2012-2013學年江蘇省南京市板橋中學高一（下）期中數學試卷參考答案與試題解析一、填空題：每小題3分1（3分）不等式x2x20的整數解共有4個考點：一元二次不等式的解法專題：計算題分析：先求出一元二次不等式的解集，再求出解集中的整數解解答：解：x2x20即為（x2）（x+1）0所以1x2所以整數解有1，0，1，2共有4個故答案為：4點評：解一元二次不等式時先求出相應的一元二次方程的根，再寫出二次不等式的解集2（3分）若集合a=x|x210，集合b=x|x0，則ab=（0，1）考點：交集及其運算專題：計算題分析：先根據一元二次不等式的解法求出集合a，然后根據交集的定義求出ab即可解答：解：a=x|x210=x|1x1b=x|x0，ab=（0，1）故答案為：（0，1）點評：本題主要考查一元二次不等式的解法，以及求兩個集合的交集的方法，屬于基礎題3（3分）在abc中，如果a：b：c=3：2：4，那么cosc=考點：余弦定理的應用專題：計算題分析：可設三邊分別為3k，2k，4k，由余弦定理可得16k2=9k2+4k212k2cosc，解方程求得cosc的值解答：解：a：b：c=3：2：4，故可設三邊分別為 3k，2k，4k，由余弦定理可得16k2=9k2+4k212k2cosc，解得cosc=，故答案為點評：本題考查余弦定理的應用，設出三邊的長分別為 3k，2k，4k，是解題的關鍵4（3分）在等差數列an中，當a2+a9=2時，它的前10項和s10=10考點：等差數列的性質專題：計算題分析：根據所給的數列的兩項之和，做出第一項和第十項的和，把它代入求數列的前10項和的公式，得到結果解答：解：a2+a9=2a1+a10=2，s10=10故答案為：10點評：本題考查數列的性質，本題解題的關鍵是看出數列的前10項和要用的兩項之和的結果，本題是一個基礎題5（3分）在abc中，a，b，c所對的邊分別是a，b，c，已知，則abc的形狀是直角三角形考點：三角形的形狀判斷；正弦定理專題：計算題分析：由a的度數，a與b的值，利用正弦定理求出sinb的值，由b的范圍，利用特殊角的三角函數值求出b的度數，由a和b的度數，由三角形的內角和定理求出c的度數，得到c為直角，故三角形abc為直角三角形解答：解：由，根據正弦定理=得：sinb=，由b為三角形的內角，得到b=或，當b=，a=，a+b=，與三角形的內角和定理矛盾，舍去，b=，a=，則c=，即abc的形狀是直角三角形故答案為：直角三角形點評：此題考查了正弦定理，以及三角形形狀的判斷，熟練掌握正弦定理是解本題的關鍵，同時在求角b時注意利用三角形的內角和定理檢驗，得到滿足題意的b的度數6（3分）若abc的內角a，b，c的對邊分別為a，b，c，且a，b，c成等比數列，c=2a，則cosb的值為考點：余弦定理專題：計算題分析：由a，b，c，且a，b，c成等比數列且c=2a可得，b=，c=2a，結合余弦定理可求解答：解：a，b，c，且a，b，c成等比數列且c=2ab2=ac=2a2，b=，c=2a=故答案為：點評：本題主要考查了等比中項的定義的應用，余弦定理在解三角形中的應用，屬于基礎試題7（3分）（2012長春模擬）若等差數列an的前5項和s5=25，且a2=3，則a7=13考點：等差數列的性質專題：計算題分析：根據等差數列的求和公式和通項公式分別表示出s5和a2，聯立方程求得d和a1，最后根據等差數列的通項公式求得答案解答：解：依題意可得，d=2，a1=1a7=1+62=13故答案為：13點評：本題主要考查了等差數列的性質考查了學生對等差數列基礎知識的綜合運用8（3分）（2011上海）若sn為等比數列an的前n項的和，8a2+a5=0，則=7考點：等比數列的性質專題：計算題分析：根據已知的等式變形，利用等比數列的性質求出q3的值，然后分別根據等比數列的通項公式及前n項和公式，即可求出結果解答：解：由8a2+a5=0，得到 =q3=8=7故答案為：7點評：此題考查學生掌握等比數列的性質，靈活運用等比數列的通項公式及前n項和公式化簡求值，是一道基礎題9（3分）在等比數列an中，若a2=2，a6=32，則a4=8考點：等比數列的性質專題：計算題分析：根據所給的等比數列的兩項和等比中項的公式，求出a4的平方，根據條件中所給的三項都是偶數項，端點第四項是一個正數，得到結果解答：解：等比數列an中，a2=2，a6=32，a42=a2a6=232=64a4=8a4與a2，a6的符號相同，a4=8故答案為：8點評：本題考查等比數列的性質，本題解題的關鍵是判斷出第四項的符號與第二項和第六項的符號相同，本題是一個基礎題10（3分）在abc中，a=5，b=8，c=7，則的值為20考點：平面向量數量積的運算專題：計算題；平面向量及應用分析：由余弦定理及已知條件三角形三邊長，可求出c角的余弦值，進而代入向量數量積公式，可得答案解答：解：abc中，a=5，b=8，c=7，cosc=c（0，），c=因此，=abcos（c）=58cos=20故答案為：20點評：本題考查的知識點是平面向量的數量積的運算，余弦定理，其中由余弦定理求出c角的余弦值是解答的關鍵11（3分）已知等比數列an滿足an0，n=l，2，且a5a2n5=22n（n3），則當n3時，log2a1+log2a2+log2a3+log2a2n1=2n2n考點：等比數列的性質；對數的運算性質專題：計算題分析：先根據等比數列的性質化簡已知的等式，由an0，開方即可求出an的值，然后把所求的式子先利用對數的運算性質化簡，再把項數之和為2n的兩項結合，利用等比數列的性質化簡，進而把求出的an的值代入后，再利用對數的運算法則計算即可求出值解答：解：由a5a2n5=an2=22n，且an0，解得an=2n，則log2a1+log2a2+log2a3+log2a2n1=2n2n故答案為：2n2n點評：此題考查了等比數列的性質，以及對數的運算法則熟練運用等比數列的性質與對數的運算法則是解本題的關鍵12（3分）在abc中，a，b，c所對的邊分別是a，b，c，若，且，則c=15或105考點：余弦定理專題：計算題分析：根據余弦定理表示出cosa，把已知的等式代入化簡后得到cosa的值，由a的范圍，利用特殊角的三角函數值求出a的度數，進而求出sina的值，又b比a的值，利用正弦定理得到sinb與sina的比值，進而求出sinb的值，由b的范圍，利用特殊角的三角函數值求出b的度數，再根據三角形的內角和定理求出c的度數解答：解：因為，所以根據余弦定理得：cosa=，由a（0，180），得到a=30，則sina=，又，根據正弦定理得：=，即sinb=sina=，由b（0，180），得到b=45或135，則c=15或105故答案為：15或105點評：此題的突破點是利用余弦定理表示出cosa，把已知的等式代入求出cosa的值本題的答案有兩解，產生兩解的原因是在（0，180）范圍內正弦值對應兩個角，學生做題時容易遺漏解13（3分）設an是正項數列，它的前n項和sn滿足：4sn=（an1）（an+3），則a1005=2011考點：數列遞推式專題：計算題分析：把數列仿寫一個，兩式相減，合并同類型，用平方差分解因式，約分后得到數列相鄰兩項之差為定值，得到數列是等差數列，公差為2，取n=1代入4sn=（an1）（an+3）得到首項的值，寫出通項公式從而得到a1005解答：解：4sn=（an1）（an+3），4sn1=（an11）（an1+3），兩式相減得整理得：2an+2an1=an2an12，an是正項數列，anan1=2，4sn=（an1）（an+3），令n=1得a1=3，an=2n+1，a1005=21005+1=2011故答案為：2011點評：本題考查數列的遞推式，解題時要注意數列通項公式的求解方法，合理地進行等價轉化14（3分）若正實數x，y滿足x+y=1，且則當t取最大值時x的值為考點：基本不等式在最值問題中的應用專題：計算題分析：結合已知條件可得，=，利用基本不等式可求式子的最大值，以及取得最大值時條件，從而可得x的值解答：解：正實數x，y滿足x+y=1，=32=2，（當且僅當 ，即 