1 第一第一講講 隨機事件與概率隨機事件與概率 1 一個袋子中有 5 只黑球 3 只白球 從袋中任取兩只球 若以A表示 取到的兩只球均為白球 B表示 取到的兩只球同色 C表示 取到的兩只球至少有一只白球 則 AP BP CP 2 設對于事件A BC 有P A P BP C 1 4 P AC 1 8 P ABP BC 0 則A BC 同時出現的概率為 A BC 至少出現一個的概率為 3 設事件ABC 兩兩相互獨立 滿足條件 1 2P AP BP C ABC 且已知 16 9 CBAP 則 AP 4 設A B為事件 3 0 6 0 BAPAP 則P AB 5 設事件A與B相互獨立 已知5 0 AP 8 0 BAP 則 BAP P AB 6 設A和B是任意概率不為零的互斥事件 則下結論正確的是 A APBAP B A與B不互斥 C BPAPABP D A與B互斥 7 設隨機事件A和B滿足1 ABP 則 A A為必然事件 B 0 ABP C AB D AB 8 設A和B為任意兩個事件 且AB 則必有 A ABPAP B ABPAP C ABPAP D ABPAP 9 設A和B為任意兩個事件 且AB P B 0 則必有 A P AP A B B P AP A B C P AP A B D P AP A B 10 設事件A B C滿足CAB 則下列結論正確的是 A P CP AP B 1 B P CP AP B 1 C P CP AB D P CP AB 11 一批產品共有 10 個正品 2 個次品 從中任取兩次 每次取一個 有放回 求 1 第二次取出的是次品的概率 2 2 兩次都取到正品的概率 3 第一次取到正品 第二次取到次品的概率 12 一批產品共有 10 個正品 2 個次品 從中任取兩次 每次取一個 不放回 求 1 至少取到一個正品的概率 2 第二次取到次品的概率 3 恰有一次取到次品的概率 13 一工人照看三臺機床 在一小時內 甲機床需要照看的概率是 0 6 乙機床和丙機床需要照看的 概率分別是 0 5 和 0 8 求在一小時中 沒有一臺機床需要照看的概率 14 有兩個口袋 甲袋中盛有 4 個白球 2 個黑球 乙袋中盛有 2 個白球 4 個黑球 由甲袋任取一 球放入乙袋 再從乙袋中取出一球 求從乙袋中取出的是白球的概率 15 設有一箱同類產品是由三家工廠生產的 其中 1 2 是第一家工廠生產的 其余兩家各生產 1 4 又知第一 二 三家工廠生產的產品分別有 2 4 5 的次品 現從箱中任取一件產品 求 1 取到的是次品的概率 2 若已知取到的是次品 它是第一家工廠生產的概率 16 有朋友遠方來訪 他乘火車 輪船 汽車 飛機的概率分別為 3 10 1 5 1 10 2 5 而乘火車 輪船 汽車 飛機遲到的概率分別為 1 4 1 3 1 12 1 8 求 1 此人來遲的概率 2 若已知來遲了 此人乘火車來的概率 3 第二講第二講 隨機變量及其分布隨機變量及其分布 1 設X的分布函數為 00 01 x xe xF x 則 2 XP 3 XP X的概率分布 xf 2 設 隨 機 變 量X的 概 率 密 度 為 cos 2 0 Axx f x 其它 則 系 數A 2 0 XP 3 設隨機變量X的概率分布為f x Axx 其它 01 0 以Y表示對X的三次獨立重復觀察中事 件 X 1 2 出現的次數 則P Y 2 4 若隨機變量 2 2 XN 且PX 2403 則 2 XP P X 0 4 XP 5 設 2 1 ixFi為 i X的分布函數 為使 2 1 1 xaFxFF x 2 是某一隨機變量的分布函數 則 a 6 設 2 NX則隨著 的增大 概率 P X A 保持不變 B 單調減少 C 單調增加 D 增減不定 7 設X和Y均服從正態分布XNYN 45 22 記pP X 1 4 pP Y 2 5 則 A 對任何實數 都有pp 12 B 對任何實數 都有pp 12 C 僅對 的個別值有pp 12 D 對任何實數 都有pp 12 8 設隨機變量X服從標準正態分布 其密度函數為 x 分布函數為 x 則對任意實數a有 A a dxxa 0 1 B a dxxa 0 2 1 C aa D 1 2 aa 9 設隨機變量X的密度函數為 3 4 01 0 xx f x 其它 則使 aXPaXP 成立的常數 a A 4 2 1 B 4 2 C 2 1 D 4 2 1 1 4 10 設隨機變量X的密度函數為 0 0 0 2 x xCe xf x 則C A 1 2 B 3 C 2 D 1 3 11 設X的概率分布為 X 0 1 2 P 1 3 1 6 1 2 求 1 