教學目標： 知識技能：使學生理解函數的最值是在整個定義域上來研究的，它是函數單調性的應用 啟發學生學會分析問題、認識問題和創造性地解決問題。 重點：函數最大（小）值的定義和求法 難點：如何求一個具體函數的最值。 過程與方法：通過滲透數形結合的數學思想，對學 生進行辯證唯物主義的教育。探究與活動，明白考慮問題要細致，說理要明確。 情感、態度與價值觀：理性描述生活中的最大（小）、最多（少）等現象。,1.3-3 函數的最大值、最小值,1.理解函數的最大(小)值的概念及其幾何意義. 2.會求一些簡單函數的最大值或最小值.,1.本課重點是理解函數的最大(小)值的概念并會求一些簡單函數的最大值或最小值. 2.本課難點是求函數的最大值或最小值.,復習回顧：,1.函數f(x)在區間D上是增函數的定義？減函數呢？,2.用定義法證明(或判斷)函數單調性的步驟？,設元作差變形判號定論,評：第三步“變形”必須要變到能判斷符號為止， 常見方法因式分解 , 通分 , 配方 等等！,函數的基本性質 最值,當x = 時，圖象到達最低點， 這時y= ；這時的y是函數值中最小的 當x = 時，圖象到達最高點， 這時y = .這時的y是函數值中最大的,回顧并引入新題,增減函數 單調增減區間,回顧并引入新題,問題1:設函數y= f(x)圖象最高點的縱坐標為M,則對定義域 內任意自變量x, f(x)與M的大小關系如何?,問題2:從圖像知f(x) 6成立嗎?那f(x)的最大值是6嗎?為 什么?,f(x) M,通過上面的分析，我們能給出函數的最大值的定義：,函數最大值的數學定義,(maximum value).,一般地，設函數 的定義域為 I ,如果,存在實數 M 滿足：,1）對任意的實數 I，都有 M,2）存在 I，都有 M,那么我們稱 M 是函數 的最小值,記作：f(x)mix=M,或者 ymix=M,函數最小值的數學定義,(minimum value).,函數的最大值就是函數值域中的最大的數， 也就是圖像中的最高點的縱坐標 。,函數的最小值就是函數值域中的最小的數， 也就是圖像中的最低點的縱坐標 。,最大最小值的幾何意義,1. f(x) =2x,有最大值，最小值嗎？ 2. f(x) =2x，x(1,3),有最大值，最小值嗎？ 3. f(x) =2x，x1,3,有最大值，最小值嗎？ 4. 那么，1是函數的最大值嗎？ 5.如果函數有最大值，可以有幾個，取最大值的自變量x的值有幾個呢？（最小值同理） 6. 如果函數的值域是a,b,那么，可以說，函數的最小值是a,最大值是b;反過來說，如果函數的最小值是a,最大值是b,可以說函數的值域是a,b嗎？,思考,1.最大值、最小值定義的理解 (1)最大(小)值定義中具備的兩個條件 對于定義域內全部元素，都有f(x)M(f(x)M)成立 M首先是一個函數值，它是值域的一個元素，如f(x)=-x2的最大值是0，有f(0)=0，注意定義中“存在”一詞的理解. (2)兩條件缺一不可， 若只有前者，M不是最大(小)值， 如f(x)=-x21成立，但1不是最大值， 更不能只有后者，那樣就丟掉了最大值的核心了,例1.如圖為函數y=f(x), x -4,5,的圖象，指出它的最大值、最小值。,應用類型一：利用圖象法求函數最值,C,基礎練習,4,1.,D,2.,3.已知函數f(x)= 求函數f(x)的最大值、最小值.,【解析】.作出f(x)的圖象如圖：,由圖象可知，x=2時，f(x)的最大值為2，,當 時， f(x)的最小值為 ，,利用圖象法求函數最值 【技法點撥】 利用圖象法求函數最值 1.利用函數圖象求函數最值是求函數最值的常用方法，對圖象易作出的函數常用. 2.圖象法求最值的一般步驟：,單調法求函數最值：先判斷函數的單調性，再利用其單調性求解；,例2.已知函數,求函數 f(x) 的最大值和最小值.,利用單調性求最值 【技法點撥】 利用單調性求最值的三個常用結論 1.如果函數f(x)在區間a,b上是增(減)函數，則f(x)在區間a,b的左、右端點處分別取得最小(大)值和最大(小)值. 2.如果函數f(x)在區間(a,b上是增函數，在區間b,c)上是減函數，則函數f(x)在區間(a,c)上有最大值f(b). 3.