重點難點重點 三角函數的圖象與性質 難點 三角函數的單調區間 五點法畫圖 三角函數圖象的平移變換 對稱變換和伸縮變換 三角函數性質的應用 知識歸納1 有向線段 一條與坐標軸平行的線段可以規定兩種相反的方向 若線段的方向與坐標軸的一致 就規定這條線段是正的 否則 就規定它是負的 正向 2 三角函數線設角 的終邊與單位圓交于點p 過p點作pm x軸于m 過點a 1 0 作單位圓的切線 與角 的終邊或終邊的反向延長線相交于點t 則有向線段 分別叫做角 的正弦線 余弦線 正切線 mp om at 5 當函數y asin x a 0 0 x 表示一個振動量時 則a叫做振幅 t 叫做周期 f 叫做頻率 x 叫做相位 叫做初相 7 三角函數的圖象與性質 2 在既有平移變換 又有伸縮變換的三角函數圖象變換問題中 應特別注意先平移再伸縮和先伸縮再平移時平移單位數的區別 2 當a 0 0時 u x 為減函數 故再如 1 的解法 求出單調區間則會導致錯誤 同樣a 0 0時也有類似情況 這時要緊扣復合函數單調性的判定方法進行 余弦 正切函數都有類似情形 一般地 求y asin x 的單調區間時 若 0 先用誘導公式化x的系數為正 然后利用復合函數判單調性的方法 解關于 x 的一個不等式即可求得 一 數形結合 方法在三角函數的圖象和性質中 數形結合思想的運用主要體現在用三角函數的圖象和單位圓中的三角函數線解相關問題 如求函數的定義域 解三角不等式等 總結評述 用單位圓中的三角函數線處理三角函數相關問題 直觀 簡捷 準確 避免了復雜的字母討論 單位圓是三角函數中的一個重要工具 三角函數的很多知識都能通過單位圓來理解 記憶 溝通 復習中應注意單位圓對知識的整合作用 二 解題技巧 一 五點法求函數y asin x 的解析式 例2 若函數f x sin x 的部分圖象如下圖所示 則 和 的取值是 答案 c 二 三角函數的圖象變換技巧1 平移變換與坐標軸同向為正 反向為負 向右x取正 向左x取負 向上y取正 向下y取負 如y f x 圖象上各點向左平移3個單位后再向上平移2個單位 則只須用x 3 代替x y 2代替y即可得 y 2 f x 3 即y f x 3 2 2 伸縮變換將y f x 圖象上各點的橫 或縱 坐標伸長 或縮短 到原來的m倍 則用代替x 或代替y 即可 推證從略 三 注意弦函數的有界性 四 在含sinx cosx與sinx cosx的關系式中 常作換元sinx cosx t化為代數問題解決 六 直線y a與函數y tanx的圖象交點中任兩點距離的最小值為周期 函數y sinx y cosx 相鄰兩個最大 小 值點之間距離為周期 與x軸相鄰兩交點之間距離為半周期 解析 答案 c點評 要特別注意 一 由哪個函數變換為哪個函數 二 先平移和先伸縮平移單位數的差別 答案 c 2010 山東臨沂 已知函數f x asin x a 0 0 0 的部分圖象如圖所示 則其導函數f x 的解析式為 答案 b 圖象如圖 點評 對于 1 要注意根據0 x 4去適當選擇整數k的取值 對于 2 運用三角函數圖象也可以 但出現多種三角函數時 還是用單位圓中的三角函數線為宜 分析 三角函數屬于初等函數 因而前面學過的求函數值域的一般方法 也適用于三角函數 但涉及正弦 余弦函數的值域時 應注意正弦 余弦函數的有界性 即 sinx 1 cosx 1 對值域的影響 點評 求三角函數值域常用的方法 1 將所給的三角函數轉化為二次函數 通過配方法求值域 例如轉化成y asin2x bsinx c型的值域問題 2 化為一角一函形式求 3 利用sinx cosx的有界性求值域 4 換元法 利用換元法求三角函數的值域 要注意換元前后的等價性 不能只進行換元 不注意其等價性 5 數形結合 答案 c 分析 弦函數的任意兩條相鄰對稱軸之間的距離為半個周期 只要將f x 化為y asin x 的形式即可獲解 答案 d 答案 b點評 考查三角函數的周期 而又不提周期 題目難度不大 卻能考查學生的思維能力 應加強這種小題訓練 答案 c 答案 b 2010 湖南文 已知函數f x sin2x 2sin2x 1 求函數f x 的最小正周期 2 求函數f x 的最大值及f x 取最大值