1、2011年高考題全國卷ii數學試題文科全解全析科目： 數學 試卷名稱 2011年普通高等學校招生全國統一考試全國卷ii(文科)知識點檢索號新課標題目及解析1（1）設集合,則（a） （b） （c） （d）【思路點撥】解決本題的關鍵是掌握集合交并補的計算方法，易求,進而求出其補集為.【精講精析】選d. .4（2）函數的反函數為（a） （b）（c） （d）【思路點撥】先反解用y表示x,注意要求出y的取值范圍，它是反函數的定義域。【精講精析】選b.在函數中，且反解x得，所以的反函數為.20（3）設向量滿足,則（a） （b） （c） （d）【思路點撥】本題要把充要條件的概念搞清，注意尋找的是通過選項能推

2、出ab，而由ab推不出選項的選項.【精講精析】選a.即尋找命題p使p推不出p，逐項驗證可選a。29（4）若變量x，y滿足約束條件，則的最小值為（a）17 （b）14 （c）5 （d）3【思路點撥】解決本題的關鍵是作出如右圖所示的可行域。然后要把握住線性目標函數的z的取值也其在y軸的截距是正相關關系，進而確定過直線x=1與x-3y=-2的交點時取得最小值。【精講精析】作出不等式組表示的可行域，從圖中不難觀察當直線過直線x=1與x-3y=-2的交點（1，1）時取得最小值,所以最小值為5. 24（5）下面四個條件中，使成立的充分而不必要的條件是（a） （b） （c） （d）【思路點撥】本題要把充要條

3、件的概念搞清，注意尋找的是通過選項能推出ab，而由ab推不出選項的選項.【精講精析】選a.即尋找命題p使p推不出p，逐項驗證可選a。11（6）設為等差數列的前項和，若，公差，則 （a）8 （b）7 （c）6 （d）5【思路點撥】思路一：直接利用前n項和公式建立關于k的方程解之即可。思路二：利用直接利用通項公式即可求解，運算稍簡。【精講精析】選d.19（7）設函數，將的圖像向右平移個單位長度后，所得的圖像與原圖像重合，則的最小值等于（a） （b） （c） （d）【思路點撥】此題理解好三角函數周期的概念至關重要，將的圖像向右平移個單位長度后，所得的圖像與原圖像重合，說明了是此函數周期的整數倍。【精

4、講精析】選c. 由題,解得，令，即得.40(8) 已知直二面角，點a，,c為垂足，點b，,d為垂足.若ab=2，ac=bd=1，則cd= （a） 2 （b） （c） （d）1【思路點撥】解決本題關鍵是找出此二面角的平面角，然后把要求的線段放在三角形中求解即可。【精講精析】選c. 在平面內過c作，連接bm，則四邊形cmbd是平行四邊形，因為，所以，又,就是二面角的平面角。.所以代入后不難求出。45(9)4位同學每人從甲、乙、丙3門課程中選修1門，則恰有2人選修課程甲的不同選法共有(a) 12種 (b) 24種 (c) 30種 (d)36種【思路點撥】解本題分兩步進行：第一步先選出2人選修課程甲，

5、第二步再把剩余兩人分別選乙、丙.【精講精析】選a.第一步選出2人選修課程甲有種方法，第二步安排剩余兩人從乙、丙中各選1門課程有種選法，根據分步計數原理，有種選法。6(10)設是周期為2的奇函數，當0x1時，=，則= (a) - (b) (c) (d)【思路點撥】解本題的關鍵是把通過周期性和奇偶性把自變量轉化到區間0,1上進行求值。【精講精析】選a.先利用周期性，再利用奇偶性得: .42(11)設兩圓、都和兩坐標軸相切，且都過點（4，1），則兩圓心的距離= (a)4 (b) (c)8 (d) 【思路點撥】本題根據條件確定出圓心在直線y=x上并且在第一象限是解決這個問題的關鍵。【精講精析】選d.由

6、題意知圓心在直線y=x上并且在第一象限,設圓心坐標為(a,a)(a0),則,求出a=1,a=9.所以c1(1,1),c2(9,9),所以由兩點間的距離公式可求出.42(12)已知平面截一球面得圓m，過圓心m且與成二面角的平面截該球面得圓n.若該球面的半徑為4，圓m的面積為4，則圓n的面積為 (a)7 (b)9 (c)11 (d)13【思路點撥】做出如圖所示的圖示，問題即可解決。【精講精析】選b.作示意圖如，由圓m的面積為4，易得，中，。故.45(13)(1-)20的二項展開式中，x的系數與x9的系數之差為: .【思路點撥】解本題一個掌握展開式的通項公式，另一個要注意.【精講精析】0. 由得的系

