第三章 剛體力學基礎思考題3-1 一個繞定軸轉動著的剛體有非零的角速度和角加速度。剛體中的質點A 離轉軸的距離是質點B的兩倍，對質點A和質點B，以下各量的比值是多少？（1）角速率；（2）線速率；（3）角加速度的大小；（4）加速度的切向分量；（5）加速度的法向分量；（6）加速度的大小。3-2 以下說法是否正確？并加以分析：（1）一個確定的剛體有確定的轉動慣量。（2）定軸轉動的剛體，當角速度大時，作用的力矩也大。（3）使一根均勻的鐵棍保持水平，如握住棍子的中點要比握住它的一端容易。（4）一個有固定軸的剛體，受到兩個力的作用。當這兩個力的合力為零時，它們對軸的合力矩也一定為零；當這兩個力對軸的合力矩為零時，它們的合力也一定為零。3-3 指出下弄表達式哪些是正確的，哪些是錯誤的，并說明理由。EK、EP、J、分別表示繞定軸轉動剛體的動能、重力勢能、轉動慣量、角動量。式中：M為剛體的質量， 為質心速度，hc 為質心距零勢能面的高度，rc 為質心到轉軸的距離。3-4 已知銀河系中有一天體是均勻球體，現在半徑為R，繞對稱軸自轉的周期為T，由于引力凝聚，它的體積不斷收縮。假定一萬年后它的半徑縮小為r ，試問一萬年后此天體繞對稱軸自轉的周期比現在大還是小？它的動能是增加還是減少？3-5 一圓形平臺，可繞中心軸無摩擦地轉動，有一輛玩具汽車相對臺面由靜止啟動，繞軸做圓周運動，問平臺如何運動？當小車突然剎車，平臺又如何運動？運動過程中小車平臺系統的機械能、動量和角動量是否守恒？習題解答3-1 一汽車發動機曲軸的車速在12s內由每分鐘1200轉均勻地增加到每分鐘2700轉，求：（1）角加速度；（2）在此時間內，曲軸轉了多少轉？3-2 某機器上的飛輪運動學方程程為：q=at+bt2-ct3，求t時刻的角速度和角加速度。3-3 在邊長為a的正六邊形的頂點上，分別固定六個質點，每個質量都為m，設這正六邊形放在XOY平面內，如圖所示，求：（1）對OX、OY、OZ軸的轉動慣量；（2）對通過中心C且平行于OY、OZ的兩軸CY、CZ的轉動慣量。 3-4 如本題圖所示，有一實驗用擺，勻質細桿的長l =0.92m，質量m=0.5kg，勻質圓盤的半徑r =0.08m，質量為M=2.50kg。求對過懸點O且垂直擺面的軸的轉動慣量。3-5 圖中是一塊質量為M且均勻的長方形薄板，邊長為a、b，中心O取為原點，坐標系OXYZ如圖所示。（1）證明板對OX軸和OY軸的轉動慣量分另為：，。（2）求薄板對OZ軸的轉動慣量。（1）證明：在長方形薄板上取一平行于X軸的橫條形質元，它到轉軸OX的距離為y，長度為a，高度為dy，該質元的質量為同理，可以長方形薄板上取一平行于Y軸的豎條形質元，到轉軸OY的距離為x，高度為b，寬度為dx，該質元的質量為（2）根據垂直軸定理， 3-6 在如圖所示的裝置中，物體的質量m1、m2，定滑輪的M1、M2，半徑R1、R2都已知，且m1m2。設繩子長度不變，質量不計，繩子與滑輪間不打滑，而滑輪則質量均勻分布，其轉動慣量可按均勻圓盤計算，滑輪軸承處光滑無摩擦阻力，試求出物體m2的加速度和繩的張力T1、T2、T3。解：m1和m2的加速度數值相等，方向相反。分別對m1和m2應用牛頓第二定律，有：兩滑輪的轉動慣量分別為 和 ，其角速度分別為和。對兩滑輪分別應用轉動定律，有：聯立以上四式，解得：3-7 如圖所示，已知定滑輪半徑為R，轉動慣量為J。彈簧的勁度系數為k。問質量為m的物體下落h時的速率是多大？設開始時物體靜止且彈簧無伸長。解：取彈簧，重物，滑輪及地球為一系統，彈簧右端受力及滑輪軸的力均不作功，故系統機械能守恒。取各物開始位置為對應勢能零點。有：又，代入得:3-8 質量為m1和m2的兩物體分別懸掛在如本題圖所示的組合輪兩端。設兩輪的半徑分另為R與r，兩輪的轉動慣量分別為J1和J2，輪與繩間無滑動，軸承間的摩擦略去不計，繩的質量也略去不計。試求兩物體的加速度和繩的張力。 解：m1, m2 及定滑輪切向受力如圖，設滑輪順時間方向轉動為正方向。取m1向下運動方向為坐標正向。(1)(2)(3)又：(4)(5)共有5式，求解5個變量。