系統辨識實驗報告一、相關分析法(1)實驗原理圖1 實驗原理圖本實驗的原理圖如圖1。過程傳遞函數中；輸入變量，輸出變量，噪聲服從，為過程的脈沖響應理論值，為過程脈沖響應估計值，為過程脈沖響應估計誤差。過程輸入采用M序列，其輸出數據加白噪聲得到輸出數據。利用相關分析法估計出過程的脈沖響應值，并與過程脈沖響應理論值比較，得到過程脈沖響應估計誤差值。M序列階次選擇說明：首先粗略估計系統的過渡過程時間TS (通過簡單階躍響應)、截止頻率fM (給系統施加不同周期的正弦信號或方波信號，觀察輸出)。本次為驗證試驗，已知系統模型，經計算，。根據式及式，則取值為1，此時，由于與N選擇時要求完全覆蓋，則選擇六階M移位寄存器，即N=63。(2) 編程說明人機對話噪聲標準差：sigma；生成數據周期數：r生成數據生成M序列；生成白噪聲序列過程仿真得到理論輸出數據計算脈沖響應估計值計算互相關函數，得到脈沖響應估計值計算脈沖響應估計誤差計算脈沖響應理論值，得到脈沖響應估計誤差圖2 程序流程圖(3) 分步說明 生成M序列：M序列的循環周期，時鐘節拍，幅度，移位寄存器中第5、6位的內容按“模二相加”，反饋到第一位作為輸入。其中初始數據設為1,0,1,0,0,0。程序如下： 生成白噪聲序列：程序如下： 過程仿真得到輸出數據：如圖2所示的過程傳遞函數串聯，可以寫成形如，其中。圖2 過程仿真方框圖程序如下： 計算脈沖響應估計值：互相關函數采用公式，互相關函數所用的數據是從第二個周期開始的，其中為周期數，取1-3之間。則脈沖響應估計值為：，。補償量。程序如下： 計算脈沖響應估計值：脈沖響應的理論值由式可計算得到。這時可得到過程脈沖相應估計誤差。脈沖響應估計誤差為：程序如下：(4) 數據記錄當噪聲標準差sigma=0.1，生成數據周期r為2時：脈沖響應估計誤差為0.0121。脈沖響應估計曲線為圖3所示。當噪聲標準差sigma=0.5，生成數據周期r為1時：脈沖響應估計誤差為 0.0347。脈沖響應估計曲線為圖4所示。當噪聲標準差sigma=0.5，生成數據周期r為3時：脈沖響應估計誤差為 0.0258。脈沖響應估計曲線為圖5所示。當噪聲標準差sigma=1，生成數據周期r為3時：脈沖響應估計誤差為 0.0279。脈沖響應估計曲線為圖6所示。 圖3 sigma=0.1，r=2時脈沖響應估計曲線 圖4 sigma=0.5，r=1時脈沖響應估計曲線 圖5 sigma=0.5，r=3時脈沖響應估計曲線 圖6 sigma=1，r=3時脈沖響應估計曲線(5) 結果分析實驗中可以看到脈沖響應估計的曲線與理論曲線的重合度還是比較高的，脈沖響應估計誤差也比較小，實驗證明相關分析法的估計效果還是不錯的。同時，經過實驗可以得出結論：固定數據周期r，給定不同的噪聲標準差sigma可以發現，噪聲的方差越大，也就是信噪比越大，估計的效果越不好；固定噪聲標準差sigma，選擇不同的數據生成周期r可以發現，數據周期越大，估計的周期越多，估計的效果越好。二、最小二乘法1. 基本最小二乘（離線辨識）殘差為： 最小二乘目標：殘差平方和最?。ㄒ浑A導為0，二階導0）。從上式看出，逆存在才有解，滿足條件的u(k)：(1) 偽隨機；(2) 白噪聲；(3)有色隨機信號。程序如下： 結果如下：result1 = -0.8287; 0.1275; -0.0024; 1.9884; -1.27232. 遞推最小二乘（在線辨識） RLS 為了啟動RLS，需給初值：。