從前面的定解問題的解法中，我們容易想到由于邊界形狀較為復雜，或由于泛定方程較為復雜，或由于其它各種條件發生變化，將使得定解問題難以嚴格解出，因此又發展了一些切實可用的近似方法，通過本章的學習我們會看到近似解的價值一點也不低于嚴格解的價值事實上，我們應該已經注意到，從推導數學物理方程時難免要作一些簡化假定，定解條件本身也帶有或多或少的近似性，前面所謂的嚴格解其實也是某種程度的近似,第十三章 變分法,如果某個定解問題不能嚴格解出，但另一個與它差別甚微的定解問題能嚴格解出，那么就可以運用微擾法求近似解量子力學教科書中一般都要介紹微擾法，限于課時，這里就不再重復介紹,近似解法涉及：變分法，有限差分法和模擬法等,變分法是研究求解泛函極值（極大或極小）的方法，變 分問題即是求泛函的極值問題把定解問題轉化為變分 問題，再求變分問題的解,變分法的優點:,(2) 變分法易于實現數學的統一化因為一般而言，數學物理方程的定解問題都可以轉化為變分問題尤其是前面介紹的斯特姆劉維爾本征值問題可轉化為變分問題，變分法提供了施劉型本征值問題的本征函數系的完備性等結論的證明；,(1) 變分法在物理上可以歸納定律因為幾乎所有的自然定律都能用變分原理的形式予以表達；,(3) 變分法是解數學物理定解問題常用的近似方法，其基本思想是把數學物理定解問題轉化為變分問題由直接解變分問題發展了一些近似解法，其中最有用的是里茨 （Ritz）法 由于里茨法中的試探函數的選取較為麻煩，計算系數矩陣也十分困難，隨著計算機的展，又迅速發展了一種有限元法；,(4) 變分法的應用不僅在經典物理和工程技術域，而且在現代量子場論，現代控制理論和現代信息理論等高技術領域都有十分廣泛的應用,有限差分法：有限差分法把定解問題轉化為代數方程， 然后通過電子計算機求定解問題的數值解,模擬法：即用一定的物理模型來模擬所研究的定解問題， 而在模型上實測解的數值,變分法是這些方法中最為重要和切實有效的方法， 已經廣泛應用于科學研究和工程計算之中，限于篇幅故 本書主要詳細介紹經典變分法的基本概念和理論,13.1 變分法的基本概念,定義： 變分法 變分問題,變分法就是求泛函極值的方法變分問題即是求 泛函的極值問題,一、泛函 變分法研究的對象是泛函，泛函是函數概念的推廣 為了說明泛函概念先看一個例題：,考慮著名的最速降線落徑問題。如圖13.1 所示， 已知A和B為不在同一鉛垂線和不同高度的兩點，要求 找出A、B間的這樣一條曲線，當一質點在重力作用下沿 這條曲線無摩擦地從A滑到B時，所需的時間T最小,圖13.1,我們知道，此時質點的速度是,因此從 A滑到B所需的時間為,即為,（13.1.1）,式中,代表對,求一階導數 我們稱上述的,為,的泛函，而稱,為可取的函數類，為泛函,的定義域。簡單地說，泛函就是函數的函數（不是復合函數 的那種含義）,一般來說，設C是函數的集合，B是實數或復數的集合，,如果對于C的任一元素,在B中都有一個元素,與之對應，,則稱,為,的泛函，記為,必須注意，泛函不同于通常講的函數決定通常函數值的,因素是自變量的取值，而決定泛函的值的因素則是函數的取形如上面例子中的泛函T的變化是由函數,（即從A到B的不同曲線）,值，也不取決,所引起的它的值既不取決于某一個,本身的變化,于某一個,值，而是取決于整個集合C中,與,的函數關系,定義：泛函 泛函的核,泛函通常以積分形式出現，比如上面描述的最速降線 