_特殊分塊矩陣的逆與秩朱利文，數學計算機科學學院摘要：矩陣的逆和秩是矩陣的一個重要不變量,在矩陣中起著基本的作用。不論在理論上還是在實踐中，矩陣的逆和秩都是一種強有力的工具。深入掌握矩陣的逆和秩可以更好地將其應用到實踐中。本文利用分塊矩陣的特性，研究了幾個特殊分塊矩陣的逆和秩。關鍵詞：矩陣的逆和秩是矩陣的一個重要不變量,在矩陣中起著基本的作用。不論在理論上還是在實踐中，矩陣的逆和秩都是一種強有力的工具。深入掌握矩陣的逆和秩可以更好地將其應用到實踐中。本文利用分塊矩陣的特性，研究了幾個特殊分塊矩陣的逆和秩。Special Inverse and Rank of Block MatrixZhu Liwen, School of Mathematics and Computer ScienceAbstract: The inverse matrix and rank is an important invariant matrix. The inverse matrix and rank is an important invariant matrix Whether in theory or in practice, The inverse matrix and rank is a powerful tool. Deep knowledge of the inverse matrix and rank can be better applied to practice . In this paper, the characteristics of block matrix.On the research of some special block matrix inverse and rank.Key words: Partitioned matrix; Inverse matrix; Rank correlation引言分塊矩陣是線性代數中一個很重要的工具，研究許多問題都要用到它。分塊之后使矩陣之間或矩陣內部之間的關系變的更清楚。本文就分塊矩陣在證明相關矩陣秩及求矩陣的逆兩個方面做了一些研究。每個部分給了一些定理和例題，通過這些可以看出分塊矩陣在處理問題上的簡便性和靈活性。1.分塊矩陣的概念 定義1.1矩陣分塊是在處理級數較高的的矩陣時常用的方法。有時候，我們把一個大矩陣看成是由一些小矩陣組成的，就如矩陣是由數組成的一樣。特別在運算中，把這些小矩陣當作數一樣處理。就是所謂矩陣的分塊。2.常用的分塊方法2.1按行按列分塊 設是矩陣，是矩陣。將按列分塊寫成則。還可以把按列分塊寫成，再把按行分塊寫成, 則2.2找零塊例如可分塊為 可表示為型2.3找相同塊 例如 可分塊為可表示為型.2.4找單位塊 例如可分塊為可表示為型（這里的表示階單位陣,本文中的I都表示單位陣）.化為分塊上（下）三角陣例如可分塊為 可表示為型.2.5化為分塊對角陣例如可分塊為 可表示為型.在具體的運算中，我們要根據運算靈活地分塊，上述方法只是比較常用，我們可以靈活地運用，宗旨是使運算變得更加簡便此外，我們在矩陣加法和乘法的運算中，分塊矩陣的維數必須加以限制，以使所定義的運算能夠進行我們稱任何滿足上面這種限制的矩陣分塊關于所討論的運算是相容的對于加法，相容要求兩個矩陣按同樣的方式分塊；而對于乘法，在矩陣與矩陣相乘時，對的一個分塊方式，可以有幾種分塊方式與之相容，這時便要考慮哪種分塊方式使運算更加簡便例如： ？.解：我們可以把分塊為 而這時若只考慮乘法的相容性，可以分塊為，或但是我們可以看到第一種分法中有單位塊，對于乘法運算顯然更簡便.例 ,=在計算時，把,都看成是由這些小矩陣組成的，即按2級矩陣來運算.