1、第三章直線與方程本章教材分析直線與方程是平面解析幾何初步的第一章，用坐標法研究平面上最簡單的圖形直線.本章首先在平面直角坐標系中，介紹直線的傾斜角、斜率等概念 ;然后建立直線的方程:點斜式、斜截 式、兩點式、截距式等;通過直線的方程，研究直線間的位置關系:平行和垂直，以及兩條直線的交點坐標、 點到直線的距離公式等.解析幾何研究問題的主要方法是坐標法，它是解析幾何中最基本的研究方法.坐標法的基本特點是，首 先用代數語言(坐標及其方程)描述幾何元素及其關系，將幾何問題代數化;解決代數問題，得到結果;分析代 數結果的幾何含義，最終解決幾何問題.本章自始至終貫穿數形結合的思想.在圖形的研究過程中，注意

2、代數方法的使用 ;在代數方法的使用過 程中，加強與圖形的聯系.直線是最基本、最簡單的幾何圖形，它既能為進一步學習做好知識上的必要準備，又能為今后靈活地 運用解析幾何的基本思想和方法打好堅實的基礎 .只有學好本章才能為第四章的圓與方程做好準備和鋪墊 . 教學中一定要注重由淺及深的學習規律，多采用變式教學，同時滲透常用的數學思想方法（數形結合、分 類討論、類比、推廣、特殊化、化歸等），體現由特殊到一般的研究方法，化難為易、化抽象為具體，深 入淺出的引導學生自己發現規律，大膽質疑、積極思考、合作探究、激發他們學習的興趣，教師合理誘導 并且及時鼓勵，使同學們能愉快的、輕松的學習，并且提高他們應用所學知

3、識解決問題（尤其是實際問題） 的能力，真正體現出“在用中學，在學中用，為用而學，學而能用”，這一點也正符合新課標的要求和精神.本章教學時間約 9 課時，具體分配如下（僅供參考）：3.1.13.1.23.2.13.2.23.2.33.3.13.3.23.3.3 及 3.3.4傾斜角與斜率兩直線平行與垂直的判定直線的點斜式方程直線的兩點式方程直線的一般式方程兩條直線的交點坐標兩點間的距離點到直線的距離及兩條平行線間的距離本章復習約 1 課時約 1 課時約 1 課時約 1 課時約 1 課時約 1 課時約 1 課時約 1 課時約 1 課時3.1 直線的傾斜角與斜率3.1.1 傾斜角與斜率一、教材分析直

4、線是最基本、最簡單的幾何圖形，它既能為進一步學習作好知識上的必要準備，又能為今后靈活地 運用解析幾何的基本思想和方法打好堅實的基礎.事實上，只有透徹理解并熟練掌握直線的傾斜角和斜率這 兩個基本概念，學生才能對直線及其位置進行定量的研究.對直線的傾斜角和斜率，必須要求學生理解它們 的準確涵義和作用，掌握它們的導出，并在運用上形成相應的技能和熟練的技巧.本小節從一個具體的一次函數與它的圖象入手，引入直線的傾斜角概念，注重了由淺及深的學習規律， 并體現了由特殊到一般的研究方法 .引導學生認識到之所以引入直線在平面直角坐標系中的傾斜角和斜率 概念，是進一步研究直線方程的需要.二、教學目標1知識與技能（

5、1） 正確理解直線的傾斜角和斜率的概念.（2） 理解直線傾斜角的唯一性.（3） 理解直線斜率的存在性.（4） 斜率公式的推導過程，掌握過兩點的直線的斜率公式.2過程與方法引導幫助學生將直線的位置問題（幾何問題）轉化為傾斜角問題，進而轉化為傾斜角的正切即斜率問 題（代數問題）進行解決，使學生不斷體會“數形結合”的思想方法.3情感、態度與價值觀（1） 通過直線傾斜角的概念的引入學習和直線傾斜角與斜率關系的揭示，培養學生觀察、探索能力， 運用數學語言表達能力，數學交流與評價能力.（2） 通過斜率概念的建立和斜率公式的推導，幫助學生進一步理解數形結合的思想，培養學生樹立 辯證統一的觀點，培養學生形成嚴

