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1、,12.5 關(guān)于線性預(yù)測(cè)的進(jìn)一步討論,上一節(jié)使用的AR模型等效于一個(gè) p 階的線性預(yù)測(cè)器。即Yule-Walker方程等效于Wiener-Hopf 方程。但估計(jì)的功率譜的分辨率不理想,其原因是僅用了前向預(yù)測(cè),即,對(duì)同樣一組數(shù)據(jù),我們可以實(shí)現(xiàn)雙向預(yù)測(cè):,令:,可以得到使 最小的 及 。當(dāng)然也可使用正交原理得:,可以證明:,前、后向預(yù)測(cè)對(duì)等關(guān)系,上述結(jié)果表明,使用已知的 p 個(gè)數(shù)據(jù),我們可以實(shí)現(xiàn)前向預(yù)測(cè),也可以實(shí)現(xiàn)后向預(yù)測(cè),兩種情況下可各自得到對(duì)等的Wiener-Hopf方程。將它們單獨(dú)使用,所得分辨率都不理想。可以設(shè)想,如將二者結(jié)合起來,即同時(shí)使前向、后向預(yù)測(cè)誤差功率為最小,應(yīng)能得到更好的分辨率
2、。人們?cè)诰€性預(yù)測(cè)方面進(jìn)行了大量的研究。,前、后向預(yù)測(cè)誤差序列有如下的關(guān)系:,上述關(guān)系引出了線性預(yù)測(cè)中的Lattice結(jié)構(gòu)。這一結(jié)構(gòu)在現(xiàn)代譜估計(jì)、語(yǔ)音信號(hào)處理中有著重要的應(yīng)用。,上述的關(guān)系還是集總平均。對(duì)實(shí)際的信號(hào):?jiǎn)蝹€(gè)樣本有限長(zhǎng),求均值要簡(jiǎn)化,對(duì),取代,N點(diǎn)數(shù)據(jù),前向預(yù)測(cè)誤差序列范圍,上三角+中間塊+下三角:上、下加窗;,中間塊:上、下不加窗;,中間塊+上三角:下不加窗、上加窗;,中間塊+下三角:上不加窗、下加窗;,12.6 AR模型系數(shù)求解算法,AR模型系數(shù)求解算法很多,人們目前仍在探討新的求解算法。目前,常用的算法是: 1. 自相關(guān)法 2. Burg算法 3. 協(xié)方差(covariance
3、)方法; 4. 改進(jìn)的協(xié)方差算法(modified ) , 又稱:Marple 算法 5. 最大似然(Maximum Likelihood)估計(jì),3. 遞推算法:由 求 ,由 遞 推,還是直接由 遞推,各算法之間的主要區(qū)別:,2. 僅用前向預(yù)測(cè),還是前后向都預(yù)測(cè)?即 令 最小,還是 最小?,?,一、自相關(guān)法,令:,使用,使用前向預(yù)測(cè),注意:矩陣 的結(jié)果,即是對(duì)有限長(zhǎng)數(shù)據(jù)求出的自相關(guān)函數(shù),因此,上式等效于:,自相關(guān)法的特點(diǎn):,1. 只用前向預(yù)測(cè),且 等效前、后加窗, 分辨率不好;,2. 用 ,得到的 是Toeplits陣,才可能用Levinson算法求解;,3. 實(shí)際上是我們前面討論過的Yule
4、-Walker 方 程。方法最簡(jiǎn)單。,二、Burg算法,使用前、后向預(yù)測(cè),令:,得到 的求解公式:,遞推步驟,1、 令: 求出 2、求 時(shí)的參數(shù) 3、求出 ,再求 4、用Levinson算法,求 時(shí)的 5、重復(fù)上述過程,直到,Burg算法:一個(gè)公認(rèn)的較好的算法。,Burg 算法的特點(diǎn):,2. 的選擇保證前、后不加窗,即,3. 在每一級(jí), 僅對(duì) 最小,然后套用自相關(guān)法的Levinson遞推算法,影響分辨率;,4. 直接用數(shù)據(jù)遞推,方法簡(jiǎn)單。,三、改進(jìn)的協(xié)方差法Marple方法,同Burg算法,注意:這是Marple 算法和Burg算法的最大區(qū)別。Burg算法僅:,上述最小化的結(jié)果是得到一個(gè)協(xié)方差
