第一章集合 章末小結與測評 1 集合的含義與表示 1 集合中元素的特征 集合中元素具有三大特征 確定性 互異性 無序性 正確理解一個集合應從這三個性質入手去分析 集合中的元素是不能重復的 它是題干中隱含的條件 必須引起注意 含參數的集合問題 多根據集合元素的互異性來處理 有時需進行分類討論 2 集合的表示法 集合通常有列舉法 描述法和圖示法三種表示方法 列舉法常用來表示有限個或有特殊規律的無限個元素構成的集合 描述法是表示具有某種共同屬性的元素構成的集合 要特別注意集合中的代表元素是什么及具備怎樣的特征性質 而圖示法主要是指集合可借助venn圖 數軸等直觀呈現 體現了數形結合的思想 2 元素與集合 集合與集合的關系 1 元素與集合的關系有且僅有兩種 屬于 用符號 表示 和不屬于 用符號 表示 如a a a b等 2 集合與集合的關系是 3 空集的性質空集是一個特殊的集合 它不含任何元素 空集是任何集合的子集 是任何非空集合的真子集 在解題過程中空集極易被忽視 特別是在題設中隱含有空集參與的集合問題時 忽視空集的特殊性往往導致錯解 4 集合的基本運算 1 集合的基本運算包括交集 并集和補集運算 要理解三種運算的自然語言 集合語言和圖形語言 正確地處理集合與集合之間的關系 2 在進行集合的交 并 補集的運算時 要善于采用數形結合的思想 用數軸可以形象地表示集合的交集 并集和補集 特別是方程或不等式組的解集在借用數軸分析時 除要正確表示出各不等式的相關的集合外 還需特別注意不等式端點的虛實 venn圖是集合的圖形語言 集合的交 并 補的運算均可以通過venn圖表示 典例1 已知m 1 t n t2 t 1 若m n m 求t的取值集合 解 1 由題意得a 1 2 因為a b b 所以b a 當b 時 方程x2 x 2m 0無實數解 因此其判別式 1 8m8 1 當b 1 或b 2 時 方程x2 x 2m 0有兩個相同的實數解x 1或x 2 因此其判別式 1 8m 0 解得m 8 1 代入方程x2 x 2m 0解得x 2 1 矛盾 顯然m 8 1 不符合要求 當b 1 2 時 方程x2 x 2m 0有兩個不相等的實數解x 1或x 2 因此1 2 1 2m 2 顯然第一個等式不成立 綜上所述 m 8 1 解 m n m n m 即t2 t 1 m 1 若t2 t 1 1 即t2 t 0 解得t 0或t 1 而當t 1時 m中兩元素不符合互異性 t 0 2 若t2 t 1 t 即t2 2t 1 0 解得t 1 由 1 知不合題意 綜上所述 t的取值集合為 0 借題發揮 對集合含義的考查主要集中于集合中元素的特征 特別是元素互異性的考查 題目中常含有字母參數 解答時 常常先用分類討論的方法對所給字母逐個討論 確定出待定字母 再討論集合間的關系和運算 解 1 由題意得a 1 2 因為a b b 所以b a 當b 時 方程x2 x 2m 0無實數解 因此其判別式 1 8m8 1 當b 1 或b 2 時 方程x2 x 2m 0有兩個相同的實數解x 1或x 2 因此其判別式 1 8m 0 解得m 8 1 代入方程x2 x 2m 0解得x 2 1 矛盾 顯然m 8 1 不符合要求 當b 1 2 時 方程x2 x 2m 0有兩個不相等的實數解x 1或x 2 因此1 2 1 2m 2 顯然第一個等式不成立 綜上所述 m 8 1 1 設集合m 1 0 1 n a a2 則使m n m成立的a的值是 a 1b 0c 1d 1或 1 解析 選a由m n m知n m a2 0 或a2 1 a 0 或a 1 或a 1 而當a 0 或a 1時 不滿足集合中元素的互異性 a 1 典例2 已知集合a x 0 x 2 b x a x a 3 1 若a b a 求a的取值范圍 2 若 ra b r 求a的取值范圍 3 是否存在a 使 ra b r 且a b 借題發揮 解答這類問題 首先要在弄清集合中元素的屬性的基礎上將集合化簡 然后再進行求解 一般規律為 當所給集合是數集 用數軸求解 當所給集合是點集 用數形結合求解 當所給集合是抽象集合 用venn圖求解 2 已知集合a x 2 x 1或x 0 b x a x b 滿足a b x 0 x 2 a b x x 2 求a b的值 解 將集合a a b a b分別在數軸上表示 由a b x 0 x 2 知b 2 且 1 a 0 由a b x x 2 知 2 a 1 綜上可知a 1 b 2 典例3 已知集合a x x2 3x 2 0 b x x2 2x a 1 0 a b b 且b a 求實數a的取值范圍 解 a b b 且b a b a 又 a 1 2 b 1 2 當b 時 4 4 a 1 4 2 a 2 當b 1 時 得a 1 1 a 2 當b 2 時 無解 綜上所述 得a的取值范圍為 a a 2 借題發揮 此類問題常利用集合運算的等價性轉化為集合之間的關系求解 注意分類討論和數形結合思想方法的應用 3 已知集合a x x 1或x 1 b x 2a x a 1 a 1 b a 求實數a的取值范圍 典例4 對于集合a b 我們把集合 a b a a b b 記作a b 例如 a 1 2 b 3 4 則有a b 1 3 1 4 2 3 2 4 b a 3 1 3 2 4 1 4 2 a a 1 1 1 2 2 1 2 2 b b 3 3 3 4 4 3 4 4 據此 試回答下列問題 1 已知c a d 1 2 3 求c d 2 已知a b 1 2 2 2 求集合a b 3 a有3個元素 b有4個元素 試確定a b中元素的個數 解 1 c d a 1 a 2 a 3 2 a b 1 2 2 2 a 1 2 b 2 3 集合a中的任意一個元素與b中的一個元素對應后 得到a b中的一個新元素 若a中有m個元素 b中有n個元素 則a b中的元素應為mn個 所以 若a中有3個元素 b中有4個元素 則a b中有3 4 12個元素 借題發揮 以集合為背景的新信息題 常見的有定義新概念型 定義新運算型及開放型 解決此類問題的關鍵是正確理解新的概念或運算再結合集合的含義和運算來解決 4 若集合a1 a2滿足a1 a2 a 則稱 a1 a2 為集合a的一種分拆 并規定 當且僅當a1 a2時 a1 a2 與 a2 a1 為集合a的同一種分拆 則集合a a1 a2 a3 的不同分拆種數是 a 27b 26c 9d 8 解析 選a當a1為空集時 a2只有一種可能a2 a 此時共有1種