1,層次分析法,第一節層次分析法的思想和原理第二節層次分析法的模型和步驟第三節層次分析法的應用附錄：AHP軟件使用簡介,2,問題的提出,人們在進行社會的、經濟的以及科學管理領域問題的系統分析中，面臨的常常是一個由相互關聯、相互制約的眾多因素構成的復雜而往往缺少定量數據的系統。即項目目標的選擇是一個多目標、多層次、結構復雜、因素眾多的大系統，需要一種可將決策者的經驗予以量化，將定性和定量相結合，并對決策對象進行優劣排序、篩選的多目標決策分析方法。,問題的提出,3,對于復雜的社會、經濟、人文等問題（城市規劃、企業管理、選拔人才、選擇職業等），若沿用適應于小生產方式的決策模式憑借歷史經驗，靠主觀判斷進行決策，則缺乏應有的科學性，常常造成重大失誤。處理這些問題，要考慮的因素有多有少，有大有小。在作比較、判斷、評價、決策時，各因素的重要性、影響力或者優先程度往往難以量化，人的主觀選擇會起著相當主要的作用，這就給用一般的數學方法解決問題帶來本質上的困難。,問題的提出,問題的提出,4,例1購物買鋼筆，一般要依據質量、顏色、實用性、價格、外形等方面的因素選擇某一支鋼筆。買飯，則要依據色、香、味、價格等方面的因素選擇某種飯菜。例2旅游假期旅游，是去風光秀麗的蘇州，還是去迷人的北戴河，或者是去山水甲天下的桂林，一般會依據景色、費用、食宿條件、旅途等多因素的綜合評價選擇去哪個地方。,問題的提出,問題的提出,5,問題的提出,例3擇業面臨畢業，可能有高校、科研單位、企業等單位可以去選擇，一般依據工作環境、工資待遇、發展前途、住房條件等因素擇業。例4科研課題的選擇由于經費等因素，有時不能同時開展幾個課題，一般依據課題的可行性、應用價值、理論價值、被培養人才等因素進行選題。,問題的提出,6,面對復雜的系統和如此龐雜的因素，單用定性的方法來研究肯定行不通，但如果用定量方法來研究的話，就需要構造一定的數學模型來模擬。在構造模型的過程中需要大量的數據資料，但還有很多因素是不能單純用數據來表示的，同時這個系統內部的很多因素并不能用單純的量化關系來表達，所以在這種情況下，就要把這個大系統分為若干個相互關聯的子系統，然后再根據同一子系統內部不同要素的重要性做出評價，進行進一步的分析和資料的收集、處理。層次分析法正是為分析這類復雜的社會、經濟以及科學管理領域中的問題提供了一種簡潔的、實用的、有效的決策方法。,問題的提出,問題的提出,7,第一節層次分析法的思想和原理,層次分析法(AnalyticHierarchyProcess，AHP)是美國著名的運籌學家TLSatty等人在20世紀70年代提出的一種定性與定量分析相結合的多準則決策方法。這一方法的特點，是在對復雜決策問題的本質、影響因素以及內在關系等進行深入分析之后，構建一個層次結構模型，然后利用較少的定量信息，把決策的思維過程數學化，從而為求解多目標、多準則或無結構特性的復雜決策問題，提供一種簡便的決策方法。,3.1層次分析法的思想和原理,8,基本思想,它是指將決策問題的有關元素分解成目標、準則、方案等層次，用一定標度對人的主觀判斷進行客觀量化，在此基礎上進行定性分析和定量分析的一種決策方法。它把人的思維過程層次化、數量化，并用數學為分析、決策、預報或控制提供定量的依據。層次分析法為這類問題的決策和排序提供了一種新的、簡潔而實用的建模方法。它把復雜問題分解成組成因素，并按支配關系形成層次結構，然后用兩兩比較的方法確定決策方案的相對重要性。,3.1層次分析法的思想和原理,9,基本思想（續）,把復雜問題分解成各個組成因素，又將這些因素按支配關系分組形成有序的遞階層次結構，通過兩兩比較的方式確定各個因素相對重要性，然后綜合決策者的判斷，確定決策方案相對重要性的總的排序。