6、謹的科學態度和求簡的數學精神.三、教學重點與難點教學重點:直線的傾斜角和斜率概念以及過兩點的直線的斜率公式.教學難點:斜率公式的推導.四、課時安排1 課時五、教學設計（一）導入新課思路 1.如圖 1 所示，在直角坐標系中，過點p 的一條直線繞 p 點旋轉，不管旋轉多少周，它對 x 軸的 相對位置有幾種情形？教師引入課題：直線的傾斜角和斜率.圖 1思路 2.我們知道，經過兩點有且只有(確定)一條直線.那么，經過一點 p 的直線 l 的位置能確定嗎?這些 直線有什么聯系和區別呢?教師引入課題：傾斜角與斜率.（二）推進新課、新知探究、提出問題1 怎樣描述直線的傾斜程度呢？2 圖 2 中標出的直線的傾

7、斜角 對不對？如果不對，違背了定義中的哪一條？圖 23 直線的傾斜角能不能是 0？能不能是銳角？能不能是直角？能不能是鈍角？能不能是平角？能否 大于平角？4 日常生活中，還有沒有表示傾斜程度的量？5 正切函數的定義域是什么？6 任何直線都有斜率么？7 我們知道兩點確定一條直線，那么已知直線上兩點坐標，如何才能求出它的傾斜角和斜率呢？如： 已知 a(2，3)、b(1，4)，則直線 ab 的斜率是多少?活動:與交角有關.當直線 l 與 x 軸相交時，取 x 軸作為基準，x 軸正向與直線 l 向上方向之間所成的 角 叫做直線 l 的傾斜角.可見：平面上的任一直線都有唯一的一個傾斜角，并且傾斜角定了，

8、直線的方向也就定了.2 考慮正方向.3 動手在坐標系中作多條直線，可知傾斜角的取值范圍是 0180.在此范圍內，坐標平面上的任何 一條直線都有唯一的傾斜角，而每一個傾斜角都能確定一條直線的方向.傾斜角直觀地表示了直線對 x 軸正 方向的傾斜程度.規定：當直線和 x 軸平行或重合時，直線傾斜角為 0，所以傾斜角的范圍是 0180.聯想小時候玩的滑梯，結合坡度比給出斜率定義，直線斜率的概念.傾斜角不是 90的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率，常用 k 表示，即 k=tan.5 教師介紹正切函數的相關知識.6 說明：直線與斜率之間的對應不是映射，因為垂直于 x 軸的直線沒有斜率.（傾斜角是

9、90的直線沒有斜率）已知直線 l 上的兩點 p (x ，y )，p (x ，y )，且直線 l 與 x 軸不垂直，如何求直線 l 的斜率？教學時1 1 1 2 2 2可與教材上的方法一樣推出.討論結果:用傾斜角.2 都不對.與定義中的 x 軸正方向、直線向上方向相違背.3 直線的傾斜角能是 0，能是銳角，能是直角，能是鈍角，不能是平角，不能大于平角.4 有，常用的有坡度比.5 90的正切值不存在.6 傾斜角是 90的直線沒有斜率.過兩點 p (x ，y )、p (x ，y )的直線的斜率公式 k= 1 1 1 2 2 2（三）應用示例思路 1y -y2 1x -x2 1.例 1 已知 a(3，

10、2)，b(-4，1)，c(0，-1)，求直線 ab，bc，ca 的斜率，并判斷它們的傾斜角是鈍角還是 銳角.活動:引導學生明確已知兩點坐標，由斜率公式代入即可求得 k 的值;而當 k=tan0 時，傾斜角 是鈍角;而當 k=tan0 時，傾斜角 是銳角;而當 k=tan=0 時，傾斜角 是 0.解:直線 ab 的斜率 k =1170，所以它的傾斜角 是銳角;直線 bc 的斜率 k =-0.50，所以它的傾斜角 是鈍角;2直線 ca 的斜率 k =10，所以它的傾斜角 是銳角.3變式訓練已知 a(1，3 3 )，b(0，2 3 )，求直線 ab 的斜率及傾斜角.解:k =ab3 3 -2 3 1