7、數為, x9的系數為,而.17(14)已知a(，)，tan=2，則cos= .【思路點撥】本題考查到同角三角函數的基本關系式，再由正切值求余弦值時，要注意角的范圍，進而確定值的符號。【精講精析】 由a(，)，tan=2得.39（15）已知正方體abcd-a1b1c1d1中，e為c1d1的中點，則異面直線ae與bc所成角的余弦值為 .【思路點撥】找出異面直線ae與bc所成的角是解本題的關鍵。只要在平面a1b1c1d1內過e作及b1c1的平行線即可。【精講精析】 取a1b1的中點m連接em，am，ae，則就是異面直線ae與bc所成的角。在中，。33(15)已知f1、f2分別為雙曲線c: - =1的

8、左、右焦點，點ac，點m的坐標為(2，0)，am為f1af2的平分線則|af2| = .【思路點撥】本題用內角平分線定理及雙曲線的定義即可求解。【精講精析】6.由角平分線定理得：,故.12(17)(本小題滿分l0分)(注意：在試題卷上作答無效) 設等比數列的前n項和為,已知求和.【思路點撥】解決本題的突破口是利用方程的思想建立關于a1和公比q的方程，求出a1和q，然后利用等比數列的通項公式及前n項和公式求解即可。【精講精析】設的公比為q,由題設得解得或，當時，當時，.21（18）(本小題滿分l2分)(注意：在試題卷上作答無效)abc的內角a、b、c的對邊分別為a、b、c.己知. ()求b；（）

9、若.【思路點撥】第（i）問由正弦定理把正弦轉化為邊，然后再利用余弦定理即可解決。（ii）在（i）問的基礎上知道兩角一邊可以直接利用正弦定理求解。【精講精析】(i)由正弦定理得由余弦定理得。故，因此。（ii）故.46(19)(本小題滿分l2分)(注意：在試題卷上作答無效)根據以往統計資料，某地車主購買甲種保險的概率為0.5，購買乙種保險但不購買甲種保險的概率為0.3.設各車主購買保險相互獨立. (i)求該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種的概率； （）求該地3位車主中恰有1位車主甲、乙兩種保險都不購買的概率.【思路點撥】此題第（i）問所求概率可以看作“該地的1位車主購買乙種保險但不購買甲種

10、保險”和“該地的1位車主購買甲種保險”兩個事件的和。由于這兩個事件互斥，故利用互斥事件概率計算公式求解。(ii)第（ii）問，關鍵是求出“該地的1位車主甲、乙兩種保險都不購買”的概率，然后再借助n次獨立重復試驗發生k次的概率計算公式求解即可.【精講精析】記a表示事件：該地的1位車主購買甲種保險：b表示事件：該地的1位車主購買乙種保險但不購買甲種保險。c表示事件：該地的1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種；d表示事件：該地的1位車主甲、乙兩種保險都不購買；e表示事件：該地的3位車主中恰有1位車主甲、乙兩種保險都不購買。（i）p(a)=0.5,p(b)=0.3,c=a+bp(c)=p(a+b)=

11、p(a)+p(b)=0.8.(ii)d=,p(d)=1-p(c)=1-0.8=0.2,p(e)=.39(20）(本小題滿分l2分)(注意：在試題卷上作答無效)如圖，四棱錐中， ,，側面為等邊三角形. (i) 證明：(ii) 求ab與平面sbc所成角的大小。【思路點撥】第（i）問的證明的突破口是利用等邊三角形sab這個條件，找出ab的中點e，連結se，de，就做出了解決這個問題的關鍵輔助線。(ii)本題直接找線面角不易找出，要找到與ab平行的其它線進行轉移求解。【精講精析】證明：（i）取ab中點e，連結de，則四邊形bcde為矩形，de=cb=2。連結se，則又sd=1，故所以為直角。由，得,所

12、以.sd與兩條相交直線ab、se都垂直。所以（ii）由知，作，垂足為f，則,作，垂足為g，則fg=dc=1。連結sg，則又，,故，作，h為垂足，則.即f到平面sbc的距離為。由于ed/bc，所以ed/平面sbc，e到平面sbc的距離d也為。設ab與平面sbc所成的角為，則,.解法二：以c為坐標原點，射線cd為x軸正半軸，建立如圖所示的直角坐標系c-xyz,設d（1，0，0），則a（2，2，0），b（0，2，0）。又設s（x,y,z），則x0,y0,z0.(i)由得故x=1.由得，又由得，即，故。于是，故，又所以.（ii）設平面sbc的法向量，則又故取得，又.故ab與平面sbc所成的角為.53（