(4)式分別代入(1)、(2)式，得：，代入(3)式，得：然后求得：教材p264提供的答案中，分母有一個印刷錯誤3-9 如本題圖所示，飛輪的質量為60kg，直徑為0.50m，轉速為每分鐘1000轉。現用閘瓦制動使其在5s內轉動，求制動力。設閘瓦與飛輪之間的動摩擦系數m =0.4，并設飛輪的質量全部分布在輪緣上。解：受力分析：制動力F作用于制動桿右端，則由杠桿原理，閘瓦作用于飛輪上的力為。閘瓦與飛輪之間的動摩擦力使飛輪停止轉動。則有。取飛輪順時鐘轉動方向為正。摩擦力的力矩為，是恒力矩。做功 見教材p85又由轉動定理得：飛輪視作細圓環，。用運動學方程求解：代入數據得：代入數據，得：3-10 質量為0.50kg，長為0.40m的均勻細棒，可繞垂直于棒的一端的水平軸轉動。如將此棒放在水平位置，然后任其落下，求：（1）在開始轉動時的角加速度；（2）下落到鉛直位置時的動能；（3）下落到鉛直位置時的角速度和角加速度。解：（1）轉動慣量，合外力矩（2）由動能定理，只有重力做功，。（3）角速度此時外力矩為，角加速度3-11 一輕繩繞于半徑r =0.2m的飛輪緣，現在恒力F =98N拉繩的端，使飛輪由殂止開始加速轉動，如圖(a)所示。已知飛輪的轉動慣量J=0.5kgm2，飛輪與軸承之間的摩擦不計。求：（1）飛輪的角加速度；（2）繩子拉下5m時飛輪獲得的動能；（3）如以重量P =98N的物體m掛在繩端，如圖(b)所示，試再計算飛輪的角加速度和繩子拉下5m時飛輪獲得的動能。 解：（1）由轉動定律，得（2）由動能定理得：（3）設物體向下加速度為a ，對滑輪應用轉動定律， 且 ，得：對滑輪，由轉動動能定理得：對物體，則動能定理得：，且3-12 長l=0.4m的均勻木棒，質量M=1.0kg，可繞水平軸O在鉛垂面內轉動。開始時，棒自然地懸垂。現有m=8g的子彈，以v=2000ms-1的速率沿水平方向從A點射入棒中（見圖）。假定A點與O點的距離為，求：（1）棒開始轉動時的角速度；（2）棒的最大偏轉角。解：把子彈和桿作為一個系統, 碰撞中分兩個階段：子彈射入棒內，子彈和棒一起轉動。（1）子彈入射瞬間，沒有使棒擺動（無重力矩），則系統所受外力矩為零, 角動量守恒 結果計算不正確！ 答案是8.88rad/s（2）在轉動過程中機械能守恒。設最大偏轉角為a，取豎直棒最低為零勢能點，則有：代入數值解得： 需要代入數據進行計算！3-13 一質量為1.12kg、長為1.0m的均勻細棒，支點在棒的上端點，開始時棒垂直懸掛。現在100N的力沿水平方向打擊它的下端點，打擊時間為1/50s，試求：（1）棒所獲得的角動量；（2）棒的最大偏轉角。解：（1）在打擊過程中，由角動量定理，有：又：，得：（2）方法一以棒為研究對象。在轉動過程中，只有重力力矩做功。根據剛體定軸轉動的動能定理，有：又 計算結果為72.56度。結果是88度38分。結果不正確！方法二以棒和地球為研究對象。在轉動過程中，只有作為內力的重力力矩做功。機械能守恒。而 ， 結果未計算。3-14 一水平圓盤繞鉛直軸旋轉，角速度為w1，它對此軸的轉動慣量為J1。現在其上有一轉動方向相同，并以角速度w2轉動的圓盤，這圓盤對此軸的轉動慣量為J2，兩圓盤的平面平行，圓心同在一鉛直線上，上盤的底面有銷釘，如使上盤落下，銷釘嵌入下盤，使兩盤合成一體。（1）求兩盤合成一體后系統的角速度w ；（2）上圓盤落下后，兩盤的總動能改變了多少？（3）兩圓盤總動能的改變應怎樣解釋？解：以兩個盤作為研究系統。則在此過程中系統不受外力矩的作用，故角動量守恒。（2）（3）兩盤之間摩擦力做負功，總動能減少。3-15 質量為200kg的圓盤狀平臺可以繞通過圓盤中心的豎直軸自由轉動。在平臺邊緣處站著一個質量為50kg的人，平臺和人一起以1.24 rads-1的角速度轉動。當人從平臺邊緣走到臺中心時，平臺的角速度為多少？解：以平臺和人為研究系統。在此過程中系統合外力矩為零，系統的角動量守恒。，其中3-16 一質量為M、半徑為R的均勻圓盤，通過其中心且與盤面垂直的水平軸以角速度w 轉動。若在某時刻，一質量為m的小塊從盤邊緣裂