如果函數f(x)在區間(a,b上是減函數，在區間b,c)上是增函數，則函數f(x)在區間(a,c)上有最小值f(b).,求最大值、最小值時的三個關注點 (1)利用圖象寫出最值時要寫最高(低)點的縱坐標，而不是橫坐標. (2)單調性法求最值勿忘求定義域. (3)單調性法求最值,尤其是閉區間上的最值，最忌不判斷單調性而直接將兩端點值代入求解時一定要注意.,函數最值的應用 【技法點撥】 解實際應用題的四個步驟 (1)審讀：解讀實際問題，找出已知條件，未知條件，確定自變量和因變量的條件關系. (2)建模：建立數學模型，列出函數關系式. (3)求解：分析函數性質，利用數學知識探究問題解法(一定注意自變量的取值范圍). (4)回歸：數學問題回歸實際問題，寫出答案.,小結,1.函數的最大（小）值的概念 2.求函數的最值的一般方法,(1)圖像法：對于熟悉的一次函數、二次函數、反比例函數等函數可以先畫出其圖象，根據函數的性質來求最大（小）值,(2)單調性法：對于不熟悉的函數或者比較復雜的函數可以先畫出其圖象，觀察出其單調性，再用定義證明，然后利用單調性求出函數的最值,最大(小)值的理解,對于任意xI，都有_， 存在x0I，使得 _.,函數y=f(x)圖象上_點的縱坐標.,對于任意xI，都有 _， 存在x0I，使得 _.,函數y=f(x)圖象上_點的縱坐標.,f(x)M,最高,f(x0)=M,f(x)M,f(x0)=M,最低,1.函數f(x)=x2-1總成立，f(x)的最小值是-1嗎？ 提示：f(x)=x2-1總成立， 但是不存在x使f(x)=-1， 所以f(x)的最小值不是-1. 2.要確定f(x)=ax+2(a0)在-1,3上的最值，需要先確定什么？ 提示：先判定f(x)=ax+2(a0)在-1,3上的 單調性或者畫出函數圖象， 從而判定何時取最大值，何時取最小值.,類型二：利用函數單調性求最值,例3：二次函數在閉區間上的最值,問題1：已知函數y=x2+2x-3 且x 求函數的最值。,解：因為由圖易知:對稱軸 X0= -1 0，2,f(x)在區間0，2上單調遞增。,所以：ymin= f(0)= -3 ymax= f(2)= 5,答：函數的最小值為-3， 最大值為5,0， 2,-3，-2,解：因為由圖易知:對稱軸 X0=-1 -3，-2,f(x)在區間-3，-2上 單調遞減,答：函數的最小值為-3， 最大值為0,所以：ymin= f(-2) = -3 ymax= f(-3) = 0,-2，2,問題2：已知函數y=x2+2x-3 且x , 求函數的最值。,-3，-2,解：因為由圖易知：對稱軸 X0=-1 -2，2,又因：f(-2)= -3, f(2) = 5,答：函數的最小值為-4， 最大值為5,所以 ymin= f(-1) = -4 ;,所以：ymax= f(2) = 5,總結：要求最值，就要考察函數在區間上是否具有單調性，對于二次函數就要考察函數圖象的對稱軸與區間的位置關系。,問題1,問題2,問題3,例4.求函數f(x)=x2-2ax+2 在2，4上的最小值,【規范解答】,例4：求二次函數f(x)=x2-2x+2在t ,t+1的最小值,1.,的最大值_,最小值_.,2.,的最大值_,最小值_.,7,-2,10,6,耐克函數,注意定義中條件和結論的雙向使用。,思考：,1、若f(x)在R上增函數，且f(a)f(1)， 則a范圍為 。,2、若f(x)在R上減函數，且f(3a-1)f(a+3)， 則a范圍為 。,3、若f(x)在-2,1增函數， 且f(a-1) f(2a+1)0，則a范圍為 。,函數f (x)在此區間A上為增函數。,評：,4. 已知二次函數f(x)=ax2+4ax+a2在區間 - 2 , 0上有最小值5，求實數a的值。,KEY：5或,思考：本題中,如何求f(x) 在區間- 2,0上的最大值?,思考、已知函數 f(x)=ax2+2(a-1)x+2在區間 （- ，1上是減函數，求實數a的取值范圍。,例2、函數 f (x) 在 ( 0 , + ) 上是減函數， 判斷 f ( a 2 a + 1 ) 與 f ( ) 的大小關系？,函數單調性在比較大小、解不等式中的應用,點評：函數的單調性使得變量之間的不等關系和函數之間的不等關系可以“正逆互推”,例3、函數f(x)是定義在(0,+)上的增函數，滿足：f(xy)=f(x)+f(y)，f(8)=3， 解不等式 f(x) f(x2)3,函數單調性在比較大小、解不等式中的應用,注：利用