1、,第九章 應力狀態與 強度理論,材料力學,第九章 應力狀態與強度理論,91 引言 92 二向應力狀態分析解析法 93 二向應力狀態分析圖解法,94 三向應力狀態簡介,95 廣義虎克定律,96 復雜應力狀態的應變能密度,98 莫爾強度理論,97 四種常用的強度理論,9 引 言,應力狀態與強度理論,一、引言,1、鑄鐵與低碳鋼的拉、壓、扭試驗現象是怎樣產生的？,鑄鐵,2、組合變形桿將怎樣破壞？,四、普遍狀態下的應力表示,三、單元體：單元體構件內的點的代表物，是包圍被研究點的無限小的幾何體，常用的是正六面體。 單元體的性質a、各側面上，應力均布； b、平行面上，應力相等, 方向相反。,二、一點的應力狀

2、態： 過一點有無數的截面，這一點的各個截面上應力情況的集合，稱為這點的應力狀態（State of Stress at a Given Point）。,應力狀態與強度理論,x,y,z,s,x,sz,s,y,五、切應力互等定理（Theorem of Conjugate Shearing Stress): 過一點的兩個正交面上,如果有與相交邊垂直的切應力分量,則兩個面上的這兩個切應力分量一定等值、方向相對或相離。,應力狀態與強度理論,五、原始單元體（已知單元體）：,例1 畫出下列圖中的A、B、C點的已知單元體。,應力狀態與強度理論,六、主單元體、主面、主應力：,主單元體(Principal body

3、)： 各側面上切應力均為零的單元體。,主平面(Principal Plane)： 切應力為零的截面。,主應力(Principal Stress ）： 主平面上的正應力。,主應力排列規定：按代數值大小，,s1,s2,s3,x,y,z,sx,sy,sz,應力狀態與強度理論,單向應力狀態（Unidirectional State of Stress）： 一個主應力不為零的應力狀態。,二向應力狀態（Plane State of Stress）： 一個主應力為零的應力狀態。,三向應力狀態（ ThreeDimensional State of Stress）： 三個主應力都不為零的應力狀態。,應力狀態與強

4、度理論,92 二向應力狀態分析解析法,應力狀態與強度理論,規定： 截面外法線同向為正； t a繞研究對象順時針轉為正； a逆時針為正。,圖1,一、任意斜截面上的應力,已知：x, sy 拉正壓負； t xy 繞研究對象順時針轉為正；,圖2,設：斜截面面積為S，,應力狀態與強度理論,圖1,由分離體平衡得：,考慮切應力互等和三角變換：,a,a,應力狀態與強度理論,圖1,得：,同理, 由分離體平衡：,得：,任意斜截面應力sa, ta可求, 隨a而變.,應力狀態與強度理論,二、極值應力,sa 隨a而變.,主平面法線與X軸夾角:,可求出相差90的兩個a0 ,定兩個互相垂直平面,分別對應最大、最小主應力:,

5、應力狀態與強度理論,(max)在切應力相對的象限內， 且偏向于x 及y大的一側。,極值切應力所在面 (法線與X軸夾角):,應力狀態與強度理論,例2 分析受扭構件的破壞規律。,解：確定危險點并畫其原 始單元體,求極值應力,O,應力狀態與強度理論,破壞分析,鑄鐵,應力狀態與強度理論,93 二向應力狀態分析圖解法,對上述方程消去參數（2），得：,一、應力圓（ Stress Circle）,此方程曲線為圓應力圓（或莫爾圓),應力狀態與強度理論,建立應力坐標系，如下圖所示， （注意選好比例尺）,二、應力圓的畫法,在坐標系內畫出點A( x，xy)和B(y，yx),AB與sa 軸的交點C便是圓心。,以C為圓

6、心，以AC為半徑畫圓應力圓；,應力狀態與強度理論,三、單元體與應力圓的對應關系,點面對應,轉向相同,轉角二倍,應力狀態與強度理論,四、在應力圓上標出極值應力,應力狀態與強度理論,例3 求圖示單元體的主應力及主平面的位置。(單位：MPa),A,B,解：主應力坐標系如圖,AB的垂直平分線與sa 軸的交點C便是圓心，以C為圓心，以AC為半徑畫圓應力圓,s1,s2,在坐標系內畫出點,應力狀態與強度理論,s1,s2,主應力及主平面如圖,A,B,應力狀態與強度理論,解法2解析法：分析建立坐標系如圖,應力狀態與強度理論,如圖，已知梁發生剪切彎曲（橫力彎曲），其上M、Q0，試確定截面上各點主應力大小及主平面位