5、方程:,注意:該矩陣不是Toeplitz矩陣,因此不能用Levinson算法求解。Marple于1983年給出的求解上式的快速遞歸算法。所以,該算法稱作“改進(jìn)的協(xié)方差法,或Marple算法。該算法的估計(jì)性能最好,但計(jì)算復(fù)雜。,(e)Burg算法 Burg算法,(g)Marple算法 Marple算法,12.7 MA模型,再推導(dǎo)一步,有:,從譜估計(jì)的角度,MA模型等效于經(jīng)典法中的間接法,所以分辨率低。因此,MA模型用于譜估計(jì)無(wú)優(yōu)勢(shì)。但,MA模型: 1. 常用于系統(tǒng)辨識(shí); 2. ARMA模型中包含了MA部分。,令其等效為 模型,求解算法:由于MA模型的正則方程是非線性方程,所以人們提出了很多的求解
6、算法,如譜分解、基于迭代的方法、基于高階AR模型近似的方法。后者最好用,基礎(chǔ)是Wold分解定理。,步驟: 1、由 ,建立 得 ; 2、對(duì) 建立 階線性預(yù)測(cè)器,系數(shù)為 ,即建立兩次AR模型。,12.8 ARMA(p,q)模型,ARMA模型的正則方程,對(duì)第二個(gè)式子,,可以先 求 ,然后再解第一個(gè)方程,求出 ;但這樣做的效果不好,一是 的性能不好,二是第一個(gè)方程也不好求解。首先,建立一個(gè)超定方程(方程個(gè)數(shù)未知數(shù)):,用求偽逆的方法可求出 ;注意,偽逆可用 奇異值分解(SVD)的方法求解;求出 后, 剩下的工作是求,2、用 對(duì) 濾波; 3、 濾波輸出 相當(dāng)于一 MA(q) 過程,按 上節(jié)MA模型的求解
7、方法,可求 出ARMA(p,q)模型 的 參數(shù)。,ARMA 模型系數(shù)求解的方法:,1 先求出: ,它們可構(gòu)成 ;,(a)MA(10) (b)MA(16) (c)ARMA(10,10) (d)ARMA(10,13),12.10 基于矩陣特征分解的功率譜估計(jì),假定信號(hào)由 M 個(gè)復(fù)正弦加白噪聲組成:,已知:,目標(biāo):1. 由該矩陣估計(jì) 個(gè)正弦信號(hào)的頻率和幅度; 2. 估計(jì)信號(hào) 的功率譜;,定義:,為信號(hào)向量,它包含了 個(gè)復(fù)正弦,其頻率和原信號(hào)的頻率相同。,求解的關(guān)鍵是自相關(guān)矩陣的分解:,因?yàn)椋?所以:,特征分解,構(gòu)成的M維信號(hào)空間,構(gòu)成的噪聲空間,基于噪聲子空間的頻率估計(jì)和功率譜估計(jì):,噪聲空間只有一
8、個(gè)特征向量,即:,方法:,由 估計(jì) ,由 構(gòu)成 ,并假定 ;,2. 對(duì) 作特征分解,找最小的 ,及,3. 代入上式,解出: 實(shí)現(xiàn)了頻率估計(jì)。,4. 由下式,求,按上述步驟,可求出正弦信號(hào)的參數(shù) Pisarenko 諧波分解,若噪聲空間向量不止一個(gè),估計(jì)信號(hào)的頻率,可應(yīng)用譜估計(jì)的方法。,2. 若,EV(Eigenvector)方法,用特征分解求出的功率譜曲線,與本章內(nèi)容有關(guān)的MATLAB文件:,1. pyulear.m 用AR模型的自相關(guān)法估 計(jì)信號(hào)的功率譜,其基本調(diào)用格式是: Px, F = pyulear(x, order, Nfft, Fs) 2. pburg.m 用AR模型的Burg算法