落徑問題的式（13.1.1）更為一般而又典型的泛函定義為,(13.1.2),其中,稱為泛函的核,二、泛函的極值變分法,對于不同的自變量函數,，與此相應的泛函,也有不同的數值找出一個確定的自變量函數,，使泛函,具有極值（極小或極大），這種泛函的極小值與極大 值統稱為泛函的極值,引入泛函的概念后，對于上述的最速降線落徑問題變為泛函,的極小值問題物理學中常見的有光學中的費馬(Fermat),原理，分析力學中的哈密頓(Hamiton)原理等，都是泛函的極值問題,即直接分析所提出的問題；另一類叫間接法，即把問題轉化為求解微分方程為討論間接方法，先介紹變分和泛函的變分,三、 變分,定義： 變分,如果我們將泛函取極值時的函數（或函數曲線）定義為,并定義與函數曲線,鄰近的曲線（或略為變形的,定義： 變分法：所謂的變分法就是求泛函極值的方法,研究泛函極值問題的方法可以歸為兩類：一類叫直接法，,曲線）作為比較曲線，記為,其中,是一個小參數；,是一個具有二階導數的任意,選定函數，規定,它在一個小范圍內變化，這限制主要保證泛,函在極值處連續在研究泛函極值時，通常將,固定，,而令,變化，這樣規定的好處在于：建立了由參數,到泛函,值之間的對應關系，因此泛函,就成為了參數,的普通函數原來泛函的極值問題就成為,普通函數對,的求極值的問題同時，函數曲線,的變分定義為,(13.1.3),因此可得,(13.1.4),這里,代表對,求一階導數,所以,(13.1.5),即變分和微分可以交換次序,(13.1.6),在極值曲線,附近，泛函,的增量，定義為,(13.1.7),依照上述約定，當,時，泛函增量,的線性,主要部分定義為泛函的變分，記為,四、 泛函的變分,定義： 泛函的變分 泛函的增量 變分問題,泛函的變分定義為,(13.1.8),在求一元或多元函數的極值時，微分起了很大的作用；同樣在研究泛函極值問題時，變分起著類似微分的作用因此，通常稱泛函極值問題為變分問題；稱求泛函極值的方法為變分法,解,注意：最后一步利用了一般在邊界上函數變分為零的事實，即,例 1 計算泛函的變分,132 泛函的極值,泛函的極值問題，一般來說是比較復雜的因為它與泛函包含的自變量個數，未知函數的個數以及函數導數的階數等相關另外，在求泛函極值時，有的還要加約束條件，且約束條件的類型也有不同，等等下面我們首先討論泛函的極值的必要條件,一、 泛函的極值的必要條件歐拉拉格朗日方程,設,的極值問題有解,（13.2.1）,現在推導這個解所滿足的常微分方程，這是用間接法 研究泛函極值問題的重要一環設想這個解有變分,則,可視為參數,的函數,而當,時，,對應于式(13.2.1),即為,取極值于是原來的泛函極值,問題，就化為一個求普通函數,的極值問題由函數,取極值的必要條件，有,即有,（13.2.2）,1.泛函表示為一個自變量，一個函數及其一階導數 的積分形式,泛函表示為一個自變量，一個函數及其一階導數的積分形式，,（13.1.2）,若考慮兩端固定邊界的泛函問題：積分是在區域內通過兩點,的任意曲線進行的，其中,泛函中,為,由于兩端固定，所以要求,，即,由(13.1.8)，有,（13.2.3）,式(13.2.3)的積分號下既有,，又有,，對第二項,應用分部積分法可使積分號下出現,(13.2.4),根據（17.2.2）,所以,再根據,（13.2.4）故有,（13.2.5）,因為,并且,是任意的，所以,(13.2.6),上式(13.2.6)稱為歐拉（Euler）拉格朗日（Lagrange） 