X的分布函數 2 P X 1 2 PX 1 3 2 PX 1 3 2 12 從學校乘汽車到火車站的途中有三個交通崗 假定在各個交通崗遇到紅綠信號燈的事件是相互 獨立的 且概率都是 2 5 設 X 表示途中遇到紅燈的次數 求 X 的分布律 分布函數 13 已知某種型號的雷管在一定刺激下發火率為 4 5 今獨立重復地作刺激試驗 直到發火為止 則 消耗的雷管數X是一離散型隨機變量 求X的概率分布 14 在某公共汽車站甲 乙 丙三人分別獨立地等 1 2 3 路汽車 設每個人等車時間 單位 分 鐘 均服從 0 5 上的均勻分布 求三人中至少有兩個人等車時間不超過 2 分鐘的概率 15 設隨機變量X的概率密度為 f x 求下列隨機變量Y的概率密度 1 1 Y X 2 YX 3 2 YX 16 假設隨機變量X在 1 2上服從均勻分布 試求隨機變量 2X Ye 的概率密度 5 第三第三講講 多維隨機變量及其分布多維隨機變量及其分布 1 設 X Y的聯合密度為 2 0 0 0 x y Aexy f x y 其它 則 A 2 1 P XY 2 設二維隨機變量 X Y在矩形區域 02 01Gx yxy 上服從均勻分布 則邊長為 X和Y的矩形面積S的概率密度 f s為 3 設 X Y的聯合密度為 1 01 02 2 0 xy f x y 其它 則X與Y中至少有一個小于 1 2 的概率為 4 設二維隨機變量 X Y服從G上的均勻分布 G的區域由曲線 2 xy 與xy 所圍 則 X Y 的聯合概率密度函數為 5 設 YX 的概率密度 0102 0 K xyxy f xy 其它 則 K A 3 B 1 3 C 1 2 D 2 6 設X與Y相互獨立且同分布 P XP Y 111 2 P XP Y 111 2 則下列各式中成立的是 A 2 1 YXP B 1 YXP C 4 1 0 YXP D 4 1 1 XYP 7 設X和Y相互獨立 且分別服從 1 0 N和 1 1 N 則 A 2 1 0 YXP B 2 1 1 YXP C 2 1 0 YXP D 2 1 1 YXP 8 接連不斷地擲一枚骰子直到出現小于 5 的點為止 以X表示最后一次擲出的點數 而以 Y表示擲骰子的次數 求 X Y的分布律 9 袋中有 2 個白球和 3 個黑球 現從中依次無放回 摸出兩球 設 1 0 X 第一次摸出白球 第一次摸出黑球 1 0 Y 第一次摸出白球 第一次摸出黑球 求 X Y的聯合分布及邊緣分布 6 10 設二維隨機變量 X Y的聯合分布列如下所示 問 取什么值時 X與Y獨立 11 設二維隨機變量 X Y具有概率密度函數 其它 0 0 0 2 yxce yxf yx 求 1 常數c 2 X Y的分布函數 3 X Y落在區域 0 0 1Dx y xyxy 且內的概率 12 設 X Y服從區域 2 01Dx yyx 上的均勻分布 求 1 X Y的聯合密度函數 2 X和Y的邊緣密度函數 13 設二維隨機變量 X Y的概率密度函數為 0 0 y exy f x y 其它 求 1 X fx 2 1 P XY 14 若 X Y的聯合概率密度函數為 8 0 01 0 xyxyy f x y 其它 問X與Y是否獨立 15 若X與Y獨立 且服從同一分布律 X的分布律為 求 max ZX Y 的分布律 16 設二維隨機變量 X Y的概率密度函數為 2 2 0 0 0 x y exy f x y 其它 求 2ZXY 的概率密度函數 X Y 1 2 3 1 6 1 9 1 18 1 2 3 1 X 0 1 P 2 1 2 1 7 第四講第四講 隨機變量的數字特征隨機變量的數字特征 1 設隨機變量X的概率分布為 X 1 0 1 2 pk 0 1 0 2 0 3 p 則p EX DX YX 21的概率分布為 2 設X的概率密度為 2 21 1 xx f xe x 則 EX DX 3 設隨機變量 X 其它 0 10 011 xxA xx xf 則常數A EX DX 4 設 2 1 2 XN則 2 EX 1 XD 5 設隨機變量 2 1 2 XN 0 1 YN 且相互獨立 YXZ 2 則 EZ DZ 6 設XY 獨立同分布 其中X的概率分布為 2 1 kXP 1 0 k則XY 的聯合分布 為 EXY 7 設X與Y方差分別為 4 和 1 協方差8 0 YXCov 則X與Y的相關系數 XY 32 YXD 32 YXD 8 對于隨機變量X Y 若EYEXEXY 則 A X與Y獨立 B DYDXXYD C DYDXYXD D X與Y不獨立 9 設4 DX 1 DY 6 0 xy 則D 23YX A 40 B 28 4 C 54 4 D 