于是其中，因此 3.分塊矩陣與逆定義3.1 n階方陣可逆，如果有n階方陣，使，這里的是n階單位陣 而我們將要研究的分塊矩陣的求逆，只不過是先將矩陣分塊，然后再求逆例如分塊矩陣的可逆性存在條件和求逆公式及其應用首先我們從最簡單的22分塊矩陣開始研究,如何求22分塊矩陣的逆,用初等變換的方法,這是一個很好解決的問題.而我們重點研究一下這種類型的分塊矩陣可逆性的存在條件及其普遍適用的求逆公式.設,A為n階矩陣,B與C分別為nm和mn矩陣,D為m階矩陣.定理1.若A矩陣是可逆的,則M矩陣可逆當且僅當可逆.這時證明: 由 = 故存在. 由 即 由可逆,可知存在.=, 故 存在. 定理2.若D可逆,則M可逆可逆,這時證明方法同定理1,在此略去證明過程.在此,我們還可以得出推論:推論1:若B可逆,則M可逆可逆.推論2:若C可逆,則M可逆可逆.通過以上的討論,我們只要知道某一塊可逆,運用定理及其推論就可以判斷出M是否可逆,如果可逆,我們就可以運用相應的求逆公式求出.我們在實際應用時,如果一個階數較大的矩陣,找不到特殊的塊(如零塊,單位塊,相同塊等),或者不能化為特殊型(如分塊對角陣,分塊上(下)三角陣等),那么求它的逆運用分塊的方法優勢也就不明顯了.而以上所研究的求逆條件和求逆公式的實用價值也就大打折扣.而我們在實際計算當中,最常遇到的便是矩陣中含有零塊的情況,下面我們來研究一下22分塊矩陣中含有零塊時,它的可逆性存在條件及其可逆公式是什么形式的.1.分塊矩陣中含有3個零塊,即 、 、 、這種情況下,分塊矩陣是不可逆的.以第一種情況為例若A可逆,而=0,是不可逆的, M= 不可逆(若A不可逆,那么M就更不可逆了).2. 分塊矩陣中有兩個零塊. 分塊矩陣的兩個零塊在同一行或同一列,即和,則這種分塊矩陣不可逆. 由定理1可知,在中若存在, =0不可逆.M不可逆. 由推論1可知,在中若存在, =0不可逆.M不可逆.分塊矩陣的兩個零塊不在同一行或同一列,即和, 由定理1可知,在中若存在, =D,只有當D可逆時,M才可逆.代入求逆公式得 ,反過來,若D可逆,也只有A可逆時,M才可逆. 同前面的一樣.由推論1可知,在中若存在, =C,只有當C可逆時,M才可逆, 此時 .可以用下面的方法求出上面的,設=,則 =.3. 分塊矩陣中只有一個零塊 .分塊矩陣的零塊在主對角線上,即和.由定理1可知,在中若存在,只有 可逆,M才可逆而= 只有當 、同時存在時,M才可逆.若A不可逆,則令=,=,=,如果要使存在,那么,一定存在. 可用同樣的方法討論.總結: 這種類型的分塊矩陣,無論A(D)是否可逆,只有B、C同時可逆時,M才可逆. 分塊矩陣的零塊不在主對角線上,即和對于,可以直接應用定理1判斷是否可逆,然后直接代入求逆公式即只有當A 、D同時可逆時,M可逆.此時= 對于,同樣應用定理2可得只有當AD同時可逆時,M可逆.此時, = .通過以上的討論,我們不難發現,如果分塊矩陣中含有零塊,那么判斷其可逆性存在條件以及求逆公式都會相應地簡單很多.因此,我們在對階數較大的矩陣分塊時應注意零塊.下面我們來看一些典型的應用分塊矩陣法來求逆的例子,看看是如何分塊,如何應用公式及推論的.例1：設，其中與均可逆則.上述結果可以利用公式直接求得.例2：設A,B均為階可逆方陣.則級方陣可逆，求.證明:由A.B可逆,則A的行列式B的行列式不為0，故D可逆.設則有依據矩陣相等的定義有 故.用同樣的方法，可得如下結論：設A.B均可逆，則1、設,;2、設,例8 設是一個四分塊方陣,其中為r階方陣, 為階方陣,當與(-)都是可逆矩陣時,則是可逆矩陣,且,特別地，當=， =，B與C都可逆時，有；當A=0，D0時，B與C都可逆時，有.