如圖，在四邊形abcd中，ab=ad，b+adc=180，e、f分別是邊bc、cd延長線上的點，且eaf=bad，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出它們之間的數量關系，并證明3如圖1，將兩個完全相同的三角形紙片abc和dec重合放置，其中c=90，b=e=30（1）操作發現：如圖2，固定abc，使dec繞點c旋轉，當點d恰好落在ab邊上時，填空：線段de與ac的位置關系是；設bdc的面積為s，aec的面積為s，則s與s的數量關系是212（2）猜想論證：當dec繞點c旋轉

3、到如圖3所示的位置時，小明猜想（1）中s與s的數量關系12e仍然成立，并嘗試分別作出了bdc和aec中bc、ce邊上的高，請你證明小明的猜想（3）拓展探究：已知abc=60，點d是角平分線上一點，bd=cd=4，deab交bc于點（如圖4）若在射線ba上存在點f，使sdcf=sbde，請直接寫出相應的bf的長24如圖1，已知線段ab的長為2a，點p是ab上的動點（p不與a，b重合），分別以ap、pb為邊向線段ab的同一側作正apc和正pbd（1）當apc與pbd的面積之和取最小值時，ap=；（直接寫結果）（2）連接ad、bc，相交于點q，設aqc=，那么的大小是否會隨點p的移動而變化？請說明理

4、由；（3）如圖2，若點p固定，將pbd繞點p按順時針方向旋轉（旋轉角小于180），此時的大小是否發生變化？（只需直接寫出你的猜想，不必證明）5如圖1，abc中ab=ac，點d、e是線段ac上兩動點，且ad=ec，am垂直bd，垂足為m，am的延長線交bc于點n，直線bd與直線ne相交于點試判斷def的形狀，并加以證明說明：（1）如果你經歷反復探索，沒有找到解決問題的方法，請你把探索過程中的某種思路寫出來（要求至少寫3步）；（2）在你經歷說明（1）的過程之后，可以從下列、中選取一個補充或者更換已知條件，完成你的證明、畫出將bad沿ba方向平移ba長，然后順時針旋轉90后圖形；2、點k在線段bd上

5、，且四邊形aknc為等腰梯形（ackn，如圖2）附加題：如圖3，若點d、e是直線ac上兩動點，其他條件不變，試判斷def的形狀，并說明理由36如圖，已知等邊三角形abc中，點d，e，f分別為邊ab，ac，bc的中點，m為直線bc上一動點，dmn為等邊三角形（點m的位置改變時，dmn也隨之整體移動）（1）如圖1，當點m在點b左側時，請你判斷en與mf有怎樣的數量關系？點f是否在直線ne上？都請直接寫出結論，不必證明或說明理由；（2）如圖2，當點m在bc上時，其它條件不變，1）的結論中en與mf的數量關系是否仍然成立？若成立，請利用圖2證明；若不成立，請說明理由；（3）若點m在點c右側時，請你在圖

6、3中畫出相應的圖形，并判斷（1）的結論中en與mf的數量關系是否仍然成立？若成立，請直接寫出結論，不必證明或說明理由7已知：等邊三角形abc；（1）如圖1，p為等邊abc外一點，且bpc=120試猜想線段bp、pc、ap之間的數量關系，并證明你的猜想；（2）如圖2，p為等邊abc內一點，且apd=120求證：pa+pd+pcbd48認真閱讀材料，然后回答問題：我們初中學習了多項式的運算法則，相應的，我們可以計算出多項式的展開式，如：（a+b）1=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=（a+b）2（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3，下面我們依次對（a+b）n展開式的各項

7、系數進一步研究發現，當n取正整數時可以單獨列成表中的形式：，上面的多項式展開系數表稱為“楊輝三角形”；仔細觀察“楊輝三角形”用你發現的規律回答下列問題：（1）多項式（a+b）n的展開式是一個幾次幾項式？并預測第三項的系數；（2）請你預測一下多項式（a+b）n展開式的各項系數之和（3）結合上述材料，推斷出多項式（a+b）n（n取正整數）的展開式的各項系數之和為s，（結果用含字母n的代數式表示）5北師大版七年級下冊數學培優壓軸題參考答案與試題解析1、【解答】abad，bccd，ab=bc，ae=cf，在abe和cbf中，abecbf（sas）；abe=cbf，be=bf；abc=120，mbn=6

8、0，abe=cbf=30，ae=be，cf=bf；mbn=60，be=bf，bef為等邊三角形；ae+cf=be+bf=be=ef；圖2成立，圖3不成立證明圖2延長dc至點k，使ck=ae，連接，在bae和bck中，則baebck，be=bk，abe=kbc，fbe=60，abc=120，fbc+abe=60，fbc+kbc=60，kbf=fbe=60，在kbf和ebf中，kbfebf，kf=ef，kc+cf=ef，即ae+cf=ef圖3不成立，ae、cf、ef的關系是aecf=ef2【解答】（1）延長eb到g，使bg=df，連接agabg=abc=d=90，ab=ad，abgadfag=af

