正?？佳薪逃W一、選擇題（每小題4分，共32分）（1）若函數在處連續，則（）。A. B. C. D. 【答案】A【解析】由連續的定義可知：其中，從而，也即，故選A.【試題點評】本題考查函數的連續性。此知識點在沖刺階段的數學沖刺串講班中第一部分高等數學有重點講解，在強化階段數學強化班高等數學第一章函數、極限、連續和強化階段數學重點題型精講班也均有涉及。（2）設二階可導函數滿足，且，則（）。A. B. C. D. 【答案】B【解析】由于可知其中的圖像在其任意兩點連線的曲線下方，也即，因此同理，因此從而，故選B.【試題點評】本題考查二階導數與拐點的關系。此知識點在沖刺階段的數學沖刺串講班中第一部分高等數學有重點講解，在強化階段數學強化班高等數學第二章導數與微分和強化階段數學重點題型精講班也均有涉及。（3）設數列收斂，則（）。A.當時，B.當時，C.當時，D.當時，【答案】D【解析】，而要使，只有a=0，故D正確?！驹囶}點評】本題考查級數收斂性。此知識點在沖刺階段的數學沖刺串講班中第一部分高等數學有重點講解，在強化階段數學強化班高等數學第九章級數和強化階段數學重點題型精講班也均有涉及。（4）微分方程的特解可設為（）。A. B. C. D. 【答案】C【解析】齊次方程的特征根為，原方程可分解為兩個非齊次方程：和，可知第一個方程的特解為，第二個方程的特解為，故選C.【試題點評】本題考查微分方程的解。此知識點在沖刺階段的數學沖刺串講班中第一部分高等數學有重點講解，在強化階段數學強化班高等數學第五章微分方程和強化階段數學重點題型精講班也均有涉及。（5）設具有一階偏導數，且在任意的，都有，則（）。A. B. C. D. 【答案】D【解析】易知分別關于單調遞增和單調遞減，所以選D.【試題點評】本題考查函數的導數。此知識點在沖刺階段的數學沖刺串講班中第一部分高等數學有重點講解，在強化階段數學強化班高等數學第二章導數與微分和強化階段數學重點題型精講班也均有涉及。（6）甲乙兩人賽跑，計時開始時，甲在乙前方10（單位：m）處，圖中，實線表示甲的速度曲線（單位：m/s），虛線表示乙的速度曲線，三塊陰影部分面積的數值依次為10，20，3，計時開始后乙追上甲的時刻記為（單位：s），則（）。A. B. C. D. 【答案】C【解析】時，乙比甲多跑10m，而最開始的時候甲在乙前方10m處?！驹囶}點評】本題考查函數的導數。此知識點在沖刺階段的數學沖刺串講班中第一部分高等數學有重點講解，在強化階段數學強化班高等數學第二章導數與微分和強化階段數學重點題型精講班也均有涉及。（7）設為三階矩陣，為可逆矩陣，使得，則（）。A. B. C. D. 【答案】B【解析】由相似矩陣的特征值與特征向量的定義，可知.【試題點評】本題考查可逆矩陣。此知識點在沖刺階段的數學沖刺串講班中第二部分線性代數有重點講解，在強化階段數學強化班線性代數第二章矩陣和強化階段數學重點題型精講班也均有涉及。（8）已知矩陣，則（）。A.A與C相似，B與C相似B. A與C相似，B與C不相似C. A與C不相似，B與C相似D. A與C不相似，B與C不相似【答案】B【解析】A，B的特征值為2,2,1，但A有三個線性無關的特征向量，而B只有兩個，所以A可對角化，B則不行.【試題點評】本題考查相似矩陣。此知識點在沖刺階段的數學沖刺串講班中第二部分線性代數有重點講解，在強化階段數學強化班線性代數第五章特征值與特征向量和強化階段數學重點題型精講班也均有涉及。二、填空題（每小題4分，共24分）（9）曲線的斜漸近線方程為_。【答案】【解析】，則斜漸近線方程為.【試題點評】本題考查導數的應用。此知識點在沖刺階段的數學沖刺串講班中第一部分高等數學有重點講解，在強化階段數學強化班高等數學第三章中值定理與導數應用和強化階段數學重點題型精講班也均有涉及。（10）設函數由參數方程確定，則=_?！敬鸢浮俊窘馕觥俊驹囶}點評】本題考查二階導數。此知識點在沖刺階段的數學沖刺串講班中第一部分高等數學有重點講解，在強化階段數學強化班高等數學第二章導數與微分和強化階段數學重點題型精講班也均有涉及。（11）=_。【答案】1【解析】【試題點評】本題考查定積分的性質。此知識點在沖刺階段的數學沖刺串講班中第一部分高等數學有重點講解，在強化階段數學強化班高等數學第四章不定積分和定積分和強化階段數學重點題型精講班也均有涉及。（12）設函數具有一階連續偏導數，且，則=_。【答案】【解析】由題意可知，即即故c=0,.【試題點評】本題考查函數的導數。