第5章 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性與快速性,5.1 穩(wěn)定性和快速性的基本概念 5.2 Routh-Hurwitz判據 5.3 Nyquist穩(wěn)定性判據 5.4 Bode圖上的穩(wěn)定性判據 5.7 穩(wěn)定裕度,5.1 穩(wěn)定性和快速性的基本概念,穩(wěn)定指控制系統(tǒng)在外作用力消失后能夠自動恢復原有平衡狀態(tài)或自動地趨向于另一個新的穩(wěn)定平衡狀態(tài)的能力。 如果系統(tǒng)不能恢復穩(wěn)定狀態(tài)，則認為系統(tǒng)不穩(wěn)定。,單擺系統(tǒng)穩(wěn)定,倒擺系統(tǒng)不穩(wěn)定,The concept of stability,The balance of a pendulum,A necessary and sufficient condition for a feedback system to be stable is that all the poles of the system transfer function have negative real parts.(閉環(huán)特征方程式的根須都位于S的左半平面 ),The balance of a small ball,設線性控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數為,閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為,特征方程式的根就是系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數的極點。,系統(tǒng)穩(wěn)定，則閉環(huán)系統(tǒng)的極點全部分布在s平面的左半平面； 系統(tǒng)不穩(wěn)定，至少有一個極點分布在s平面的右半平面； 系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，在s平面上的右半平面無極點，至少有一個極點在虛軸上。,5.2 Routh-Hurwitz判據,Routh-Hurwitz（勞斯胡爾維茨）判據亦稱代數判據產生的根源： (1) 求解特征方程式的根非常困難； (2) 計算工作量相當大。 (3) 避免直接求解特征方程的根， (4) 只討論特征方程根的分布; (5) 觀測根的分布是否在s平面的左半平面。 產生了一系列的穩(wěn)定性判據。 最主要的一個判據是1884年由E.J.Routh（勞斯）提出的判據，稱為Routh判據； 1895年，A.Hurwitz（胡爾維茨）提出了用特征方程系數來判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法，稱之為Hurwitz判據。,5.2.1 系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件 假設特征方程為,的全部根為：,則上式可以變?yōu)?由多重根的韋達定理得：,1）特征方程的各系數 都不等于零。因為若有一個系數為零，則必出現實部為零的特征根或實部有正有負的特征根，則滿足系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定（根在虛軸上）或不穩(wěn)定（根的實部為正）。,要使特征方程的根 都具有負實部必須滿足下面兩個條件,2）特征方程的各項系數符號相同，才能滿足式（5-4）。一般地a0為正，上述兩個條件可歸結為系統(tǒng)穩(wěn)定的一個必要條件，即,只是一個必要條件，有時滿足上述條件，系統(tǒng)仍可能不穩(wěn)定，因為它不是充分條件。,5.2 Routh-Hurwitz判據,一. 系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件,假設特征方程為,根據代數理論中韋達定理所指出的方程根和系數的關系可知，為使系統(tǒng)特征方程的根都為負實部，其必要條件：,特征方程的各項系數均為正。,含義：1 各項系數符號相同（即同號） 2 各項系數均不等于0（即不缺項）,二. 控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件,Routh陣列,特征方程全部為負實部根的充分必要條件是Routh表中第一列各值為正， 如Routh表第一列中只要出現一個小于零的數值，系統(tǒng)就不穩(wěn)定，且第一列各數符號的改變次數，代表特征方程式的正實部根的數目。,例5-1 判別特征方程為,的某系統(tǒng)穩(wěn)定性。,解 利用Routh判據,符號改變兩次，則說明系統(tǒng)有兩個正實部的特征根，故系統(tǒng)不穩(wěn)定。,a=1 10 8 17 16 5 a = 1 10 8 17 16 5 roots(a) ans = -9.3181 0.1791 + 1.2930i 0.1791 - 1.2930i -0.5200 + 0.2108i -0.5200 - 0.2108i,三. Routh判據的特殊情況,1. Routh表中某行的第一個元素為零，而其余各元素均不為零或部分不為零。這時用一個很小的正數來代替零元素，Routh表繼續(xù)進行。,2. 如果Routh表中出現全零行，表明特征方程中存在一些絕對值相同但符號相異的特征根， 這時，可用全零行上一行的系數構造一個輔助方程，對輔助方程求導，用所得導數方程的系數代替全零行，便可按Routh穩(wěn)定判據的要求繼續(xù)運算下去，直到得出全部Routh計算表。 輔助方程的次數通常為偶數，它表明數值相同、符號相反的根數。所有這些數值相同、符號相反的根，都可以從輔助方程中求出。,例5-5 已知某控制系統(tǒng)的特征方程為,判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解 列出Routh表,上述Routh表中，第三行左邊第一個元素為零，用代替0繼續(xù)計算Routh表。從Routh表可得，第一列元素符號有兩次變化，由正變負，再由負變正，所以系統(tǒng)在s平面上有兩個正實部的特征根，顯然系統(tǒng)不穩(wěn)定。