我們把S(n)拆成數字排成的直角三角形：12 23 3 34 4 4 4n n n這個三角形第一行數字的和為12，第二行數字和為22，第n行數字和為n2，因此S(n)可以看作這個三角形里所有數字的和接下來我們注意到三角形列上的數字，左起第一列是1,2,3,n，第二列是2,3,4,n這些列的數字和可以用等差數列的前n項和來算出，但是它們共性不明顯，無法加以利用如果求的數字和是1,2,3,n，1,2,3,n-1這樣的，便可以像求1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+n)一樣算出結果，那么該怎樣構造出這樣的列數字呢注意上面那個直角三角三角形空缺的部分，將它補全成一個正方形的話，是這樣的：1 1 1 12 2 2 23 3 3 34 4 4 4n n n n這個正方形所有的數字和為n*(1+n)*n/2=n3/2+n2/2而我們補上的數字是哪些呢？1 1 1 1 (n-1)個的12 2 2 (n-2)個的23 3 (n-3)個的3n-1又一個直角三角形，我們只需算出這個三角形的數字和T(n)，再用剛才算的正方形數字和減去它，便能得到要求的S(n)，即S(n)=n3/2+n2/2-T(n)。而這個三角形的每一列數字和很好算，第一列是1，第二列是1+2，第三列是1+2+3，最后一列（第n-1列）是1+2+3+n-1，根據等差數列前n項和公式，這個三角形第n列的數字和是(1+n)*n/2=n2/2+n/2，所以T(n)相當于(12/2+1/2)+(22/2+2/2)+(32/2+3/2)+(n-1)2/2+(n-1)/2將各個擴號內的第一項和第二項分別相加，得T(n)=12+22+32+(n-1)2/2+(1+2+3+n-1)/2=S(n-1)/2+(n-1)*n/4=S(n-1)/2+n2/4-n/4也就是說，S(n)=n3/2+n2/2-T(n)=n3/2+n2/2-S(n-1)-n2/4+n/4=n3/2+n2/4+n/4-S(n-1)/2 因為S(n)=12+22+32+n2，S(n-1)=12+22+32+(n-1)2可以看出，S(n)=S(n-1)+n2，即S(n-1)=S(n)-n2，代入式，得到S(n)=n3/2+n2/4+n/4-S(n)/2+n2/23S(n)/2=n3/2+3n2/4+n/43S(n)=n3+3n2/2+n/2S(n)=n3/3+3n2/6+n/6上面這個式子就是我們熟悉的S(n)=n(n+1)(2n+1)/6另外一種經典的方法設：S=12+22+32+n2另設：S1=12+22+32+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+(n+n)2，此步設題是解題的關鍵，一般人不會這么去設想。有了此步設題，第一：S1=12+22+32+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+(n+n)2中的12+22+32+n2=S，(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+(n+n)2可以展開為(n2+2n+12)+( n2+22n+22) +( n2+23n+32)+( n2+2nn+n2)=n3+2n(1+2+3+n)+ 12+22+32+n2，即S1=2S+n3+2n(1+2+3+n).(1)第二：S1=12+22+32+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+(n+n)2可以寫為：S1=12+32+52+ (2n-1)2+22+42+62+(2n)2，其中：22+42+62+(2n)2=22(12+22+32+n2)=4S.(2)12+32+52+(2n-1)2=(21-1)2+(22-1)2+(23-1) 2+ (2n-1) 2= (2212-221+1) +(2222-222+1)2+(2232-223+1)2+ (22n2-22n+1)2=2212+2222+2232+22n2-221-222-223-22n+n=22(12+22+32+n2)-22 (1+2+3+n)+n=4S-4(1+2+3+n)+n.(3)由(2)+ (3)得：S1=8S-4(1+2+3+n)+n.(4)由(1)與(4)得：2S+ n3+2n(1+2+3+n) =8S-4(1+2+3+n)+n即：6S= n3+2n(1+2+3+n)+ 4(1+2+3+n)-n= nn2+n(1+n)+2(1+n)-1= n(2n2+3n+1)= n(n+1)(2n+1)S= n(n+1)(2n+1)/ 6亦即：S=12+22+32+n2= n(n+1)(2n+1)/6(5)以上可得各自然數平方和公式為n(n+1)(2n+1)/6，其中n為最后一位自然數。由(5)代入(2)得自然數偶數平方和公式為2n(n+1)(2n+1)/3，其中2n為最后一位自然數。由(5)代入(3)得自然數奇數平方和公式為n(2n-1)(2n+1)/3，其中2n-1為最后一位自然數。由自然數平方和公式推導自然數立方和公式設S=13+23+33+n3.(1)有S=n3+(n-1)3+(n-2)3+13.(2)由(1)+ (2)得：2S=n3+13+(n-1)3+23+(n-2)3+33+n3+13=(n+1)(n2-n+1)+(n+1)(n-1)2-2(n-1)+22)+(n+1)(n-2)2-3(n-2)+32)+.+(n+1)(12-n(n-n+1)(n-n+1+ n2)即2S=( n+1)2(12+22+32+n2)-n-2(n-1) -3(n-2)-n (n-n+1) .(3)由12+22+32+n2=n(n+1)(2n+1)/ 6代入(2)得：2S=(n+1)2n(n+ 1)(2n+1)/6-n-2n-3n-nn+21+32+n(n-1)=(n+1)2n(n+1)(2n+1)/6-n(1+2+3+n)+(1+1)1+(2+1)2+(n-1+1)(n-1)=(n+1)2n(n+1)(2n+1)/6-n2 (1+n)/2+12+1+22+2+(n-1)2+ (n-1)=(n+1)2n(n+1)(2n+1)/6-n2(1+n)/2+12+22+(n-1)2+1 +2+ (n-1) .(4)由12+22+(n-1)2= n(n+1)(2n+1)/6-n 2，1+2+(n-1)=n(n-1)/2代入(4)得：2S=(n+1)3n(n+1)(2n+1)/6-n2+n(n-1)/2=n2(n+1)2/2即S=13+23+33+n3= n2(n+1)2/4結論：自然數的立方和公式為n2(n+1)2/4，其中n為自然數。自然數偶數立方和公式推導設S=23+43+63+(2n)3有S=23(13+23+33+n3)=8n2(n+1)2/4=2n2(n+1) 2結論：自然數偶數的立方和公式為2n2(n+1)2，其中2n為最后一位自然偶數。自然數奇數立方和公式推導設S=13+23+33+(2n) 3由自然數的立方和公式為n2(n+1)2/4，其中n為自然數代入左邊有n2(2n+1)2=23+43+6