例9:設是一個四分塊方陣,其中A為r階方陣,D為k階方陣,當與(-)都是可逆矩陣時,則Q是可逆矩陣,且，特別地，(1)當B=0,C=0,A與D都可逆，有；(2)當C=0,B0,A與D都可逆時，有;當B=0,C0,A與D都可逆時有.4.分塊矩陣與秩定義4.1 在mn矩陣A中，任意決定k行和k列 (1kminm,n) 交叉點上的元素構成A的一個k階子矩陣，此子矩陣的行列式，稱為A的一個k階子式. 例如，在階梯形矩陣 中，選定1，3行和3，4列，它們交叉點上的元素所組成的2階子矩陣的行列式 ,就是矩陣A的一個2階子式. 定義4.2.的不為零的子式的最大階數稱為矩陣A 的秩，記作，或. 特別規定零矩陣的秩為零.顯然min(m,n) 易得： 若A中至少有一個r階子式不等于零,且在rmin(m,n)時,A中所有的r+1階子式全為零,則A的秩為r. 由定義直接可得n階可逆矩陣的秩為n,通常又將可逆矩陣稱為滿秩矩陣, det(A) 0;不滿秩矩陣就是奇異矩陣,det(A)=0. 由行列式的性質1(1.54)知,矩陣A的轉置AT的秩與A的秩是一樣的。 例1. 計算下面矩陣的秩， 而的所有的三階子式，或有一行為零；或有兩行成比例，因而所 有的三階子式全為零，所以r(A)。定義2. 的不為零的子式的最大階數稱為矩陣A 的秩,記作r(A),或rank(A). 特別規定零矩陣的秩為零. 顯然min(m,n) 易得： 若A中至少有一個r階子式不等于零，且在rmin(m,n)時，A中所有的r+1階子式全為零，則A的秩為r. 由定義直接可得n階可逆矩陣的秩為n,通常又將可逆矩陣稱為滿秩矩陣, det(A) 0；不滿秩矩陣就是奇異矩陣,det(A)=0. 由行列式的性質知,矩陣A的轉置的秩與A的秩是一樣的. 例1. 計算下面矩陣的秩，而的所有的三階子式,或有一行為零；或有兩行成比例,因而所 有的三階子式全為零,所以r(A). 引理 1矩陣乘積的秩不大于每一個因子的秩;兩個矩陣中又一個是可逆矩陣時，它們乘積的秩等于另一個因子的秩.引理 2 .引理 3 特別有事實上，我們有,再利用引理1.引理4 在一個分塊矩陣中，若把每個塊看成一個元素,則進行通常的初等變換扔不改變矩陣的秩.例如,對的第二行乘-1加到第一行便得,從而有= 定理 1 設矩陣，則證明：因為,于是引理2.1及4，得從而有推論 1. 設矩陣，則.證明：根據定理1，由 定理2 設，且,則.證明：由于,故有,于是由引理2.1及4得推論2 設是n階方陣，且,則.證明：由,則,故有定理2，另一方面由定理1得從而有=n.例2 設且證明 .證明：法1設,則由可知為方程的解,設為方程的基礎解系,由齊次線性方程解的性質可知,向量組可由向量組線性表示,固有上面結果,即.法2 設A為mn矩陣，B為nl矩陣，若AB=0,則r(A)+r(B)n.證明 因為r(A) + r(B) = =n,所以r(A)+r(B)n. 參考文獻：1 王萼芳,石生明.高等代數M.北京:高等教育出版社,1987.2 樊惲,劉宏偉.線性代數與解析幾何教程M.武漢:科學出版社,2008.3 丘森.高等代數M.武漢:武漢大學出版社,2012.4 宋光艾.高等代數J.北京:清華大學出版社,2012.5 陳光大.高等代數M. 武漢:華中科技大學出版社, 2006.6 陳建龍.線性代數J.北京：科學出版社，2007.7 田原,沈亦一.線性代數J.上海：華東理工大學出版社2007.致謝語： 首先感謝我的指導老師梁峰悉心、認真的指導.在我畢業論文的選題、寫作、修改、完善過程中，指導教師梁峰給予了耐心指導、認真幫助，特別是梁老師一絲不茍，認真負責的工