AHP體現了人們決策思維的基本特征，即體現了人們決策思維的基本特征，即分解、判斷、綜分解、判斷、綜合。從本質上講是一種思維方式，是一種定量與定性相結，將人的主觀判斷用數量形式表達和處理的方法；把復雜的決策問題層次化，通過逐層比較各種關聯因素的重要性來為分析、決策提供定量的依據。特別適用于那些難于完全用定量進行分析的復雜問題；用層次分析法進行決策，可以提高決策的科學性、有效性和可行性。,3.1層次分析法的思想和原理,10,基本原理,將復雜的決策問題層次化；可根據問題的性質以及所要達到的目標，把問題分解為不同的組成因素，并按各因素之間的隸屬關系和相互關聯程度分組，形成一個不相交的層次結構。上一層次的元素對相鄰的下一層次的全部或部分元素起著支配作用，從而形成一個自上而下的逐層支配關系。具有這種性質的結構稱為遞階層次結構。遞階層次結構的決策問題，最后可歸結為最低層（供選擇的方案、措施等）相對于最高層（系統目標）的相對重要性的權值或相對優劣次序的總排序問題。將引導決策者通過一系列成對比較的評判來得到各個方案或措施在某一個準則之下的相對重要性的量度。這種評判能轉換成數字處理，構成一個所謂的判斷矩陣，然后使用用單準則排序計算方法單準則排序計算方法便可獲得這些方案或措施在該準則便可獲得這些方案或措施在該準則之下的優先度的排序。,3.1層次分析法的思想和原理,11,基本特點,應該看到，盡管AHP具有模型的特色，在操作過程中使用了線性代數的方法，數學原理嚴密，但是它自身的柔性色彩仍十分突出。層次分析法不僅簡化了系統分析和計算，還有助于決策者保持思維過程的一致性。層次分析法是一種模擬人的思維過程的工具。如果說比較、分解和綜合是大腦分析解決問題的一種基本思考過程，則層次分析法對這種思考過程提供了一種數學表達及數學處理的方法。特別是，AHP提供了決策者直接進入分析過程，將科學性與藝術性有機結合的有利渠道。層次分析法十分適用于具有定性的，或定性、定量兼有的決策分析，它是一種十分有效的系統分析和科學決策方法。,3.1層次分析法的思想和原理,12,運用層次分析法解決問題，大體可以分為四個步驟：1.明確問題，建立遞階層次結構；2.構造兩兩比較判斷矩陣；3.由判斷矩陣計算權重向量并做一致性檢驗；4.計算各層次元素的組合權重向量并做一致性檢驗。,第二節層次分析法的模型和步驟,3.2層次分析法的模型和步驟,13,1、建立問題的遞階層次結構,在研究社會、經濟、管理等復雜問題時，首先要把問題條理化、層次化，構造出一個層次分析的結構模型。將復雜問題分解為稱之為元素的各組成部分，把這些元素按屬性不同分成若干組，以形成不同層次。同一層次的元素作為準則，對下一層次的某些元素起支配作用，同時它又受上一層次元素的支配。這種從上至下的支配關系形成了一個遞階層次。在深入分析實際問題的基礎上，將有關的各個因素按照不同屬性自上而下地分解成若干層次；層次模型中，用作用線表明上一層次因素同下一層次的因素之間的關系。處于最上面的的層次通常只有一個元素，一般是分析問題的預定目標或理想結果。中間層次一般是準則、子準則。最低一層包括決策的方案。層次之間元素的支配關系不一定是完全的，即可以存在這樣的元素，它并不支配下一層次的所有元素。,3.2層次分析法的模型和步驟,14,建立問題的遞階層次結構（續）,3.2層次分析法的模型和步驟,只有一個元素，它是問題的預定目標或理想結果。,它包括為實現目標所涉及的中間環節，所需要考慮的準則。該層可由若干層組成。