3 2 3直線的一般式方程 一 二 一 直線的一般式方程 問題思考 1 每一個(gè)關(guān)于x y的二元一次方程ax by c 0 a b不同時(shí)為零 都表示一條直線嗎 為什么 一 二 2 平面直角坐標(biāo)系中的每一條直線都可以用一個(gè)關(guān)于x y的二元一次方程表示嗎 為什么 提示 都可以 原因如下 1 直線和y軸相交于點(diǎn) 0 b 時(shí) 此時(shí)傾斜角 直線的斜率k存在 直線可表示成y kx b 即kx 1 y b 0 這是關(guān)于x y的二元一次方程 2 直線和y軸平行 包括重合 時(shí) 此時(shí)傾斜角 直線的斜率k不存在 不能用y kx b表示 而只能表示成x a 0 把它可以認(rèn)為是關(guān)于x y的二元一次方程 此時(shí)方程中y的系數(shù)為0 3 填空 關(guān)于x y的二元一次方程ax by c 0 其中a b不同時(shí)為0 叫做直線的一般式方程 簡稱一般式 4 做一做 過點(diǎn)a 1 2 斜率為2的直線的一般式方程為 答案 2x y 4 0 一 二 二 直線方程的一般式與其他形式的互化 問題思考 1 直線方程的一般式與其他幾種形式的直線方程相比 它有什么優(yōu)點(diǎn) 提示 直線的一般式方程能夠表示平面上的所有直線 而點(diǎn)斜式 斜截式 兩點(diǎn)式方程 都不能表示與x軸垂直的直線 2 在方程ax by c 0 a b不同時(shí)為零 中 a b c為何值時(shí) 方程表示的直線 1 平行于x軸 2 平行于y軸 3 與x軸重合 4 與y軸重合 一 二 3 做一做 直線方程2x 3y 1 0化為斜截式為 化為截距式為 思考辨析判斷下列說法是否正確 正確的在后面的括號內(nèi)畫 錯(cuò)誤的畫 1 直線的一般式方程可以表示平面內(nèi)任意一條直線 2 直線的其他形式的方程都可化為一般式 3 關(guān)于x y的二元一次方程ax by c 0 a b不同時(shí)為0 一定表示直線 答案 1 2 3 探究一 探究二 思維辨析 直線的一般式方程 例1 根據(jù)下列條件分別寫出直線的方程 并化為一般式方程 1 斜率是 且經(jīng)過點(diǎn)a 5 3 2 斜率為4 在y軸上的截距為 2 3 經(jīng)過a 1 5 b 2 1 兩點(diǎn) 4 在x軸 y軸上的截距分別是 3 1 思路分析 先選擇合適的形式將直線方程寫出來 再化為一般式 探究一 探究二 思維辨析 反思感悟求直線方程時(shí) 要求將方程化為一般式方程 其形式一般作如下設(shè)定 x的系數(shù)為正 系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)一般不出現(xiàn)分?jǐn)?shù) 一般按含x項(xiàng) 含y項(xiàng) 常數(shù)項(xiàng)的順序排列 探究一 探究二 思維辨析 探究一 探究二 思維辨析 由一般式方程判斷兩直線平行或垂直 例2 1 已知直線l1 2x m 1 y 4 0與直線l2 mx 3y 2 0平行 求實(shí)數(shù)m的值 2 已知直線l1 a 2 x 1 a y 1 0與直線l2 a 1 x 2a 3 y 2 0垂直 求實(shí)數(shù)a的值 思路分析 利用在一般式方程下 兩直線平行或垂直的條件求解 解 1 由2 3 m m 1 0 得m 3或m 2 當(dāng)m 3時(shí) l1 x y 2 0 l2 3x 3y 2 0 顯然l1與l2不重合 l1 l2 同理 當(dāng)m 2時(shí) l1 2x 3y 4 0 l2 2x 3y 2 0 l1與l2不重合 l1 l2 故m的值為2或 3 2 由直線l1 l2 得 a 2 a 1 1 a 2a 3 0 解得a 1 故當(dāng)a 1或a 1時(shí) 直線l1 l2 探究一 探究二 思維辨析 反思感悟直線l1 a1x b1y c1 0 直線l2 a2x b2y c2 0 1 l1 l2 a1b2 a2b1 0 且b1c2 b2c1 0 或a1c2 a2c1 0 2 l1 l2 a1a2 b1b2 0 探究一 探究二 思維辨析 當(dāng)a為何值時(shí) 直線 a 1 x 2y 4 0與x ay 1 0 1 平行 2 垂直 探究一 探究二 思維辨析 因轉(zhuǎn)化條件不等價(jià)而致錯(cuò) 典例 已知直線l1 x my 6 0 l2 m 2 x 3y 2m 0 當(dāng)l1 l2時(shí) 求m的值 錯(cuò)解 由1 3 m m 2 0 得m 1或3 提示 以上解題過程中都有哪些錯(cuò)誤 出錯(cuò)的原因是什么 你如何改正 如何防范 因存在斜率的兩直線平行的等價(jià)條件為斜率相等且截距不等 所以上述解法忽略檢驗(yàn)截距是否相等 正解 由1 3 m m 2 0得 m 1或m 3 當(dāng)m 1時(shí) l1 x y 6 0 l2 3x 3y 2 0 兩直線顯然不重合 即l1 l2 當(dāng)m 3時(shí) l1 x 3y 6 0 l2 x 3y 6 0 兩直線重合 故m的值為 1 探究一 探究二 思維辨析 防范措施已知直線l1 a1x b1y c1 0 直線l2 a2x b2y c2 0 則a1b2 a2b1 0 l1 l2或l1與l2重合 所以 由a1b2 a2b1 0求出參數(shù)值后 需檢驗(yàn)兩直線是否重合 探究一 探究二 思維辨析 變式訓(xùn)練已知直線l1 ax by 1 0 a b不同時(shí)為0 l2 a 2 x y a 0 1 若b 0 且l1 l2 求實(shí)數(shù)a的值 2 當(dāng)b 3 且l1 l2時(shí) 求l2的方程 解 1 當(dāng)b 0時(shí) l1 ax 1 0 由l1 l2 得a 2 0 解得a 2 1 已知直線2x ay b 0在x軸 y軸上的截距分別為 1 2 則a b的值分別為 a 1 2b 2 2c 2 2d 2 2 3 斜率為2 且經(jīng)過點(diǎn)a 1 3 的直線的一般式方程為