專題升級訓練 解答題專項訓練(數列)1.設數列an的前n項和Sn滿足2Sn=an+1-2n+1+1,nN*,且a1,a2+5,a3成等差數列.(1)求a1的值;(2)求數列an的通項公式.2.已知各項都不相等的等差數列an的前6項和為60,且a6為a1和a21的等比中項.(1)求數列an的通項公式;(2)若數列bn滿足bn+1-bn=an(nN*),且b1=3,求數列的前n項和Tn.3.已知數列an是公差為正的等差數列,其前n項和為Sn,點(n,Sn)在拋物線y=x2+x上;各項都為正數的等比數列bn滿足b1b3=,b5=.(1)求數列an,bn的通項公式;(2)記Cn=anbn,求數列Cn的前n項和Tn.4.已知Sn是等比數列an的前n項和,S4,S10,S7成等差數列.(1)求證：a3,a9,a6成等差數列;(2)若a1=1,求數列的前n項的積.5.已知數列an滿足:a1=1,an+1=(1)求a2,a3;(2)設bn=a2n-2,nN*,求證:bn是等比數列,并求其通項公式;(3)在(2)的條件下,求數列an前100項中的所有偶數項的和S.6.已知數列an(nN*)是首項為a,公比為q0的等比數列,Sn是數列an的前n項和,已知12S3,S6,S12-S6成等比數列.(1)當公比q取何值時,使得a1,2a7,3a4成等差數列;(2)在(1)的條件下,求Tn=a1+2a4+3a7+na3n-2.7.已知數列an的各項排成如圖所示的三角形數陣,數陣中每一行的第一個數a1,a2,a4,a7,構成等差數列bn,Sn是bn的前n項和,且b1=a1=1,S5=15.(1)若數陣中從第三行開始每行中的數按從左到右的順序均構成僅比為正數的等比數列,且公比相等,已知a9=16,求a50的值;(2)設Tn=+,求Tn.8.設數列an的各項均為正數.若對任意的nN*,存在kN*,使得=anan+2k成立,則稱數列an為“JK型”數列.(1)若數列an是“J2型”數列,且a2=8,a8=1,求a2n;(2)若數列an既是“J3型”數列,又是“J4型”數列,證明:數列an是等比數列.#1.解:(1)在2Sn=an+1-2n+1+1中,令n=1,得2S1=a2-22+1,令n=2,得2S2=a3-23+1,解得a2=2a1+3,a3=6a1+13.又2(a2+5)=a1+a3,解得a1=1.(2)2Sn=an+1-2n+1+1.2Sn+1=an+2-2n+2+1,得an+2=3an+1+2n+1,又a1=1,a2=5也滿足a2=3a1+21,an+1=3an+2n對nN*成立.an+1+2n+1=3(an+2n),an+2n=3n,an=3n-2n.2.解:(1)設等差數列an的公差為d(d0),則解得an=2n+3.(2)由bn+1-bn=an,bn-bn-1=an-1(n2,nN*),bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+(b2-b1)+b1=an-1+an-2+a1+b1=(n-1)+3=n(n+2).bn=n(n+2)(nN*).,Tn=+=.3.解:(1)Sn=n2+n,當n=1時,a1=S1=2;當n2時,Sn-1=(n-1)2+(n-1)=n2-n+1.an=Sn-Sn-1=3n-1(n2).當n=1時,a1=3-1=2滿足題意.數列an是首項為2,公差為3的等差數列.an=3n-1.又各項都為正數的等比數列bn滿足b1b3=,b5=,b2=b1q=,b1q4=,解得b1=,q=,bn=.(2)Cn=(3n-1),Tn=2+5+(3n-4)+(3n-1),Tn=2+5+(3n-4)+(3n-1),-,得Tn=1+3+-(3n-1)=1+3-(3n-1)=-3-(3n-1).Tn=5-.4.解:(1)當q=1時,2S10S4+S7,q1.由2S10=S4+S7,得.a10,q1,2q10=q4+q7.則2a1q8=a1q2+a1q5.2a9=a3+a6.a3,a9,a6成等差數列.(2)依題意設數列的前n項的積為Tn,Tn=13q3(q2)3(qn-1)3=q3(q3)2(q3)n-1=(q3)1+2+3+(n-1)=(q3.又由(1)得2q10=q4+q7,2q6-q3-1=0,解得q3=1(舍),q3=-.Tn=.5.解:(1)a2=,a3=-.(2)=,又b1=a2-2=-,數列bn是等比數列,且bn=-.(3)由(2)得a2n=bn+2=2-(n=1,2,3,50),S=a2+a4+a100=250-=100-1+=99+.6.解:(1)由題意可知,a0.當q=1時,則12S3=36a,S6=6a,S12-S6=6a,此時不滿足條件12S3,S6,S12-S6成等比數列;當q1時,則12S3=12,S6=,S12-S6=,由題意得12,化簡整理得(4q3+1)(3q3-1)(1-q3)(1-q6)=0,解得q3=-,或q3=,或q=-1.當q=-1時,a1+3a4=-2a,2a7=2a,a1+3a42(2a7),不滿足條件;當q3=-時,a1+3a4=a(1+3q3)=,2(2a7)=4aq6=,即a1+3a4=2(2a7),當q=-時,滿足條件;當q3=時,a1+3a4=a(1+3q3)=2a,2(2a7)=4aq6=,a1+3a42(2a7),從而當q3=時,不滿足條件.綜上,當q=-時,使得a1,2a7,3a4成等差數列.(2)由(1)得na3n-2=na.Tn=a+2a+3a+(n-1)a+na,則-Tn=a+2a+3a+(n-1)a+na,-得Tn=a+a+a+a+a-na=a-a,所以Tn=a-a.7.解:(1)bn為等差數列,設公差為d,b1=1,S5=15,S5=5+10d=15,d=1.bn=1+(n-1)1=n.設從第3行起,每行的公比都是q,且q0,a9=b4q2,4q2=16,q=2,1+2+3+9=45,故a50是數陣中第10行第5個數,而a50=b10q4=1024=160.(2)Sn=1+2+n=,Tn=+=+=2+=2.8.(1)解:由題意,得a2,a4,a6,a8,成等比數列,且公比q=,所以a2n=a2qn-1=.(2)證明:由an是“J4型”數列,得a1,a5,a9,a13,a17,a21,成等比數列,設公比為t.由an是“J3型”數列,得a1,a4,a7,a10,a13,成等比數列,設公比為1;a2,a5,a8,a11,a14,成等比數列,設公比為2;a3,a6,a9,a12,a15,成等比數列,設公比為3;則=t3,=t3,=t3.所以