y=時取等號）x=1y=故答案為點評：本題主要考查了利用基本不等式求最值，在利用基本不等式求解最值時要注意檢驗等號成立的條件是否具備二、解答題：（第15題8分，16-20題每題10分）15（8分）（2010長寧區二模）設函數f（x）=ax2+（b2）x+3（a0），若不等式f（x）0的解集為（1，3）（1）求a，b的值；（2）若函數f（x）在xm，1上的最小值為1，求實數m的值考點：一元二次不等式的應用；函數單調性的性質分析：由不等式f（x）0的解集為（1，3）知：1，3是方程f（x）=0的兩根，由韋達定理便可解得a，b的值由第（1）問求得f（x）的解析式，得知f（x）的開口方向以及對稱軸，判斷出f（x）在m，1上的單調性，然后由最小值等于1列方程，解得m的值解答：解：（1）由條件得解得：a=1，b=4（2）f（x）=x2+2x+3函數開口方向向下，對稱軸方程為x=1，f（x）在xm，1上單調遞增，x=m時f（x）min=m2+2m+3=1解得，點評：考查一元二次不等式的解法，以及一元二次函數的單調性16（10分）已知（1）求tan（+），tan（）；（2）求+的值（其中090，90180）考點：兩角和與差的正切函數專題：三角函數的求值分析：（1）所求式子利用兩角和與差的正切函數公式化簡后，將各自的值代入計算即可求出值；（2）由與的范圍求出+的范圍，根據tan（+）的值，利用特殊角的三角函數值即可求出+的度數解答：解：（1）tan=，tan=2，tan（+）=1，tan（）=7；（2）090，90180，90+270，tan（+）=1，+=135點評：此題考查了兩角和與差的正切函數公式，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握公式是解本題的關鍵17（10分）（2010陜西）在abc中，已知b=45，d是bc邊上的一點，ad=10，ac=14，dc=6，求ab的長考點：余弦定理；正弦定理分析：先根據余弦定理求出adc的值，即可得到adb的值，最后根據正弦定理可得答案解答：解：在adc中，ad=10，ac=14，dc=6，由余弦定理得cosadc=，adc=120，adb=60在abd中，ad=10，b=45，adb=60，由正弦定理得，ab=點評：本題主要考查余弦定理和正弦定理的應用屬基礎題18（10分）等差數列an中，a4=10且a3，a6，a10成等比數列，（1）求數列an的通項公式； （2）求前20項的和s20考點：數列的求和；等比數列的性質專題：計算題；等差數列與等比數列分析：由題意可得，即，把已知代入可求d，進而可求an（2）由等差數列的求和公式可求解答：解：由題意可得，（10+2d）2=（10d）（10+6d）解可得，d=1an=a4+（n4）d=n+6，（5分）（2）由等差數列的求和公式可得，=330，（5分）點評：本題主要考查了等比數列的性質及等差數列的通項公式及求和公式的簡單應用，屬于基礎試題19（10分）某房地產開發商投資81萬元建一座寫字樓，第一年裝修費為1萬元，以后每年增加2萬元，把寫字樓出租，每年收入租金30萬元，若扣除投資和裝修費，則從第幾年開始獲取純利潤？考點：數列的應用；等差數列的前n項和專題：應用題分析：設第n年獲取利潤為y萬元，n年共收入租金30n萬元付出裝修費共，付出投資81萬元，由此可知利潤y=30n（81+n2），由y0能求出從第幾年開始獲取純利潤解答：解：設第n年獲取利潤為y萬元n年共收入租金30n萬元，付出裝修費構成一個以1為首項，2為公差的等差數列，共（2分）因此利潤y=30n（81+n2），令y0（3分）解得：3n27，（4分）所以從第4年開始獲取純利潤（5分）點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答20（10分）（2010海淀區二模）在abc內，a，b，c分別為角a，b，c所對的邊，a，b，c成等差數列，且a=2c（1）求cosa的值；（2）若，求b的值考點：余弦定理的應用；等差數列