計算框圖見書P66。程序如下： 結果如下：result2 = -0.8284; 0.1274; -0.0024; 1.9883; -1.2717圖7 遞推最小二乘法參數過渡過程數據飽和：（1）原因：，不再起修正作用，引起誤差變大。 （2）為了克服數據飽和現象，可以用降低老的數據影響的方法：漸消記憶法（遺忘因子法） 限定記憶法（固定窗法）當為不相關序列，最小二乘有一致性與無偏性，但往往為相關序列，為克服最小二乘有偏估計的缺點，引入輔助變量法和廣義最小二乘法，增廣最小二乘法等。3. 漸消記憶法（遺忘因子法） 一般程序如下：結果如下：result3 = -0.6862; 0.1114; 0.0640; 2.0356; -0.9429圖8 漸消記憶法參數過渡過程4. 限定記憶法（固定窗法）程序如下：結果如下：（較前三種方法偏差較大）result4 = -1.0190; 0.1725; -0.4531; 2.1092; -1.37245. 輔助變量法（IV）(1).輔助變量Z (2) .計算步驟： 先根據實測數據最小二乘求粗略（為有偏估計） (3) .遞推：RIV 初始條件： 缺點: P0的選擇非常敏感，一個改進方法是，用遞推最小二乘辨識算法作為啟動方法，然后轉換到輔助變量法。程序如下： 結果如下：result5 = -0.9369; 0.1207; -0.0254; 1.9781; -1.5331 圖9 輔助變量法參數過渡過程6. 廣義最小二乘法（GLS）(1)廣義最小二乘法的基本思想：由于在n+k個采樣周期的時差范圍內具有自相關性，從而使的最小二乘估計為有偏的，所以引入一個所謂成形濾波器（白化濾波器），把相關噪聲轉化成白噪聲。如果知道有色噪聲序列的相關性：令，有廣義最小二乘法(GLS)是建立在最小二乘法(LS)的基礎上的?；咀钚《朔ㄖ皇菑V義最小二乘法在時的特例。(2)廣義最小二乘法計算步驟：廣義最小二乘法的關鍵問題是如何用比較簡單的方法找到成形濾波器的系數。其計算是逐次逼近法。應用輸入輸出數據按最初模型求出的最小二乘估計。這個估計值是不精確的，它只是被估參數的一次近似。計算殘差e(k)，并擬合成形濾波器的模型：得到 其中 應用所得的成形濾波器，對輸入輸出數據濾波：其中，m為噪聲模型的階，一般事先不知道，實際經驗表明指定m為2或3可以得到比較滿意的輸出。按新的輸入、輸出模型求出參數的第二次估計值。結果如下：Result6 = -0.6538; 0.2926; 0.0454; 1.8776; -1.60427. 廣義遞推最小二乘法（GLS） 廣義最小二乘法的遞推計算過程可分成兩個部分：(1) 按遞推最小二乘法(RLS)，隨著N的增大，不斷計算(逐步接近于無偏)和(逐步使噪聲白化)；(2) 在遞推過程中，和是時變的，則過濾信號及殘差是由時變系統產生，要不斷計算。因而，遞推廣義最小二乘法由兩組普通的遞推最小二乘法組成，它們是通過濾波算法聯系起來的： 結果如下：result7 = -1.0164; 0.1754; -0.0159; 2.0056; -1.6438噪聲傳遞系數的估計結果：-0.0307; 0.0900圖10 廣義遞推最小二乘參數過渡過程8. 增廣矩陣法(ELS/RELS)(增廣最小二乘法)增廣矩陣法是把觀測矩陣適當增大，使得有偏估計的程度得到一定改善。 這一方程結構適用于遞推最小二乘法，但向量中是未知的。解決這個矛