9、，1=21+3=2+3=eaf=badgae=eaf又ae=ae，aegaefeg=efeg=be+bgef=be+fd；（1）中的結論ef=be+fd仍然成立（3）結論ef=be+fd不成立，應當是ef=befd證明：在be上截取bg，使bg=df，連接ag6b+adc=180，adf+adc=180，b=adfab=ad，abgadfbag=daf，ag=afbag+ead=daf+ead=eaf=badgae=eafae=ae，aegaefeg=efeg=bebg；ef=befd3【解答】（）dec繞點c旋轉點d恰好落在ab邊上，ac=cd，bac=90b=9030=60，acd是等邊三

10、角形，acd=60，又cde=bac=60，acd=cde，deac；b=30，c=90，cd=ac=ab，bd=ad=ac，根據等邊三角形的性質，acd的邊ac、ad上的高相等，bdc的面積和aec的面積相等（等底等高的三角形的面積相等），即s=s；故答案為：deac；s=s；1212（2）如圖，dec是由abc繞點c旋轉得到，bc=ce，ac=cd，acn+bcn=90，dcm+bcn=18090=90，acn=dcm，在acn和dcm中，acndcm（aas），an=dm，bdc的面積和aec的面積相等（等底等高的三角形的面積相等），即s=s；12（3）如圖，過點d作dfbe，易求四邊形

11、bedf是菱形，所以be=df，111且be、df上的高相等，此時1dcf1bde；過點d作dfbd，abc=60，fdbe，21ffd=abc=60，bf=df，fbd=abc=30，fdb=90，fdf=abc=60，21111212dff是等邊三角形，df=df，bd=cd，abc=60，點d是角平分線上一點，1212dbc=dcb=60=30，cdf=180bcd=18030=150，1cdf=36015060=150，cdf=cdf，在cdf和cdf中，2112，cdfcdf（sas），點f也是所求的點，22abc=60，點d是角平分線上一點，deab，dbc=bde=abd=60=

12、30，又bd=4，be=4cos30=2=，bf=，bf=bf+ff=+=，12112故bf的長為或7（4【解答】1）設ap的長是x，則bp=2ax，apcpbd=xx+（2ax）（2ax）=x2ax+a2，當x=a時apc與pbd的面積之和取最小值，故答案為：a；（2）的大小不會隨點p的移動而變化，理由：apc是等邊三角形，pa=pc，apc=60，bdp是等邊三角形，pb=pd，bpd=60，apc=bpd，apd=cpb，apdcpb，pad=pcb，qap+qac+acp=120，qcp+qac+acp=120，aqc=180120=60；（3）此時的大小不會發生改變，始終等于理由：a

13、pc是等邊三角形，pa=pc，apc=60，bdp是等邊三角形，pb=pd，bpd=60，apc=bpd，apd=cpb，apdcpb，pad=pcb，qap+qac+acp=120，qcp+qac+acp=120，aqc=180120=605【解答】def是等腰三角形；證明：如圖，過點c作cpac，交an延長線于點prtabc中ab=ac；bac=90，acb=45pcn=acb，bad=acp；ambd；abd+bam=bam+cap=90；abd=cap；badacp；ad=cp，adb=p；ad=ce；ce=cp；cn=cn；cpncen；p=cen；cen=adb；fde=fed；d

14、ef是等腰三角形附加題：def為等腰三角形；證明：過點c作cpac，交am的延長線于點prtabc中ab=ac；bac=90，acb=45；pcn=acb=ecn；ambd；abd+bam=bam+cap=90；abd=cap；badacp；ad=cp，d=p；ad=ec，ce=cp；又cn=cn；cpncen；p=e；d=；def為等腰三角形86【解答】（1）判斷：en與mf相等（或en=mf），點f在直線ne上，（2）成立連接df，證明dbm和dfn全等（aas），abc是等邊三角形，ab=ac=bc又d，e，f是三邊的中點，ef=df=bfbdm+mdf=60，fdn+mdf=60，bd

15、m=fdn，在dbm和dfn中，dbmdfn，bm=fn，dfn=fdb=60，nfbd，e，f分別為邊ac，bc的中點，ef是abc的中位線，efbd，f在直線ne上，bf=ef，mf=en（3）如圖，mf與en相等的結論仍然成立（或mf=ne成立）連接df、de，由（2）知de=df，nde=fdm，dn=dm，在dne和dmf中，dnedmf，mf=ne；7【解答】ap=bp+pc，（1）證明：延長bp至e，使pe=pc，連接ce，bpc=120，cpe=60，又pe=pc，cpe為等邊三角形，cp=pe=ce，pce=60，abc為等邊三角形，ac=bc，bca=60，acb=pce，

16、acb+bcp=pce+bcp，即：acp=bce，acpbce（sas），ap=be，be=bp+pe，ap=bp+pc（2）證明：在ad外側作等邊abd，則點p在三角形adb外，連接pb，bc，9apd=120由（1）得pb=ap+pd，在pbc中，有pb+pccb，pa+pd+pc，ab、abc是等邊三角形，ac=ab，ab=ad，bac=dab=60，bac+cad=dab+cad，即：bad=cab，abadb，cb=bd，pa+pd+pcbd8【解答】解：（1）當n=1時，多項式（a+b）1的展開式是一次二項式，此時第三項的系數為：0=，當n=2時，多項式（a+b）2的展開式是二次三項式，此時第三項的系數為：1=當n=3時，多項式（a+b）3的展開式是三次四項式，此時第三項的系數為：3=當n=4時，多項式（a+b）4的展開式是四次五項式，此時第三項的