第三節模擬方法概率的應用,幾何概型(1)定義：如果每個事件發生的概率只與構成該事件區域的，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱幾何概型(2)在幾何概型中事件A的概率計算公式：P(A),長度(面積或體積)成比例,古典概型與幾何概型的區別？提示：古典概型與幾何概型中基本事件發生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限個，幾何概型要求基本事件有無限多個,1在區間1,3上任取一數，則這個數大于等于1.5的概率為()A0.25B0.5C0.6D0.75【解析】本題為幾何概型問題，在1.5,3內任取一數，則此數大于等于1.5，因此所求大于等于1.5的概率【答案】D2如圖如果你向靶子上射200支鏢，大約有多少支鏢落在黑色區域(顏色較深的區域)(),故選D.,A50B100C150D200【解析】這是幾何概型問題這200支鏢落在每一點的可能性【答案】B,3如圖，A是圓上固定的一點，在圓上其他位置任取一點A，連接AA，它是一條弦，它的長度大于等于半徑長度的概率為(),【解析】如圖，當AA長度等于半徑時，A位于B或C點，此時BOC=120，則優弧BC=R，滿足條件的概率為【答案】B,4如圖所示，在一個邊長為a、b(ab0)的矩形內畫一個梯形，梯形上、下底分別為a與a，高為b.向該矩形內隨機投一點，則所投的點落在梯形內部的概率是_,【答案】,5如圖所示，在直角坐標系內，射線OT落在60角的終邊上，任作一條射線OA，求射線OA落在xOT內的概率為_【解析】射線落在直角坐標系內的任何一個位置都是等可能的，故射線OA落在xOT內的概率為P【答案】,在半徑為1的圓內一條直徑上任取一點，過這個點作垂直于直徑的弦，則弦長超過圓內接的等邊三角形邊長的概率是_【思路點撥】解決概率問題先判斷屬于什么概率模型，本題屬幾何概型，把問題轉化成：直徑上到圓心O的距離小于的點構成的線段長與直徑長之比,【自主探究】記事件A為“弦長超過圓內接等邊三角形的邊長”，如圖，不妨在過等邊三角形BCD的頂點B的直徑BE上任取一點F作垂直于直徑的弦，當弦為CD時，就是等邊三角形的邊長，弦長大于CD的充要條件是圓心O到弦的距離小于OF(此時F為OE中點)，由幾何概型公式得：P(A)=【答案】,【方法點評】1.如果試驗的結果構成的區域的幾何度量可用長度表示，則其概率的計算公式為2將每個基本事件理解為從某個特定的幾何區域內隨機地取一點，該區域中每一點被取到的機會都一樣，而一個隨機事件的發生則理解為恰好取到上述區域內的某個指定區域中的點，這樣的概率模型就可以用幾何概型來求解,1取一根長為3m的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得兩段的長都不少于1米的概率有多大？,【解析】如右圖，記“剪得兩段繩長都不小于1m”為事件A，把繩子三等分，于是當剪斷位置處在中間一段上時，事件A發生，由于中間一段的長度等于繩子的所以P(A)=,如圖，射箭比賽的箭靶涂有5個彩色的分環，從外向內依次為白色、黑色、藍色、紅色，靶心為金色，金色靶心叫“黃心”奧運會的比賽靶面直徑是122cm，靶心直徑是12.2cm，運動員在70米外射箭假設運動員射的箭都能中靶，且射中靶面內任一點是等可能的，那么射中“黃心”的概率是多少？,【自主探究】記“射中黃心”為事件B，由于中靶點隨機地落在面積為n1222(cm2)的大圓內，而當中靶點落在面積為m12.22(cm2)的黃心時，事件B發生，于是事件B發生的概率P(B)即“射中黃心”的概率是0.01.,【方法點評】1.如果試驗的結果所構成的區域的幾何度量可用面積表示，則其概率的計算公式為P(A)2“面積比”是求幾何概率的一種重要類型，也是在高考中常考的題型3如果試驗的結果所構成的區域的幾何度量可用體積表示，則其概率的計算公式為P(A),2(2008年徐州模擬)用計算機隨機產生的有序二元數組對每個二元數組(x，y)，用計算機計算x2y2的值，記“(x，y)滿足x2y21”為事件A，則事件A發生的概率為_,【解析】滿足的區域是矩形，而x2+y21表示區域為單位圓的內部區域(如圖)，由幾何概型概率公式可得P(A)【答案】,如圖所示，在等腰RtABC中，過直角頂點C在ACB內部作一條射線CM，與線段AB交于點M，求AMAC的概率【思路點撥】先找到AMAC的點M，因為在ACB內作射線，所以過C作的射線在ACB內移動，所求的概率與角度有關【自主探究】在AB上取點C，使ACAC，連接CC，則事件發生的區域為ACC.設A在ACB內部作一條射線CM，與線段AB交于點M，AMAC，,【方法點評】1.如果試驗的結果所構成的區域的幾何度量可用角度來表示，則其概率公式為2解決此類問題事件A的角必須含在事件的全部構成的角之內,3在圓心角為90的扇形AOB中，以圓心O為起點作射線OC，求使得AOC和BOC都不小于30的概率,【解析】如圖：把圓弧三等分，則AOF=BOE=30，記A為“在扇形AOB內作一射線OC，使AOC和BOC都不小于30”，要使AOC和BOC不小于30，則OC就落在EOF內，,【答案】A,2(2009年遼寧高考)ABCD為長方形，AB2，BC1，O為AB的中點在長方形ABCD內隨機取一點，取到的點到O的距離大于1的概率為()【解析】根據幾何概型概率公式得概率為故選B.,【答案】B3(2008年江蘇高考)在平面直角坐標系xOy中，設D是橫坐標與縱坐標的絕對值均不大于2的點構成的區域，E是到原點的距離不大于1的點構成的區域，向D中隨機投一點，則所投的點落在E中的概率是_,【解析】如下圖：區域D表示邊長為4的正方形ABCD的內部(含邊界)，區域E表示單位圓及其內部，因此P=【答案】4(2009年福建高考)點A為周長等于3的圓周上的一個定點若在該圓周上隨機取一點B，則劣弧的長度小于1的概率為_,【解析】如圖，設A、M、N為圓周的三等分點當B點取在優弧上時，對劣弧來說，其長度小于1，故其概率為.,【答案】,1與長度有關的幾何概率的求法(1)如果試驗的結果構成的區域的幾何度量可用長度表示，則其概率的計算公式為P(A)(2)處理此類問題，判斷基本事件應從“等可能”的角度入手，選擇好觀察角度2與面積有關的幾何概率的求法(1)如果試驗的結果所構成的區域的幾何度量可用面積表示，則其概率的計算公式為P(A),(2)“面積比”是求幾何概率的一種重要類型3