,包括為實現目標可供選擇的各種措施、決策方案等。,目標層,準則層,方案層,15,建立問題的遞階層次結構（續）,3.2層次分析法的模型和步驟,模型所涉及的各因素可以組合為屬性基本相同的若干層次，層次內部因素之間不存在相互影響或支配關系，或者這種影響可以忽略；層次之間存在自下而上、逐層傳遞的支配關系，沒有下層對上層的反饋作用，或層間的循環影響。,遞階層次結構,16,層次結構實例（1）,3.2層次分析法的模型和步驟,17,層次結構實例（2）,3.2層次分析法的模型和步驟,18,層次結構實例（3）,3.2層次分析法的模型和步驟,19,一個典型的層次可以用下圖表示出來：,3.2層次分析法的模型和步驟,20,注意,層次數與問題的復雜程度和所需要分析的詳盡程度有關。每一層次中的元素一般不超過9個，因一層中包含數目過多的元素會給兩兩比較判斷帶來困難。一個好的層次結構對于解決問題是極為重要的。層次結構建立在決策者對所面臨的問題具有全面深入的認識基礎上，如果在層次的劃分和確定層次之間的支配關系上舉棋不定，最好重新分析問題，弄清問題各部分相互之間的關系，以確保建立一個合理的層次結構。,3.2層次分析法的模型和步驟,21,遞階層次結構應具有以下特點,(1)從上到下順序地存在支配關系，并用直線段表示。除第一層外，每個元素至少受上一層一個元素支配，除最后一層外，每個元素至少支配下一層次一個元素。上下層元素的聯系比同一層次中元素的聯系要強得多，故認為同一層次及不相鄰元素之間不存在支配關系。(2)整個結構中層次數不受限制。(3)最高層只有一個元素，每個元素所支配的元素一般不超過9個，元素多時可進一步分組。(4)對某些具有子層次的結構可引入虛元素，使之成為遞階層次結構。,3.2層次分析法的模型和步驟,22,2、構造成對判斷矩陣,涉及到社會、經濟、管理、人文等因素的決策問題的主要困難在于，問題所涉及的因素有的有相同的量綱，在數量上是可比的，但更多的因素不易定量地量測和比較，人們憑自己的經驗和知識進行判斷，受到相當大的主觀因素的影響，當因素較多時給出的結果往往是不全面和不準確的；Saaty等人提出的成對比較法，可以提高諸因素比較的準確程度：不把所有因素放在一起比較，而是兩兩相互對比；對比時采用相對尺度，以盡可能地減少性質不同的諸因素相互比較的困難。,3.2層次分析法的模型和步驟,23,構造成對判斷矩陣,在建立遞階層次結構以后，上下層次之間元素的隸屬關系就被確定了。假定上一層次的元素Ck作為準則，對下一層次的元素A1,An有支配關系，我們的目的是在準則Ck之下按它們相對重要性賦予A1,An相應的權重。,3.2層次分析法的模型和步驟,24,成對比較法,要比較n個因素A1,A2,An對于準則Ck相對的重要性即權重，分兩種情況：如果A1,A2,An對于Ck的重要性可定量（如可用錢、重量等），其權重可直接確定；如果問題復雜，A1,A2,An對于對于Ck的重要性無法直接定量，而是一些定性的對比，確定權重用兩兩比較的方法。對于大多數社會經濟問題，特別是對于人的判斷起重要作用的問題，直接得到這些元素的權重并不容易，往往需要通過適當的方法來導出它們的權重。,3.2層次分析法的模型和步驟,25,成對比較法,每次取兩個因素Ai和Aj，用aij表示Ai和Aj對Ck的影響程度之比，按19的比例標度aij來度量（對重要性程度賦值）；,n個因素彼此比較，便構成一個兩兩比較的判斷矩陣：,成對比較矩陣：,矩陣A的性質：,n個因素的判斷矩陣只需給出上三角的n(n-1)/2個元素,正互反矩陣,3.2層次分析法的模型和步驟,26,判斷矩陣標度及其含義,當比較兩個具有不同性質的因素Ai和Aj對于上一層因素Ck的影響時，采用什么樣的相對尺度較好呢？