,第 七 章,第44講 立體幾何中的向量方法(一)證明平行與垂直,欄目導航,非零,v1v2,存在兩個實數x，y，使vxv1yv2,vu,u1u2,v1v2,v1v20,vu,u1u2,u1u20,1思維辨析(在括號內打“”或“”) (1)直線的方向向量是唯一確定的( ) (2)若兩直線的方向向量不平行，則兩直線不平行( ) (3)若兩平面的法向量平行，則兩平面平行或重合( ) (4)若空間向量a平行于平面，則a所在直線與平面平行( ),C,3已知直線l的方向向量v(1,2,3)，平面的法向量為u(5,2，3)，則l與的位置關系是_. 解析：v(1,2,3)，(5,2，3)， 15223(3)0， v，l或l.,l或l,4設u，v分別是平面，的法向量，u(2,2,5)，當v(3，2,2)時，與的位置關系為_；當v(4，4，10)時，與的位置關系為_. 解析：當v(3，2,2)時，v，則，當v(4，4，10)時，v，則.,5如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中點，N是A1B1的中點，則直線ON，AM的位置關系是_.,垂直,(1)恰當建立空間直角坐標系，準確表示各點與相關向量的坐標，是運用向量法證明平行和垂直的關鍵 (2)證明直線與平面平行，只需證明直線的方向向量與平面的法向量的數量積為零，或證直線的方向向量與平面內的不共線的兩個向量共面，或證直線的方向向量與平面內某直線的方向向量平行，然后說明直線在平面外即可這樣就把幾何的證明問題轉化為向量運算,一 利用空間向量證明平行問題,【例1】 如圖所示，平面PAD平面ABCD，ABCD為正方形，PAD是直角三角形，且PAAD2，E，F，G分別是線段PA，PD，CD的中點求證：PB平面EFG.,二 利用空間向量證明垂直問題,證明垂直問題的方法 (1)利用已知的線面垂直關系構建空間直角坐標系，準確寫出相關點的坐標，從而將幾何證明轉化為向量運算其中靈活建系是解題的關鍵 (2)證明直線與直線垂直，只需要證明兩條直線的方向向量垂直；證明線面垂直，只需證明直線的方向向量與平面內不共線的兩個向量垂直即可，當然，也可證直線的方向向量與平面的法向量平行；證明面面垂直：證明兩平面的法向量互相垂直；利用面面垂直的判定定理，只要能證明一個平面內的一條直線的方向向量為另一個平面的法向量即可,【例2】 如圖所示，正三棱柱(底面為正三角形的直三棱柱)ABCA1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點求證：AB1平面A1BD.,【例3】 如圖，在三棱錐PABC中，ABAC，D為BC的中點，PO平面ABC，垂足O落在線段AD上已知BC8，PO4，AO3，OD2. (1)證明APBC； (2)若點M是線段AP上一點，且AM3.試證明平面AMC平面BMC,三 利用空間向量解決探索性問題,對于“是否存在”型問題的探索方式有兩種：一種是先根據條件作出判斷，再進一步論證；另一種是利用空間向量，先設出假設存在點的坐標，再根據條件求該點的坐標，即找到“存在點”，若該點坐標不能求出，或有矛盾，則判定“不存在”,【例4】 如圖棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱長都等于2，ABC和A1AC均為60，平面AA1C1C平面ABCD. (1)求證：BDAA1； (2)求二面角DA1AC的余弦值； (3)在直線CC1上是否存在點P，使BP平面DA1C1.若存在，求出點P的位置，若不存在，請說明理由,2如圖所示，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC為等腰直角三角形，BAC90，且ABAA1，D，E，F分別為B1A，C1C，BC的中點，求證： (1)DE平面ABC； (2)B1F平面AEF.,3如圖所示，在四棱錐PABCD中，PC平面ABCD，PC2，在四邊形ABCD中，BC90，AB4，CD1，點M在PB上，PB4PM，PB與平面ABCD成30角 (1)求證：CM平面PAD； (2)求證：平面PAB平面PAD.,4在四棱錐PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD為正方形，PDDC，E，F分別是AB，PB的中點 (1)求證：EFCD； (2)在平面PAD內求一點G，使GF平面PCB，并證明你的結論,錯因分析：寫準點的坐標是關鍵，要利用中點、向量共線、相等來確定點的坐標利用ab證明直線平行需強調兩直線不重合，證明直線與平面平行仍需強調直線在平面外,易錯點 坐標系建立不規范、點的坐標易出錯,【例1】 如圖，在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F，M，N分別是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中點，點P，Q分