25 6 10 設X是一隨機變量 EXDX 2 0常數 對任意常數C 必有 A E XCEXC 22 B E XCE X 22 C E XCE X 22 D E XCE X 22 11 設X與Y獨立同分布 記UXY VXY 則UV 必然 A 不獨立 B 獨立 C 相關系數為零 D 相關系數不為零 8 12 設X的分布密度為 01 212 0 xx f xxx 當 當 其它 求數學期望EX和方差DX 13 已知隨機變量X的分布列如下 X 0 1 2 k P 0 3 0 2 0 5 試求 1 EX DX 2 2 1 XE 3 X的分布函數 14 設YX 的概率分布為 1 15 4 0 x x 其它 4 40 00 y ey y y 求 YXE 和 32 2 YXE 15 已知隨機變量X Y分別服從正態分布 2 0 3 N和 2 2 4 N 且X與Y的相關系數 XY 1 2 設ZXY 32 求 1 數學期望EZ 方差DZ 2 X與Z的相關系數 XZ 16 設一部機器一天內發生故障的概率為 0 2 機器發生故障時全天停止工作 若一周 5 個工作日內 無故障可獲利 8 萬元 發生一次故障仍獲利 4 萬元 發生兩次故障獲利 0 元 發生三次或三次以上 要虧損 2 萬元 求一周內期望利潤是多少 17 設 與 獨立同分布 已知 的概率分布為 321 3 1 iiP 又設 max X min Y 求 1 EX EY 2 隨機變量YX 的協方差 18 游客乘電梯從低層到電視塔頂層觀光 電梯每個整點的第 5 分鐘 25 分鐘 55 分鐘從低層起行 假設一游客在早八點的第X分鐘到達低層候梯處 且X在 0 60 上均勻分布 求該游客等候時間 的數學期望 9 第五第五講講 大數定律與中心極限定理大數定律與中心極限定理 1 設隨機變量X的方差為 2 則由切比雪夫不等式得 2 P XEX 2 設隨機變量X和Y的數學期望分別為 2 和 2 方差分別為 1 和 4 而相關系數為 0 5 則根據 切比雪夫不等式有 6 YXP 3 129 XXX 相互獨立 1 1 1 2 9 ii EXDXi 則對于任意給定的0 有 A 9 2 1 11 i i pX B 9 2 1 1 11 9 i i pX C 9 2 1 91 i i pX D 9 2 1 91 9 i i pX 4 設 12 n XXX 相互獨立且都服從參數為 的指數分布 則下述選項中成立的是 A 1 lim n i i n Xn Pxx n B 1 lim n i i n Xn Pxx n C 1 lim n i i n Xn Pxx n D 1 lim n i i n X Pxx n 5 某廠生產某產品 1000 件 其價格為2000P 元 件 其使用壽命X 單位 天 的 分布密度為 1 365 20000 1 365 20000 0365 x ex f x x 現由某保險公司為其質量進行保險 廠方向保險公司交保費 0 P元 件 若每件產品若壽命小于 1095 天 3 年 則由保險公司按原價賠償 2000 元 件 試由中心極限定理計算 1 若保費 0 100P 元 件 保險公司虧本的概率 2 試確定保費 0 P 使保險公司虧本的概率不超過1 10 第六講第六講 樣本及抽樣分布樣本及抽樣分布 1 設 21n XXX 為總體 1 0 NX的一個樣本 X為樣本均值 2 S為樣本 方差 則有 XN 22 1 2 1 n i i nXXF 2 設 621 XXX 是來自正態分布 1 0 N的樣本 2 6 4 2 3 1 i i i i XXY 當c 時 cY服從 2 分布 2 E 3 設 mtX 則隨機變量 2 XY 服從的分布為 需寫出自由度 4 設 1234 XXXX是來自正態總體 0 9 N的一個簡單隨機樣本 2 234 2 1 3 XXX X 服從 分布 寫出自由度 5 設隨機變量 n XXX 21 獨立同分布 且方差為0 2 令 n i i X n Y 1 1 則 A 2 1 Cov XYn B 2 1 Cov XY C nnYXD 2 2 1 D 2 1 1 D XYnn 6 設 12 n XXX 是來自正態總體 1 N 的一個簡單隨機樣本 2 X S分別為樣本均值與樣本方 差 則 A 0 1 XN B 22 1 1 n i i XXn C 22 1 1 n i i Xn D 1 1 X t n Sn 7 設 21n XXX 為總體 2 1 2 N的一個樣本 X為樣本均值 則下列結論中正確 的是 A 2 1 nt n X B 1 1 4 1 1 2 nFX n i i C 1 0 2 1 N n X D 1 4 1