此知識點在沖刺階段的數學沖刺串講班中第一部分高等數學有重點講解，在強化階段數學強化班高等數學第二章導數與微分和強化階段數學重點題型精講班也均有涉及。（13）=_?！敬鸢浮俊窘馕觥俊驹囶}點評】本題考查定積分的性質。此知識點在沖刺階段的數學沖刺串講班中第一部分高等數學有重點講解，在強化階段數學強化班高等數學第四章不定積分和定積分和強化階段數學重點題型精講班也均有涉及。（14）設矩陣的一個特征向量為，則=_?！敬鸢浮?1【解析】【試題點評】本題考查矩陣。此知識點在沖刺階段的數學沖刺串講班中第二部分線性代數有重點講解，在強化階段數學強化班線性代數第五章特征值與特征向量和強化階段數學重點題型精講班也均有涉及。三、解答題（共94分）（15）（本題滿分10分）求【答案】【解析】令【試題點評】本題考查函數的極限。此知識點在沖刺階段的數學沖刺串講班中第一部分高等數學有重點講解，在強化階段數學強化班高等數學第一章函數、極限、連續和強化階段數學重點題型精講班也均有涉及。（16）（本題滿分10分）設函數具有2階連續性偏導數，求?！敬鸢浮浚弧窘馕觥俊驹囶}點評】本題考查切線方程與導數的關系。此知識點在沖刺階段的數學沖刺串講班中第一部分高等數學有重點講解，在強化階段數學強化班高等數學第三章中值定理與導數的應用和強化階段數學重點題型精講班也均有涉及。（17）（本題滿分10分）求?！敬鸢浮俊窘馕觥俊驹囶}點評】本題考查級數。此知識點在沖刺階段的數學沖刺串講班中第一部分高等數學有重點講解，在強化階段數學強化班高等數學第九章級數和強化階段數學重點題型精講班也均有涉及。（18）（本題滿分10分）已知函數由方程確定，求的極值?！敬鸢浮慨攛=1時函數有極大值，極大值為1，當x=-1時函數有極小值，極小值為0.【解析】方程兩邊對x求導得：令當方程兩邊再對x求導: 令當x=1，y=1時，當x=-1時，所以當x=1時函數有極大值，極大值為1，當x=-1時函數有極小值，極小值為0.【試題點評】本題考查多元函數極值。此知識點在沖刺階段的數學沖刺串講班中第一部分高等數學有重點講解，在強化階段數學強化班高等數學第六章空間解析幾何與多元微分學和強化階段數學重點題型精講班也均有涉及。（19）（本題滿分10分）設函數在區間上具有2階導數，且，證明：（）方程在區間內至少存在一個實根；（）方程在區間內至少存在兩個不同實根。【答案】略【解析】（）證：因為，由極限的局部保號性知，存在，使得，而，由零點存在定理可知，存在，使得。（）構造函數，因此，因為，所以，由拉格朗日中值定理知，存在，使得，所以，因此根據零點定理可知存在，使得，所以，所以原方程至少有兩個不同實根?！驹囶}點評】本題考查二階導數。此知識點在沖刺階段的數學沖刺串講班中第一部分高等數學有重點講解，在強化階段數學強化班高等數學第二章導數與微分和強化階段數學重點題型精講班也均有涉及。（20）（本題滿分11分）已知平面區域，計算二重積分。【答案】【解析】【試題點評】本題考查二重積分。此知識點在沖刺階段的數學沖刺串講班中第一部分高等數學有重點講解，在強化階段數學強化班高等數學第七章重積分和強化階段數學重點題型精講班也均有涉及。（21）（本題滿分11分）設是區間內的可導函數，且，點是曲線上的任意一點，在點處的切線與軸相交于點，法線與軸相交于點，若，求上點的坐標滿足的方程?！敬鸢浮俊窘馕觥吭O曲線L在（x,y）處的切線方程為，所以對應的法線方程為，所以因此，即這是一個齊次方程，可令，最終求得方程的通解為再由得【試題點評】本題考查切線方程與導數的關系。此知識點在沖刺階段的數學沖刺串講班中第一部分高等數學有重點講解，在強化階段數學強化班高等數學第三章中值定理與導數的應用和強化階段數學重點題型精講班也均有涉及。（22）（本題滿分11分）設3階矩陣有3個不同的特征值，且，（）證明；（）如果，求方程組的通解。【答案】（）略；（）?！窘馕觥浚ǎ┳C：因為有三個不同的特征值，所以不是零矩陣，因此，若，那么特征根0是二重根，這與假設矛盾，因此，又根據，所以，因此。（）因為，所以的基礎解系中只有一個解向量，又，即，因此基礎解系的一個解向量為。因為，故的特解為，因此的通解為?！驹囶}點評】本題考查線性方程組的解。此知識點在沖刺階段的數學沖刺串講班中第二部分線性代數有重點講解，在強化階段數學強化班線性代數第四章線性方程組和強化階段數學重點題型精講班也均有涉及。（23）（本題滿分11分）設二次型在正交變換下的標準型為，求的值及一個正交矩陣?！敬鸢浮?，