,a=1 2 2 4 1 1 a = 1 2 2 4 1 1 tf(a,1) Transfer function: s5 + 2 s4 + 2 s3 + 4 s2 + s + 1 roots(a) ans = -1.9571 0.0686 + 1.2736i 0.0686 - 1.2736i -0.0901 + 0.5532i -0.0901 - 0.5532i,（輔助方程A（s）=0系數）,例5-7 設某控制系統(tǒng)的特征方程為,用Routh判據確定系統(tǒng)正實部根的個數。 解 列出Routh表,輔助方程為,對輔助變量s求導得,（dA（s）/ds=0的系數）,用上述導數方程的系數代替Routh表的零行，然后繼續(xù)進行Routh判據。,從Routh表可得，第一列元素符號只改變一次，因此系統(tǒng)只有一個正實部的特征根。因為在Routh表中有一行系數全為零，則說明有純虛根，可由輔助方程求得:,解得：2，j。實際上，特征方程的另一對特征根為,通過上面的例題可以看出，利用Routh判據不僅可以確定正實部根的個數，而且還可以通過解輔助方程求出數值相同符號相異的特征根。,a=1 1 -2 -3 -7 -4 -4 a = 1 1 -2 -3 -7 -4 -4 tf(a,1) Transfer function: s6 + s5 - 2 s4 - 3 s3 - 7 s2 - 4 s - 4 roots(a) ans = 2.0000 -2.0000 -0.0000 + 1.0000i -0.0000 - 1.0000i -0.5000 + 0.8660i -0.5000 - 0.8660i,Example,Problem Determine the stability of the closed-loop transfer function Solution The Rouths table is The Rouths table has two sign change in the first column. Thus this closed-loop system is unstable since two poles exist in the right half-plane,5.3 Nyquist穩(wěn)定性判據,若開環(huán)傳遞函數在s右半平面無極點時，當從0變化時， 如果Nyquist曲線不包圍臨界點(-1,j0)，則系統(tǒng)穩(wěn)定。,如果Nyquist曲線包圍臨界點(-1,j0)，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。,如果系統(tǒng)的Nyquist曲線經過(-1,j0)點，則系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。,如果開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，有P個開環(huán)極點位于s右半平面， 當從0變化時，開環(huán)幅相曲線包圍(-1,j0)點的圈數為 N(反時針方向為正，順時針方向為負)和開環(huán)傳遞函數在s 右半平面上的極點個數P的關系為： M=P2N M：閉環(huán)極點在s右半平面的個數 如果M為零，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。,如果開環(huán)傳遞函數包含積分環(huán)節(jié)，假設為型，則繪制開 環(huán)幅相曲線后，頻率再從 開始，反時針補畫 個半 徑為無窮大的圓。,例1 一個單位反饋系統(tǒng)，開環(huán)傳遞函數為,試用Nyquist判據判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,解 系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線如圖所示。,從Nyquist曲線上看到，曲線順時針包圍(-1,j0)點一圈， 即N= -1，而開環(huán)傳遞函數在s右半平面的極點數P=0，因此閉環(huán)特征方程正實部根的個數,故系統(tǒng)不穩(wěn)定。,5.4 Bode圖上的穩(wěn)定性判據,Bode圖上的穩(wěn)定性判據可定義為 一個反饋控制系統(tǒng), 其閉環(huán)特征方程正實部根的個數 為Z，可以根據開環(huán)傳遞函數s右半平面極點的個數P和 開環(huán)對數幅頻特性大于0dB的所有頻率范圍內，對數相 頻曲線與-線的正負穿越之差N = N+-N-來確定, 即,若Z=0，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，,則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定,Z為閉環(huán)特征方程正實部根的個數。,例：如圖5-17所示的四種開環(huán)Bode曲線，試用Nyquist穩(wěn)定性判據, 判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,已知P=0，在L()0的范圍內，,閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定 。,已知P=1 ，在L()0時 相頻曲線有一次從負到正穿越-線,閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定 。,已知P=2, 在L()0的范圍內,閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定,5.7 穩(wěn)定裕度,根據穩(wěn)定性判據可以判別一個系統(tǒng)是否穩(wěn)定。,但是要使一個實際控制系統(tǒng)能夠穩(wěn)定可靠的工作，剛好滿足穩(wěn)定性條件是不夠的，還必須留有余地。,穩(wěn)定裕度可以定量地確定一個系統(tǒng)的穩(wěn)定程度。 它包括相位裕度和幅值裕度。,1. 幅值裕度Kg,定義為Nyquist曲線與負實軸(-)交點處的頻率所對應的幅值的倒數，即,=g 稱為交點頻率。,Kg含義：如果系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數增益增大到原來 的Kg倍，則系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。,穩(wěn)定系統(tǒng),Kg相同但穩(wěn)定程度不同的兩條開環(huán)Nyquist曲線,它們具有相同的