Saaty提出用數字19及其倒數作為標度，理由如下：在估計事物的區別性時，人們常用五種判斷來表示：即相等、較強、強、很強、絕對強，當需要更高精度時，還可在相鄰判斷之間作出比較。這樣總共有個數據，既保持了連貫性，又便于在實踐中應用；,3.2層次分析法的模型和步驟,27,判斷矩陣標度及其含義,3.2層次分析法的模型和步驟,28,判斷矩陣示例,a121/2表示景色A1與費用A2對選擇旅游地這個目標C的重要性之比為1:2。,a134表示景色A1與居住條件A3之比為4:1。a237表示費用A2與居住條件A3之比為7:1。,3.2層次分析法的模型和步驟,29,3、計算權重向量并做一致性檢驗,這一步是要解決在準則Ck下，n個元素A1,An排序權重的計算問題。對于n個元素A1,An，通過兩兩比較得到判斷矩陣A，解特征根問題Aw=maxw所得到的w經歸一化后作為元素A1,An在準則Ck下的排序權重，這種方法稱為計算排序向量的特征根法。,3.2層次分析法的模型和步驟,30,計算權重向量,設想把一塊單位重量的大石頭C砸成n塊小石頭C1,C2,Cn，各小塊石頭的重量為wi(i=1,2,n)，則C1,C2,Cn在C中占的比重可用其重量排序，,w=(w1,w2,wn),n且wi=1i=1,Ci與Cj的相對重量為aij=wi/wj，得到判斷矩陣：,滿足一致條件的正互反矩陣,3.2層次分析法的模型和步驟,31,簡化的計算方法,理論上講，層次單排序計算問題可歸結為計算判斷矩陣的最大特征根及其特征向量（特征根法）的問題。但一般來說，計算判斷矩陣的最大特征根及其對應的特征向量，并不需要追求較高的精確度。這是因為判斷矩陣本身有相當的誤差范圍。而且，應用層次分析法給出的層次中各種因素優先排序權值從本質上來說是表達某種定性的概念。因此，一般用迭代法在計算機上求得近似的最大特征值及其對應的特征向量。我們這里給出一種簡單的計算矩陣最大特征根及其對應特征向量的方根法的計算步驟。,3.2層次分析法的模型和步驟,32,方根法,(1)計算判斷矩陣每一行元素的乘積Mi(2)計算Mi的n次方根：(3)對向量正規化(歸一化處理)則即為所求的特征向量。(4)計算判斷矩陣的最大特征根（其中(AW)i表示向量AW的第i個元素）,3.2層次分析法的模型和步驟,33,和積法,(1)計算判斷矩陣每一行元素的和Mi(2)計算Mi的n次方根：(3)對向量正規化(歸一化處理)則即為所求的特征向量。(4)計算判斷矩陣的最大特征根（其中(AW)i表示向量AW的第i個元素）,3.2層次分析法的模型和步驟,34,一致性檢驗,在特殊情況下，判斷矩陣A的元素具有傳遞性，即滿足等式aijajk=aik例如當Ai和Aj相比的重要性比例標度為3，而Aj和Ak相比的重要性比例標度為2，一個傳遞性的判斷應有Ai和Ak相比的重要性比例標度為6。當上式對矩陣A的所有元素均成立時，判斷矩陣A稱為一致性矩陣。,3.2層次分析法的模型和步驟,35,一致性檢驗,一般地，我們并不要求判斷具有這種傳遞性和一致性，這是由客觀事物的復雜性與人的認識的多樣性所決定的。但在構造兩兩判斷矩陣時，要求判斷大體上的一致是應該的。出現甲比乙極端重要，乙比丙極端重要，而丙又比甲極端重要的判斷，一般是違反常識的。一個混亂的經不起推敲的判斷矩陣有可能導致決策的失誤，而且當判斷矩陣過于偏離一致性時，用上述各種方法計算的排序權重作為決策依據，其可靠程度也值得懷疑。因而必須對判斷矩陣的一致性進行檢驗。