13、21）(本小題滿分l2分)(注意：在試題卷上作答無效)已知函數()證明：曲線（）若求a的取值范圍。【思路點撥】第(i)問直接利用導數的幾何意義，求出切線的斜率，然后易寫出直接方程。(ii)第（ii）問是含參問題，關鍵是抓住方程的判別式進行分類討論.【精講精析】解：（i）.由得曲線在x=0處的切線方程為由此知曲線在x=0處的切線過點（2，2）。（ii）由得（i）當時，沒有極小值；(ii)當或時，由得故。由題設知，當時，不等式無解；當時，解不等式得綜合(i)(ii)得的取值范圍是。35（21）已知o為坐標原點，f為橢圓在y軸正半軸上的焦點，過f且斜率為的直線與c交與a、b兩點，點p滿足()證明：點

14、p在c上；（）設點p關于點o的對稱點為q，證明：a、p、b、q四點在同一圓上.【思路點撥】方程聯立利用韋達定理是解決這類問題的基本思路，注意把用坐標表示后求出p點的坐標，然后再結合直線方程把p點的縱坐標也用a、b兩點的橫坐標表示出來。從而求出點p的坐標代入橢圓方程驗證即可證明點p在c上。(ii)此問題證明有兩種思路：思路一：關鍵是證明互補.通過證明這兩個角的正切值互補即可，再求正切值時要注意利用倒角公式。思路二：根據圓的幾何性質圓心一定在弦的垂直平分線上，所以根據兩條弦的垂直平分線的交點找出圓心n，然后證明n到四個點a、b、p、q的距離相等即可.【精講精析】 (i)設直線，與聯立得由得,所以點

15、p在c上。（ii）法一：同理所以互補，因此a、p、b、q四點在同一圓上。法二：由和題設知，,pq的垂直平分線的方程為設ab的中點為m，則，ab的垂直平分線的方程為由得、的交點為,故.所以a、p、b、q四點在同一圓圓n上.2011年高考題全國卷ii數學試題理科全解全析科目： 數學 試卷名稱 2011年普通高等學校招生全國統一考試全國卷ii(理科)知識點檢索號新課標題目及解析（1）復數，為的共軛復數，則（a） （b） （c） （d）【思路點撥】先求出的共軛復數,然后利用復數的運算法則計算即可。【精講精析】選b.（2）函數的反函數為（a） （b）（c） （d）【思路點撥】先反解用y表示x,注意要求出

16、y的取值范圍，它是反函數的定義域。【精講精析】選b.在函數中，且反解x得，所以的反函數為.（3）下面四個條件中，使成立的充分而不必要的條件是（a） （b） （c） （d）【思路點撥】本題要把充要條件的概念搞清，注意尋找的是通過選項能推出ab，而由ab推不出選項的選項.【精講精析】選a.即尋找命題p使p推不出p，逐項驗證可選a。（4）設為等差數列的前項和，若，公差，則 （a）8 （b）7 （c）6 （d）5【思路點撥】思路一：直接利用前n項和公式建立關于k的方程解之即可。思路二：利用直接利用通項公式即可求解，運算稍簡。【精講精析】選d.（5）設函數，將的圖像向右平移個單位長度后，所得的圖像與原圖

17、像重合，則的最小值等于（a） （b） （c） （d）【思路點撥】此題理解好三角函數周期的概念至關重要，將的圖像向右平移個單位長度后，所得的圖像與原圖像重合，說明了是此函數周期的整數倍。【精講精析】選c. 由題,解得，令，即得.(6)已知直二面角，點,c為垂足，為垂足若ab=2，ac=bd=1，則d到平面abc的距離等于(a) (b) (c) (d) 1 【思路點撥】本題關鍵是找出或做出點d到平面abc的距離de，根據面面垂直的性質不難證明平面，進而平面abc,所以過d作于e，則de就是要求的距離。【精講精析】選c.如圖，作于e，由為直二面角，得平面，進而，又，于是平面abc，故de為d到平面a

18、bc的距離。在中，利用等面積法得.(7)某同學有同樣的畫冊2本，同樣的集郵冊3本，從中取出4本贈送給4位朋友每位朋友1本，則不同的贈送方法共有(a)4種 (b)10種 (c)18種 (d)20種【思路點撥】本題要注意畫冊相同，集郵冊相同，這是重復元素，不能簡單按照排列知識來鑄。所以要分類進行求解。【精講精析】選b.分兩類：取出的1本畫冊，3本集郵冊，此時贈送方法有種；取出的2本畫冊，2本集郵冊，此時贈送方法有種。總的贈送方法有10種。(8)曲線y=+1在點(0，2)處的切線與直線y=0和y=x圍成的三角形的面積為(a) (b) (c) (d)1【思路點撥】利用導數求出點（0，2）切線方程然后分