11、 -0= 3，直線傾斜角的取值范圍是 0180，直線 ab 的傾斜角為 60.例 2 在平面直角坐標系中，畫出經過原點且斜率分別為 1，-1，2 及-3 的直線 a，b，c，l.活動:要畫出經過原點的直線 a，只要再找出 a 上的另外一點 m.而 m 的坐標可以根據直線 a 的斜率確 定.解:設直線 a 上的另外一點 m 的坐標為(x，y)，根據斜率公式有：1=y -0x -0，所以 x=y.可令 x=1，則 y=1，于是點 m 的坐標為(1，1).此時過原點和點 m(1，1)，可作直線 a. 同理，可作直線 b，c，l.變式訓練1.已知直線的傾斜角，求直線的斜率：(1)=0；（2）=60；(

12、3)=90.活動:指導學生根據定義直接求解.解：(1)tan0=0，傾斜角為 0的直線斜率為 0.(2)tan60=3，傾斜角為 60的直線斜率為3.(3)tan90不存在，傾斜角為 90的直線斜率不存在.點評：通過此題訓練，意在使學生熟悉特殊角的斜率.2.關于直線的傾斜角和斜率，下列哪些說法是正確的( )a. 任一條直線都有傾斜角，也都有斜率b. 直線的傾斜角越大，它的斜率就越大c. 平行于 x 軸的直線的傾斜角是 0 或 ；兩直線的傾斜角相等，它們的斜率也相等 d.直線斜率的范圍是(，)答案：d思路 2例 1 求經過點 a(-2，0)，b(-5，3)的直線的斜率和傾斜角.解：k =ab3

13、-0 -5 -( -2)=1，即 tan=-1，又0180，=135.該直線的斜率是-1，傾斜角是 135.abacab ac點評：此題要求學生會通過斜率公式求斜率，并根據斜率求直線的傾斜角.變式訓練求過下列兩點的直線的斜率 k 及傾斜角 .（1）p (-2，3)，p (-2，8)；1 2（2）p (5，-2)，p (-2，-2).1 2解：（1）p p 與 x 軸垂直，直線斜率不存在，傾斜角 =90.1 2-2 -( -2)（2）k=tan= =0，直線斜率為 0，傾斜角 =0.-2 -5例 2 已知三點 a、b、c，且直線 ab、ac 的斜率相同，求證:這三點在同一條直線上.證明：由直線的

14、斜率相同，可知直線 ab 的傾斜角與 ac 的傾斜角相等，而兩直線過公共點 a， 所以直線 ab 與 ac 重合，因此 a、b、c 三點共線.點評：此題反映了斜率公式的應用，即若有共同點的兩直線斜率相同，則可以判斷三點共線. 變式訓練11.若三點 a(2，3)，b(3，2)，c( ，m)共線，求實數 m 的值.22 -3 m -3解：k = =-1，k = ，3 -2 1-22m -3 9a、b、c 三點共線，k =k . =-1.m= .1 2-222.若三點 a(2，2)，b(a，0)，c(0，b)(ab0)共線，則1 1+ 的值等于_. a b答案：12例 3 已知三角形的頂點 a(0，

15、5)，b(1，-2)，c(-6，m)，bc 的中點為 d，當 ad 斜率為 1 時，求 m 的值 及|ad|的長.分析：應用斜率公式、中點坐標公式、兩點間距離公式.解：d 點的坐標為(-5 m -2， )，2 2k =adm -2-525- -025 5=1.m=7.d 點坐標為(- ， ).2 2|ad|=5( )225+(5 - )22=5 22.變式訓練過點 p(1，1)的直線 l 與 x 軸和 y 軸分別交于 a、b 兩點，若 p 恰為線段 a 的中心，求直線 l 的斜 率和傾斜角.答案：k=-1，傾斜角為 （四）知能訓練3 p4.課本本節練習 1、.（五）拓展提升已知點 a(-2，3

16、)，b(3，2)，過點 p(0，-2)的直線 l 與線段 ab 有公共點，求直線 l 的斜率 k 的取值范圍. 分析：利用數形結合同時注意直線斜率不存在的特殊情形.答案：(-，（六）課堂小結4 5)(- ，+). 3 2通過本節學習，要求大家：（1） 掌握已知直線的傾斜角求斜率;（2） 直線傾斜角的概念及直線傾斜角的范圍；（3） 直線斜率的概念；（4） 已知直線的傾斜角（或斜率），求直線的斜率（或傾斜角）的方法. （七）作業習題 3.1 a 組 3、4、5.3.1.2 兩條直線平行與垂直的判定一、教材分析直線的平行和垂直是兩條直線的重要位置關系，它們的判定，又都是由相應的斜率之間的關系來確定

