3 4反證法 一 反證法的定義1 先假定命題結論的反面成立 在這個前提下 若推出的結果與定義 公理 定理相矛盾 或與命題中的已知條件相矛盾 或與假定相矛盾 從而說明命題結論的反面不可能成立 由此斷定命題的結論成立 這種證明方法叫作反證法 2 反證法是一種間接證明的方法 二 反證法的證明步驟1 作出否定結論的假設 2 進行推理 導出矛盾 3 否定假設 肯定結論 名師點撥使用反證法證明數學問題的注意事項 1 用反證法證題的實質就是否定結論導出矛盾 從而證明原結論正確 否定結論時 對結論的反面出現的多種可能 要一一否定 不能遺漏 缺少任何一種可能 證明都是不完整的 2 反證法必須從否定的結論出發進行推理 且必須根據這一條件進行論證 僅否定結論 不從結論的反面出發進行的論證不是反證法 故反證法也叫歸謬法 3 用反證法證題的關鍵在于依據假設在正確的推理下得出矛盾 這個矛盾可以是與已知條件矛盾 或與假設矛盾 或與公理 定理 定義 或是已證明了的結論矛盾 或是與公認的簡單事實矛盾 但推出的矛盾必須是明顯的 做一做1 用反證法證明命題 三角形的內角中至少有一個不大于60 時 假設正確的是 a 假設三個內角都不大于60 b 假設三個內角都大于60 c 假設三個內角至多有一個大于60 d 假設三個內角至多有兩個大于60 解析 根據反證法的定義 假設應使命題的反面成立 而 三角形的內角中至少有一個不大于60 的反面是 三個內角都大于60 答案 b 思考辨析判斷下列說法是否正確 正確的在后面的括號內畫 錯誤的畫 1 反證法是一種間接證明方法 否定結論時 一定要全面否定 2 反證法推出的矛盾不能是與已知矛盾 3 使用反證法必須先否定結論 當結論的反面出現多種可能時 論證一種即可 答案 1 2 3 探究一 探究二 思維辨析 用反證法證明否定性命題 例1 已知三個正數a b c成等比數列 但不成等差數列 求證 探究一 探究二 思維辨析 反思感悟1 對于結論中含有 不 不是 不可能 不存在 等詞語的命題 此類命題的反面比較具體 適合用反證法證明 2 在證明否定性命題時 先通過假設原命題的反面成立 將原來的否定性命題轉化為肯定性命題 再利用所學知識 找出矛盾 從而說明假設不成立 命題得證 探究一 探究二 思維辨析 探究一 探究二 思維辨析 用反證法證明 至多 至少 命題 思路分析 因為直接從條件推證 方向不明確 過程不可推測 所以可以采用反證法 證明 假設a b c都不大于0 即a 0 b 0 c 0 則a b c 0 x2 2x y2 2y z2 2z x 1 2 y 1 2 z 1 2 3 0 這與a b c 0相矛盾 a b c中至少有一個大于0 探究一 探究二 思維辨析 反思感悟1 對于結論中含有 至多 至少 等詞語的命題 若直接從條件推證 則解題方向不明確 過程不可推測 不易證明 故可以考慮用反證法證明 2 常見的 結論詞 與 反設詞 如下表所示 探究一 探究二 思維辨析 變式訓練2證明關于x的方程x2 4ax 4a 3 0 x2 a 1 x a2 0 x2 2ax 2a 0 當a 或a 1時 至少有一個方程有實數根 探究一 探究二 思維辨析 否定結論不全面而致誤 探究一 探究二 思維辨析 探究一 探究二 思維辨析 糾錯心得用反證法證題時 如果要證明的結論反面情況只有一種 那么只要將這種情況駁倒了就可以 若結論的反面情況有多種 則必須將所有的反面情況一一駁倒 才能推斷結論成立 探究一 探究二 思維辨析 跟蹤訓練求證 兩條相交直線有且只有一個交點 證明 假設結論不成立 即有兩種可能 無交點或至少有兩個交點 設兩條直線為a b 1 若a b無交點 則a b或a b是異面直線 與已知矛盾 2 若a b至少有兩個交點a和b 這樣同時經過a b就有兩條直線 這與 經過兩點有且只有一條直線 相矛盾 綜上所述 兩條相交直線有且只有一個交點 1 否定 自然數a b c中恰有一個偶數 時 正確的反設為 a a b c都是奇數b a b c都是偶數c a b c中至少有兩個偶數d a b c中都是奇數或至少有兩個偶數答案 d2 命題 關于x的方程ax b 0 a 0 有唯一解 的結論的否定是 a 無解b 有兩解c 至少有兩解d 無解或至少有兩解解析 命題的否定是否定命題的結論 有唯