9、估計(jì)信 號(hào)的功率譜,其基本調(diào)用格式是: Px, F = pburg(x, order, Nfft, Fs),(一)、 有關(guān)功率譜估計(jì)的MATLAB文件,3. pcov.m 用AR模型方差方法估計(jì)信號(hào)的 功率譜,其基本調(diào)用格式是: Px, F = pcov(x, order, Nfft, Fs) 4. pmcov.m 用AR模型的改進(jìn)的方差方法估 計(jì)信號(hào)的功率譜,其基本調(diào)用格式是: Px, F = pmcov(x, order, Nfft, Fs),5. pmem.m 最大熵功率譜估計(jì),其估計(jì) 性能類似pyulear, 其基本調(diào)用格式是: Px, F = pmem(x, order, Nfft,
10、 Fs) 6. pmusic.m 用自相關(guān)矩陣分解的MUSIC 算法估計(jì)信號(hào)的功率譜,其基本調(diào)用格 式是: Px, F = pmusic(x, order, Nfft, Fs),7. peig.m 用自相關(guān)矩陣分解的特征向量 法估計(jì)信號(hào)的功率譜,其基本調(diào)用格式是: Px, F = peig(x, order, Nfft, Fs), Px, F,V, E = peig(x, order, Nfft, Fs), x :信號(hào)向量,order:模型的階次,F(xiàn)s:抽樣頻率,Nfft:對(duì)x作FFT時(shí)的長(zhǎng)度。Px:估計(jì)出的功率譜,F(xiàn)是頻率軸坐標(biāo)。對(duì)peig, 輸出的E 是由自相關(guān)矩陣的特征值所組成的向量,V
11、是由特征向量組成的矩陣。V的列向量張成了噪聲子空間,V的行數(shù)減去列數(shù)即是信號(hào)子空間的維數(shù)。,(二)有關(guān)AR模型參數(shù)估計(jì)的文件: 包括:aryule, arburg, arcov 及 armcov。 8. aryule.m 用自相關(guān)法(即Yule-Walker法)估 計(jì)AR模型的參數(shù),其基本調(diào)用格式是: a, E = aryule(x, order), a, E,k = aryule(x, order),9. arburg.m 用Burg算法估計(jì)AR模型的參數(shù), 其基本調(diào)用格式是: a, E = arburg(x, order) a, E,k = arburg(x, order) 10. arc
12、ov.m 用方差方法估計(jì)AR模型的參數(shù), 其基本調(diào)用格式是: a, E = arcov(x, order),11. armcov.m 用改進(jìn)的方差方法估計(jì)AR模型 的參數(shù),其基本調(diào)用格式是: a, E = armcov(x, order) x :信號(hào)向量;order:模型的階次; a:AR模型系數(shù)向量; E:AR模型輸入白噪聲的功率,或order階線 性預(yù)測(cè)器的最小預(yù)測(cè)誤差。 k: 反射系數(shù)向量。,(三)有關(guān)線性預(yù)測(cè)的MATLAB文件 lpc : 用來計(jì)算線性預(yù)測(cè)系數(shù)。 a=lpc(x, order); 其作用等同于 aryule; ac2poly :由自相關(guān)函數(shù)求線性預(yù)測(cè)系數(shù) a, E=ac2poly(R); 14. Poly2ac: 由線性預(yù)測(cè)系數(shù)求自相關(guān)函數(shù)。 Rpoly2ac(a, E);,ac2rc 由自相關(guān)函數(shù)得到反射系數(shù)及。 k, R0=ac2rc(R); 16 rc2ac 由反射系數(shù)及得到自相關(guān)函數(shù)。 Rrc2ac(k, R0); 17 poly2rc 由線性預(yù)測(cè)系數(shù)得到反射系數(shù) k=poly2rc(
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