清華大學(xué)本科生考試試題專用紙考試課程微積分2(A)2005年6月20日姓名學(xué)號班級一、選擇題（每小題分，共分）1設(shè)正項(xiàng)級數(shù)1nna收斂，則)1()1(1nannnB.A絕對收斂；.B條件收斂；.C發(fā)散；.D不能確定2設(shè)冪級數(shù)0)2(nnnxa在點(diǎn)30x收斂，則級數(shù)0nnaA.A絕對收斂；.B條件收斂；.C發(fā)散；.D不能確定3設(shè)nx是一個(gè)數(shù)列，pn,是任意自然數(shù)下列哪一個(gè)條件可以推出nx是柯西列？C.A2|npnxxnpn；.B2ln|npxxnpn；.Cpnxxnpn1|；.D22|pnnpxxnpn4若瑕積分10dln)1(xxxx收斂，則和的取值范圍是D.A0,1；.B0,0；.C1,2；.D2,15設(shè))(xf在),0存在二階導(dǎo)數(shù)，且1)0(f，0)0(f，0)(cxf（其中c是一個(gè)正數(shù)）則)(xf在),0(的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為B.A2；.B1；.C0；.D3二、填空題（每小題分，共分）6若冪級數(shù)0nnnxa的收斂域?yàn)?2,2，則冪級數(shù)02)1(nnnxa的收斂域?yàn)?21,21(7設(shè))(2)(xxxf，10)sincos(2nnnnxbnxaa是)(xf的傅立葉級數(shù)則2006a08設(shè))(xf是周期等于2的函數(shù)，在區(qū)間1,1(的表達(dá)式為22)(xxfx其傅里葉級數(shù)為00)sincos(2nnnxnbxnaa的和函數(shù)為)(xS，則)1(S等于499已知11)d(e2xpx，收斂，則正數(shù)p的取值范圍是21p10設(shè))(xf為可導(dǎo)函數(shù)，1)(af，1)(bf若函數(shù)列)()1()(xfnxfnxn在區(qū)間,ba一致收斂，則bannxxd)(lim2三、解答題（共60分）11(12分)用比階判別法證明反常積分0d)1ln(xxxx收斂，然后計(jì)算解：0d)1ln(xxxx10d)1ln(xxxx211d)1ln(IIxxxx對于1I，1)(lim0xfxx，所以收斂；對于2I，0)(lim34xfxx，所以收斂；結(jié)論：原積分收斂。0d)1ln(xxxx00d)1(12)1ln(2xxxxx2d114d)1(12)1ln(20200ttxxxxx12(10分)寫出)21ln(2x的馬克勞林級數(shù)（即)21ln(2x在點(diǎn)00x的泰勒級數(shù)），求這個(gè)冪級數(shù)的收斂域解：)1ln(x11)1(nnnnx)21ln(2x12nnnx冪級數(shù)的收斂半徑等于當(dāng)1x時(shí)，冪級數(shù)均發(fā)散，所以冪級數(shù)為13(10分)求冪級數(shù)2)1(nnxnn的收斂域，并求該冪級數(shù)的和函數(shù)解：冪級數(shù)2)1(nnxnn的收斂半徑為，收斂區(qū)間和收斂域均為)1,1(求和方法：)()11(0nnxx，223)1()1(2nnxnnx于是2)1(nnxnn32222)1(2)1(xxxnnxnn求和方法2：令2222)1()1(nnnnxnnxxnn)(2xSx，則)()1(d)1(d)(11212020xSxnnxttnnttSnnnnnxnxxxxxttnttSnnnnnxnx1d)1(d)(202111001xx11)1(于是3)1(211)1()(xxxxS,)()1(22xSxxnnnn32)1(2)(xxxS14(12分)設(shè)a為任意正數(shù)（1）求函數(shù)級數(shù)122)1(nnnxx的收斂域；（2）對任意正數(shù)a，證明122)1(nnnxx在區(qū)間,aa一致收斂,指出該函數(shù)級數(shù)和函數(shù)的連續(xù)區(qū)間解：(1),(x，122)1(nnnxx是正項(xiàng)級數(shù)，根據(jù)比值判別法得到11lim221xxuunnn，所以級數(shù)收斂域?yàn)?,(2)0)1()1(2)1(2121222nnnnnxxnxxx所以)(xun在,0a單調(diào)增加,在0,a單調(diào)減少于是|)(maxaxaxun1)1()(22nnnaaau正項(xiàng)級數(shù)122)1(nnnaa收斂，于是根據(jù)比較判別法推出122)1(nnnxx在區(qū)間,aa一致收斂和函數(shù)在,aa連續(xù)，由于正數(shù)a的任意性，推出函數(shù)在,連續(xù)。15(8分)假設(shè))(xF在區(qū)間,ba存在黎曼可積的導(dǎo)數(shù))(xf求證)()(d)(aFbFxxfba解：由微分中值定理，),2,1()()()(11nixxfxFxFiiiii（其中),(1iiixx）于是niiixFxFaFbF11)()()()(niiiixxf11)(當(dāng)n時(shí)，baniiiixxfxxfd)()(11，所以由上式得到baxxfaFbFd)()()(16(8分)假設(shè)正值函數(shù))(xf以為周期，)(xf在區(qū)間,0黎曼可積令nnnxxxxfa)1(d1sin)(（,2,1n），求證級數(shù)1nna是收斂的交錯(cuò)級數(shù)解：注意到xxfsin)(在)1(,nn可積不變號，11x在)1(,nn