一、多元正態(tài)分布參數(shù)估計(jì),1. 樣本,多元分析的任務(wù)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)來分析各變量之間的關(guān)系，推斷總體的性質(zhì)。,多元樣本數(shù)據(jù),為一元樣本,2. 樣本平均值,樣本平均值是n個(gè) 點(diǎn)的重心,例題：,計(jì)算均值、離差陣、協(xié)方差和相關(guān)陣,3. 樣本離差(平方乘積和)矩陣S,計(jì)算離差陣,(樣本協(xié)方差) (樣本方差),4. 樣本協(xié)差陣,6. 樣本相關(guān)矩陣R,R為非負(fù)定矩陣,-樣本相關(guān)系數(shù),變量的線性組合的樣本值,計(jì)算 和 均值方差與協(xié)方差,7. 二組樣本的協(xié)方差矩陣,8. 總體均值和協(xié)方差矩陣的最大似然估計(jì),設(shè),用最大似然法求出的均值和協(xié)方差的估計(jì)量分別為,9.基本性質(zhì),1）,是總體均值的無偏估計(jì),2）,是總體協(xié)方差的無偏估計(jì),分別是總體均值和協(xié)差陣的有效估計(jì),是總體均值和協(xié)差陣的一致估計(jì)估計(jì),3）,4）,和,和,和,10. 定理 設(shè),和 S 分別是正態(tài)總體,樣本均值和離差陣，則,和 S 相互獨(dú)立,1）,2）,3）,二、多元統(tǒng)計(jì)中常用的分布,在一元統(tǒng)計(jì)中，常用的分布有卡方分布、t分布和F分布。在多元統(tǒng)計(jì)中，他們分別發(fā)展為Wishart分布、T2分布和Wilks分布。,11 分布和Wishart分布,定義1 設(shè) 為 相互獨(dú)立且同服從于 分布的隨機(jī)變量。則 (1) 所服從的分布叫做 分布， 稱為自 由度且記為 。,定理2. 由(1)式定義的隨機(jī)變量的分布密度函數(shù)為,定理3. 設(shè) ， 且 與 相互獨(dú)立，則,推論2 設(shè) 是抽自正態(tài)總體 的簡單隨機(jī)樣本，則統(tǒng)計(jì)量,Wishart分布 它是多元樣本離差平方和矩陣的分布,定義1 設(shè) 為 相互獨(dú)立且同服從于 分布 ，令 則 (1) 所服從的分布叫做 自由度為 的p維 維希特分布，記作,顯然，當(dāng)p=1 時(shí)，有,Wishart分布像卡方分布一樣具有加法性質(zhì)，若 相互獨(dú)立，則,設(shè) ，且 與 相互獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量 服從自由度為 的 分布， 記為 。 將T平方，即,三 分布與 分布,在多元統(tǒng)計(jì)中 分布是一元統(tǒng)計(jì)中t分布的推廣,定義：若 ， S與X相互獨(dú)立、稱隨機(jī)變量 是自由度為（p，n）的 分布 可以轉(zhuǎn)化為F分布,Hotelling,四、 分布與Wilks分布 定義3 設(shè) ， ，且 與 相互獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量 服從自由度為 的 分布， 記為 。,F分布事實(shí)上為從正態(tài)總體隨機(jī)抽取的兩個(gè)樣本方差的比，在方差分析和回歸分析中廣泛使用,描述 的變異程度的統(tǒng)計(jì)參數(shù)稱為廣義方差，其定義有很多 如,F統(tǒng)計(jì)量的推廣是 統(tǒng)計(jì)量,定義：若,相互獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量 的分布是自由度為(p,n1,n2)的 分布,第三章 假設(shè)檢驗(yàn) 1、 已知時(shí)單總體均值向量的檢驗(yàn),設(shè)從總體XNP(,)中隨機(jī)抽取了一個(gè)容量為n的樣本 ，得到的無偏估計(jì)為 檢驗(yàn) 是否等于已知向量 。即,，,由于,由正態(tài)分布與卡方分布的關(guān)系得,構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為,具體步驟是： 作統(tǒng)計(jì)假設(shè) 計(jì)算樣本的均值 計(jì)算統(tǒng)計(jì)量T的具體值T0 按規(guī)定的小概率標(biāo)準(zhǔn)，查卡方分布表Ta，得臨界值，并作出判斷 當(dāng)T0 Ta ，接受H0，拒絕H1，即認(rèn)為 與 沒有顯著差異。 當(dāng)T0 Ta ，接受H1 ，拒絕H0 ，即認(rèn)為 與 有顯著差異。,2、未知時(shí)均值向量的檢驗(yàn),在一元統(tǒng)計(jì)理論中，當(dāng)方差未知時(shí)，取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為,推廣到多元，考慮統(tǒng)計(jì)量,其中樣本均值,樣本離差陣,故由T2分布定義知,其中,利用T2與F分布的關(guān)系，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量取為,具體步驟是： 作統(tǒng)計(jì)假設(shè)：， 計(jì)算樣本均值和樣本協(xié)方差 由公式計(jì)算F統(tǒng)計(jì)量具體值F0。 按規(guī)定的顯著水平，查F分布臨界值，并作出判斷： 當(dāng) 接受H0，拒絕H1； 當(dāng) 拒絕H0，接受H1。,例1 某小麥良種的四個(gè)主要經(jīng)濟(jì)性狀的理論值為 現(xiàn)在從外地引入一新品種，在21個(gè)小區(qū)種值，取得數(shù)據(jù)如表：,設(shè)新品種的四個(gè)性狀服從正態(tài)，試檢驗(yàn)假設(shè),3,查F表，得F0.05(4,17) = 2.96，因?yàn)?故拒絕H。,3、兩總體協(xié)差陣相等（但未知）時(shí)均值向量的檢驗(yàn),當(dāng)P = 1時(shí)，因 且相互獨(dú)立，在H0成立條件下，有,，,推廣到P元總體，可以得到形式類似的統(tǒng)計(jì)量T2：,XNP(1,),YNP(2,),其中,具體步驟： 作統(tǒng)計(jì)假設(shè)：， 計(jì)算樣本均值和，樣本離差陣。 由公式計(jì)算統(tǒng)計(jì)量具體值F。 按規(guī)定的顯著水平，查F分布臨界值 當(dāng) 接受H0，拒絕H1； 當(dāng) 拒絕H0，接受H1。,4、 已知時(shí)，均值的置信域,從一元統(tǒng)計(jì)中我們已經(jīng)了解到，均值假設(shè)檢驗(yàn)問題本質(zhì)上也等價(jià)于均值的置信區(qū)間,假設(shè) 來自P元正態(tài)總體NP(,)由前面討論知,在任給置信度，查卡方分布臨界值表得滿足,則均值向量,的置信度為,的置信域?yàn)?該置信域是一個(gè)中心在,橢球。當(dāng)檢驗(yàn),時(shí)，若,落在該置信域內(nèi)，即,，則在顯著水平,下，接受H0；若,沒有落入該置信域內(nèi)，則否定H0。所