17、的，并且研究討論的手段和方法也相類似，因此，在教學時采用對比方法，以便弄清平行與垂直之間的聯 系與區別.值得注意的是，當兩條直線中有一條不存在斜率時，容易得到兩條直線垂直的充要條件，這也值 得略加說明.二、教學目標1知識與技能理解并掌握兩條直線平行與垂直的條件，會運用條件判定兩直線是否平行或垂直.2過程與方法通過探究兩直線平行或垂直的條件，培養學生運用正確知識解決新問題的能力，以及數形結合能力. 3情感、態度與價值觀通過對兩直線平行與垂直的位置關系的研究，培養學生的成功意識，合作交流的學習方式，激發學生 的學習興趣.三、教學重點與難點教學重點:掌握兩條直線平行、垂直的充要條件，并會判斷兩條直線

18、是否平行、垂直.教學難點:是斜率不存在時兩直線垂直情況的討論（公式適用的前提條件）.四、課時安排1 課時五、教學設計（一）導入新課思路 1.設問（1)平面內不重合的兩條直線的位置關系有哪幾種？(2)兩條直線的傾斜角相等，這兩條直 線是否平行？反過來是否成立？(3)“=”是“tan=tan”的什么條件？根據傾斜角和斜率的關系，能否利用 斜率來判定兩條直線平行呢?思路 2.上節課我們學習的是什么知識？想一想傾斜角具備什么條件時兩條直線會平行、垂直呢? 你認 為能否用斜率來判斷.這節課我們就來專門來研究這個問題.（二）推進新課、新知探究、提出問題1 平面內不重合的兩條直線的位置關系有幾種？2 兩條直

19、線的傾斜角相等，這兩條直線是否平行？反過來是否成立？3 “=”是“tan=tan”的什么條件？4 兩條直線的斜率相等，這兩條直線是否平行？反過來是否成立？5 l l 時，k 與 k 滿足什么關系？1 2 1 2l l 時，k 與 k 滿足什么關系？1 2 1 2活動:教師引導得出平面內不重合的兩條直線的位置關系有平行和相交，其中垂直是相交的特例. 數形結合容易得出結論.3 注意到傾斜角是 90的直線沒有斜率，即 tan90不存在.4 注意到傾斜角是 90的直線沒有斜率.5 必要性：如果 l l ，如圖 1 所示，它們的傾斜角相等，即 = ，tan =tan ，即 k =k .1 2 1 2 1

20、 2 1 2圖 12充分性：如果 k =k ，即 tan =tan ，1 2 1 20 180，0 180， = .于是 l l .1 2 1 2 1 2學生討論，采取類比方法得出兩條直線垂直的充要條件.討論結果：平面內不重合的兩條直線的位置關系有平行和相交，其中垂直是相交的特例.2 兩條直線的傾斜角相等，這兩條直線平行，反過來成立.3 “=”是“tan=tan”的充要條件.4 兩條直線的斜率相等，這兩條直線平行，反過來成立.5 l l k =k .1 2 1 2l l k k =-1.1 2 1 2（三）應用示例例 1 已知 a（2，3），b（4，0），p（3，），q（1，2），判斷直線 b

21、a 與 p的位置關系，并證 明你的結論.解:直線 ba 的斜率 k =ba3 -0 2 -( -4)=0.5，直線 pq 的斜率 k =pq2 -1 -1 -( -3)=0.5，因為 k =k .所以直線 bapq.ba pq變式訓練1若 a(-2，3)，b(3，-2)，c( ，m)三點共線，則 m 的值為( )2a.1 1b.-2 2c.-2 d.2分析：k =k ， ab bc答案：a-2 -3 m +2=3 +2 1-321，m= .2例 2 已知四邊形 abcd 的四個頂點分別為 a（0，0），b（2，-1），c(4，2)，d(2，3)，試判斷四邊形 abcd 的形狀，并給出證明.解：ab 邊所在直線的斜率 k =-ab12，cd 邊所在直線的斜率 k =-cd12，3bc 邊所在直線的斜率 k = ，bcda 邊所在直線的斜率 k =da32.因為 k =k ，k =k ，所以 abcd，bcda.ab cd bc da因此四邊形 abcd 是平