方程，簡稱為E-L方程,此即泛函取極值的必要條件即泛函,的極值函數,必須是滿足泛函的變分,的函數類,因此，,把泛函的極值問題稱為變分問題,注明：E-L方程是泛函取極值的必要條件，而不是充分條件如果討論充分條件，則要計算二階變分，并考慮其正、負值,但對于實際問題中，當泛函具有明確的物理涵義，極值的存在性往往間接地在問題的提法中就可以肯定，所以極值的存在性是不成問題的，只要解出E-L方程，就可以得到泛函的極值,E-L方程除了上面給出的形式(13.2.6)之外， 另外還有四種特殊情況：,(1),不顯含,且,因為,若,E-L方程等價于,（13.2.7）,(2),不依賴于,且,則E-L方程化為,（13.2.8）,(3),不依賴于,且,則E-L方程化為,（13.2.9）,由此可見,僅為,的函數,(4),關于,是線性的：,則E-L方程化為,（13.2.10）,對于含有一個自變量，多個變量函數，以及有較高階變量 函數導數的泛函，類似上面的推導可得如下結論：,2. 泛函表示為多個函數的積分形式,則與此泛函極值問題相應的E-L方程為,（13.2.11）,3. 泛函的積分形式中含有高階導數,與此泛函極值問題相應的E-L方程為,（13.2.12）,4.泛函的積分形式中含有多元函數,設,為,的二元函數，則,與此泛函極值問題相應的E-L方程為,（13.2.13）,不顯含,，故其E-L方程為（13.2.7）式,令,故有,例2 試求解最速降線落徑問題，即變分問題,解目前，我們只能用間接方法來求解，由于,令,分離變量得到,再令,代入上式得到,即得到,此即為擺線的參數方程，積分常數可由初始位置,（圖13.1的A,B兩點）決定,13.2.2泛函的條件極值問題,在許多泛函的極值問題中，變量函數還受到一些附加條件 的限制，其中最常見和重要的一種是以積分形式表示的限制 條件,（13.2.14）,即所謂的等周問題：,(13.2.15),（注：這種問題之所以稱為等周問題，是因為在歷史上起源 于求一條通過兩點，長度固定為l的曲線,使面積,取極大值）,其中,為常數此類問題可以仿照普通函數的,條件極值問題的拉格朗日乘子法即將附加條件(13.2.14)乘以,參數，求其變分后，加到泛函取極值的必要條件中得到,于是問題轉化為不帶條件的由上式所表示的變分問題,其對應的E-L方程為,這是通過,和,兩點的,之下使泛函取極值的必要條件它實際上是一個關于,在附加條件（13.2.14）,的二階常微分方程其通解中含有三個參數，即,和兩個積分,常數它們可由條件,（13.2.14）來確定 .,和附加條件,例3 求,的極值，其中,是歸一化的，即,，且已知,解 本題是求泛函的條件極值問題，可化為變分問題,對應的E-L方程為,其通解為,代入附加條件,得到,代入歸一化條件得到,于是得到,，故原極值問題的解為,而題中要求的泛函,的極值為,當,時，極值函數,使得泛函數取得最小值,例4 求泛函,在條件,下的極值曲線.,解 此時,則偏導數,.對應的Euler方程為,其通解為,代入邊界條件可得,所以極值曲線為,13.3 光學中的泛函極值典型例子,泛函極值問題的求解,通常有兩種結果：,（i）解析解,由變分法得到的E-L方程求解，一般來說，是很困難的 但在分析力學中往往還是采用這一辦法來求解因為歷史悠 久，它自有一套辦法,（ii）近似解,所謂近似解即由泛函本身出發，而不需求解E-L方程， 直接求得所需要的解極值曲線,因此，常常稱它為研究泛函極值問題的直接法,例5 假設大氣的光折射率,只依賴于高度,利用費馬（Fermat）原理導出在大氣中光線軌跡的微分方程；,解（1）根據費馬原理：光線的實際路徑上，光程的變分為零,（13.3.1）,其中,為介