空間解析幾何與矢量代數,一、空間直角坐標系,二、向量的概念,三、向量的線性運算,五、向量的模、方向角、投影,四、利用坐標作向量的線性運算,一、空間直角坐標系,由三條互相垂直的數軸按右手規(guī)則,組成一個空間直角坐標系.,坐標原點,坐標軸,x軸(橫軸),y軸(縱軸),z 軸(豎軸),過空間一定點 o ,坐標面,卦限(八個),zox面,1. 空間直角坐標系的基本概念,向徑,在直角坐標系下,坐標軸上的點 P, Q , R ;,坐標面上的點 A , B , C,點 M,特殊點的坐標 :,有序數組,(稱為點 M 的坐標),原點 O(0,0,0) ;,坐標軸 :,坐標面 :,.,x,0,M點的對稱點,關于xoy面:,(x,y,z) (x,y,-z),關于x軸:,(x,y,z) (x,-y,-z),Q,關于原點:,(x,y,z) (-x,-y,-z),P,(x,y,-z),(x,-y,-z),(-x,-y,-z),M(x,y,z),R,表示法:,向量的模 :,向量的大小,二、向量的概念,向量:,(矢量).,既有大小, 又有方向的量稱為向量,向徑 (矢徑):,自由向量:,與起點無關的向量.,起點為原點的向量.,單位向量:,模為 1 的向量,零向量:,模為 0 的向量,有向線段 M1 M2 ,或 a ,規(guī)定: 零向量與任何向量平行 ;,記作,因平行向量可平移到同一直線上,故兩向量平行又稱,兩向量共線 .,若 k (3)個向量經平移可移到同一平面上 ,則稱此 k,個向量共面 .,三、向量的線性運算,1. 向量的加法,三角形法則:,平行四邊形法則:,運算規(guī)律 :,交換律,結合律,三角形法則可推廣到多個向量相加 .,2. 向量的減法,三角不等式,3. 向量與數的乘法, 是一個數 ,規(guī)定 :,可見,總之:,運算律 :,結合律,分配律,因此,例1. 設 M 為,解:,定理1.,設 a 為非零向量 , 則,( 為唯一實數),4. 向量的坐標表示,在空間直角坐標系下,設點 M,則,沿三個坐標軸方向的分向量.,的坐標為,四、利用坐標作向量的線性運算,設,則,平行向量對應坐標成比例:,五、向量的模、方向角、投影,1. 向量的模與兩點間的距離公式,則有,由勾股定理得,因,得兩點間的距離公式:,對兩點,與,例2. 在 z 軸上求與兩點,等距,解: 設該點為,解得,故所求點為,及,思考:,如何求在 xoy 面上與A , B 等距離之點的軌跡方程?,離的點 .,提示:,設動點為,利用,得,且,2. 方向角與方向余弦,設有兩非零向量,任取空間一點 O ,稱 =AOB (0 ) 為向量,的夾角.,類似可定義向量與軸, 軸與軸的夾角 .,與三坐標軸的夾角 , , ,為其方向角.,方向角的余弦稱為其方向余弦.,方向余弦的性質:,例3. 已知兩點,和,的模 、方向余弦和方向角 .,解:,計算向量,例4. 設點 A 位于第一卦限,解: 已知,角依次為,求點 A 的坐標 .,則,因點 A 在第一卦限 ,故,于是,故點 A 的坐標為,向徑 OA 與 x 軸 y 軸的夾,備用題,解: 因,1. 設,求向量,在 x 軸上的投影及在 y,軸上的分向量.,在 y 軸上的分向量為,故在 x 軸上的投影為,2.,設,求以向量,行四邊形的對角線的長度 .,該平行四邊形的對角線的長度各為,對角線的長為,解：,為邊的平,三、向量的混合積,一、兩向量的數量積,二、兩向量的向量積,數量積、向量積、混合積,一、兩向量的數量積,沿與力夾角為,的直線移動,1. 定義,設向量,的夾角為 ,稱,數量積,(點積、內積) .,故,2. 性質,為兩個非零向量,則有,3. 運算律,(1) 交換律,(2) 結合律,(3) 分配律,事實上, 當,時, 顯然成立 ;,4. 數量積的坐標表示,設,則,當,為非零向量時,由于,兩向量的夾角公式, 得,例1. 已知三點, AMB .,解:,則,求,故,例2. 已知向量,的夾角,且,解：,1. 定義,定義,向量,方向 :,(叉積、外積),記作,且符合右手規(guī)則,模 :,向量積 ,思考: 右圖三角形面積,S,二、兩向量的向量積,2. 性質,為非零向量, 則,3. 運算律,(2) 分配律,(3) 結合律,證明:,4. 向量積的坐標表示式,設,則,向量積的行列式計算法,例3. 已知三點,角形 ABC 的面積,解: 如圖所示,求三,三、向量的混合積,1. 定義,已知三向量,稱數量,混合積 .,幾何意義,為棱作平行六面體,底面積,高,故平行六面體體積為,則其,2. 混合積的坐標表示,設,3. 性質,(1) 三個非零向量,共面的充要條件是,(2) 輪換對稱性 :,例4. 證明四點,共面 .,提示: 因,故 A , B , C , D 四點共面 .,