19、別求出與直線y=0與y=x的交點問題即可解決。【精講精析】選a.切線方程是：,在直角坐標系中作出示意圖，即得。(9)設是周期為2的奇函數，當0x1時，=，則= (a) - (b) (c) (d)【思路點撥】解本題的關鍵是把通過周期性和奇偶性把自變量轉化到區間0,1上進行求值。【精講精析】選a.先利用周期性，再利用奇偶性得: .(10)已知拋物線c：的焦點為f，直線與c交于a，b兩點則=(a) (b) (c) (d) 【思路點撥】方程聯立求出a、b兩點后轉化為解三角形問題。【精講精析】選d.聯立，消y得，解得.不妨設a在x軸上方，于是a，b的坐標分別為(4,4),(1,-2),可求，利用余弦定理

20、.(11)已知平面截一球面得圓m，過圓心m且與成二面角的平面截該球面得圓n.若該球面的半徑為4，圓m的面積為4，則圓n的面積為 (a)7 (b)9 (c)11 (d)13【思路點撥】做出如圖所示的圖示，問題即可解決。【精講精析】選b.作示意圖如，由圓m的面積為4，易得，中，。故.(12)設向量滿足，則的最大值等于 (a)2 (b) (c) (d)1【思路點撥】本題按照題目要求構造出如右圖所示的幾何圖形，然后分析觀察不難得到當線段ac為直徑時，最大.【精講精析】選a.如圖，構造，所以a、b、c、d四點共圓，分析可知當線段ac為直徑時，最大，最大值為2.(13)(1-)20的二項展開式中，x的系數

21、與x9的系數之差為: .【思路點撥】解本題一個掌握展開式的通項公式，另一個要注意.【精講精析】0. 由得的系數為, x9的系數為,而.(14)已知a(，)，sin=，則tan2= 【思路點撥】本題涉及到同角三角函數關系式,先由正弦值求出余弦值一定要注意角的范圍，再求出正切值，最后利用正切函數的倍角公式即可求解。【精講精析】.由a(，)，sin=得,.(15)已知f1、f2分別為雙曲線c: - =1的左、右焦點，點ac，點m的坐標為(2，0)，am為f1af2的平分線則|af2| = .【思路點撥】本題用內角平分線定理及雙曲線的定義即可求解。【精講精析】6.由角平分線定理得：,故.(16)己知點

22、e、f分別在正方體abcd-a1b2c3d4的棱bb1 、cc1上，且b1e=2eb, cf=2fc1，則面aef與面abc所成的二面角的正切值等于 .【思路點撥】本題應先找出兩平面的交線，進而找出或做出二面角的平面角是解決此問題的關鍵,延長ef必與bc相交，交點為p，則ap為面aef與面abc的交線.【精講精析】.延長ef交bc的延長線于p，則ap為面aef與面abc的交線，因為，所以為面aef與面abc所成的二面角的平面角。(17)(本小題滿分l0分)(注意：在試題卷上作答無效) abc的內角a、b、c的對邊分別為a、b、c.己知ac=90，a+c=b，求c.【思路點撥】解決本題的突破口是

23、利用正弦定理把邊的關系轉化為角的正弦的關系，然后再結合ac=90,得到.即可求解。【精講精析】選d.由，得a為鈍角且，利用正弦定理，可變形為，即有，又a、b、c是的內角，故或(舍去)所以。所以.(18)(本小題滿分12分)(注意：在試題卷上作答無效) 根據以往統計資料，某地車主購買甲種保險的概率為05，購買乙種保險但不購買甲種保險的概率為0.3,設各車主購買保險相互獨立(i)求該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的l種的概率；()x表示該地的l00位車主中，甲、乙兩種保險都不購買的車主數。求x的期望。 【思路點撥】解本題應首先主出該車主購買乙種保險的概率為p,利用乙種保險但不購買甲種保險的概率

24、為0.3，即可求出p=0.6.然后（ii）利用相互獨立事件的概率計算公式和期望公式計算即可.【精講精析】設該車主購買乙種保險的概率為p,由題意知：，解得。（i） 設所求概率為p1，則.故該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種的概率為0.8。（ii） 對每位車主甲、乙兩種保險都不購買的概率為。所以x的期望是20人。（19）如圖，四棱錐中，,，側面為等邊三角形，.（）證明：;（)求與平面所成角的大小.【思路點撥】本題第（i）問可以直接證明，也可建系證明。（ii）建立空間直角坐標系，利用空間向量的坐標運算計算把求角的問題轉化為數值計算問題,思路清晰思維量小。【精講精析】計算sd=1，于是，利用勾股定理，可知，同理，可證又，因此，.（ii）過d做，如圖建立空間直角坐標系d-xyz，a(2,-1,0),b(2,1,0),c(0,1,0),可計算平面sbc的一個法向量是.所以ab與平面sbc所成角為.（20）設數列滿足且（）求的通項公式；（）設【思路點撥】解本題