,3.2層次分析法的模型和步驟,36,一致性檢驗過程,對于每一個成對比較矩陣計算最大特征根及對應特征向量，利用一致性指標，隨機一致性指標和一致性比率做一致性檢驗。若檢驗通過，特征向量（歸一化后）即為權向量；若不通過，需重新構造判斷矩陣。,3.2層次分析法的模型和步驟,37,一致性檢驗指標,如何確定A的不一致程度的容許范圍呢？,對于固定的n，隨機構造正互反矩陣A（它的元素aijij是從19，11/9中隨機抽取的），這樣的A是最不一致的，它的CI相當大。取充分大的子樣（500個樣本以上）得到A的最大特征根的平均值max，計算平均隨機一致性指標RI。,隨機一致性指標,引入隨機一致性指標：,定義一致性指標：,3.2層次分析法的模型和步驟,38,一致性檢驗指標,一致性比率對于n3的判斷矩陣A，等于一致性指標與同階（n相同）的平均隨機一致性指標之比。,一致性檢驗,A的不一致程度在容許范圍之內，可以用特征向量作為權向量。檢驗不通過，要重新進行成對比較，或對已有的A進行修正。,3.2層次分析法的模型和步驟,39,一致性檢驗步驟（1）,判斷矩陣一致性檢驗的步驟如下：,(1)計算一致性指標C.I.：,其中n為判斷矩陣的階數；,3.2層次分析法的模型和步驟,40,一致性檢驗步驟（2）,(2)查找平均隨機一致性指標R.I.：,平均隨機一致性指標是多次（500次以上）重復進行隨機判斷矩陣特征根計算之后取算術平均得到的。平均隨機一致性指標如下：,3.2層次分析法的模型和步驟,41,一致性檢驗步驟（3）,(3)計算一致性比例C.R.：,當C.R.0.1時，一般認為判斷矩陣的一致性是可以接受的。否則應對判斷矩陣作適當的修正。,3.2層次分析法的模型和步驟,42,層次總排序及一致性檢驗,問題：如何得到各元素，特別是最低層中各方案對于目標的排序權重（總排序權重），從而進行方案選擇？,總排序要自上而下地將權重進行合成，并逐層進行總的判斷一致性檢驗。確定某層所有因素對于總目標相對重要性的排序權值過程，稱為層次總排序。,3.2層次分析法的模型和步驟,43,層次總排序,在層次結構模型中設：,A層m個因素A1,A2,Am對總目標C的排序為：,B層n個因素對上層A中因素為Aj的層次單排序為：,3.2層次分析法的模型和步驟,44,層次總排序,A,B層的層次總排序，即B層第i個因素對總目標的權值為：,計算過程為：,3.2層次分析法的模型和步驟,45,層次總排序,3.2層次分析法的模型和步驟,46,層次分析法基本步驟總結,1.建立層次結構模型分析系統中各因素之間的關系，建立系統的遞階層次結構。2.構造成對比較矩陣對同一層次的各元素關于上一層次中某一準則的重要性進行兩兩比較，構造兩兩比較判斷矩陣。3.計算單排序權向量并做一致性檢驗由判斷矩陣計算被比較元素對于該準則的相對權重，利用一致性指標進行一致性檢驗。4.計算總排序權向量并做一致性檢驗計算各層元素對系統目標的合成權重，并進行排序。利用一致性指標進行組合一致性檢驗。,3.2層次分析法的模型和步驟,47,層次分析法的優點,1.系統性層次分析法把研究對象作為一個系統，按照分解、比較判斷、綜合的思維方式進行決策，成為繼機理分析、統計分析之后發展起來的系統分析的重要工具。2.實用性層次分析法把定性和定量方法結合起來，能處理許多用傳統的最優化技術無法著手的實際問題，應用范圍很廣，同時，這種方法使得決策者與決策分析者能夠相互溝通，決策者甚至可以直接應用它，這就增加了決策的有效性。3.簡潔性層次分析法的基本原理和步驟易于掌握，計算也非常簡便，并且所得結果簡單明確，容易被決策者了解和掌握。,3.2層次分析法的