7、置。,單元體：,五、梁的主應力及主應力跡線,應力狀態與強度理論,1,s1,s3,s3,s1,s3,4,s1,s1,s3,5,a0,45,a0,應力狀態與強度理論,主應力跡線（Stress Trajectories)：,實線表示拉主應力跡線；,虛線表示壓主應力跡線。,主應力方向線的包絡線曲線上每一點的切線都指示 著該點的拉主應力方位（或壓主應力方位）。,兩組曲線正交.,應力狀態與強度理論,x,y,主應力跡線的畫法：,1,1 截面,2,2 截面,3,3 截面,4,4 截面,i,i 截面,n,n 截面,應力狀態與強度理論,94 三向應力狀態簡介,1、空間應力狀態,應力狀態與強度理論,2、三向應力分析

8、,彈性理論證明，圖a單元體內任意一點任意截面上的應力都對應著圖b的應力圓上或陰影區內的一點。,圖a,圖b,整個單元體內的最大切應力為：,應力狀態與強度理論,例4 求圖示單元體的主應力和最大切應力。（MPa）,解：由單元體圖知：y z面為主面,建立應力坐標系如圖，畫應力圓和點1,得:,50,40,30,A,B,C,應力狀態與強度理論,76 平面應變分析,一、疊加法求應變分析公式,剪應變： 直角的增大為正！,已知構件任一點處應變ex、ey、gxy。,正應變： 拉正壓負。,將坐標系轉a角，得到新的XOY坐標.,求 X 坐標方向的線應變 ea 和 XOY 角的剪應變 ga .,因為小變形、線彈性，可分

9、別算出 ex , ey， gxy 單獨存在時的線應變和剪應變，再用疊加原理求它們同時存在時的ea，ga .,應力狀態與強度理論,應力狀態與應變狀態,應力狀態與應變狀態,應力狀態與應變狀態,應力狀態與應變狀態,2、已知一點A的應變（ ），畫應變圓,二、應變分析圖解法應變圓（ Strain Circle）,1、應變圓與應力圓的類比關系,建立應變坐標系如圖,在坐標系內畫出點 A(x，xy/2) B(y，-yx/2),AB與a 軸的交點C便是圓心,以C為圓心，以AC為半徑畫圓應變圓。,應力狀態與應變狀態,三、方向上的應變與應變圓的對應關系,n,應力狀態與應變狀態,四、主應變數值及其方位,應力狀態與應變

10、狀態,例5 已知一點在某一平面內的 1、 2、 3、方向上的應變 1、 2、 3，三個線應變，求該面內的主應變。,解：由,i =1,2,3這三個方程求出 x， y， x y；然后在求主應變。,應力狀態與應變狀態,(剪應變不易測)。,例6 用45應變花測得一點的三個線應變后，求該點的主應變。,應力狀態與應變狀態,95 廣義虎克定律,一、單拉下的應力-應變關系,二、純剪的應力-應變關系,應力狀態與強度理論,三、復雜狀態下的應力 - 應變關系,依疊加原理,得:,sz,sy,sx,應力狀態與強度理論,主應力 - 主應變關系,四、平面狀態下的應力-應變關系:,方向一致,應力狀態與強度理論,主應力與主應變

11、方向一致?,應力狀態與強度理論,五、體積應變與應力分量間的關系,體積應變：,體積應變與應力分量間的關系:,應力狀態與強度理論,例7 已知一受力構件自由表面上某一點處的兩個面內主應變分別為：1=24010-6， 2=16010-6，彈性模量E=210GPa，泊松比為 =0.3， 試求該點處的主應力及另一主應變。,所以，該點處的平面應力狀態,應力狀態與強度理論,應力狀態與應變狀態,例8 圖a所示為承受內壓的薄壁容器。為測量容器所承受的內壓力值，在容器表面用電阻應變片測得環向應變 t =350l06，若已知容器平均直徑D=500 mm，壁厚=10 mm，容器材料的 E=210GPa，=0.25，試求

12、:1.導出容器橫截面和縱截面上的正應力表達式；2.計算容器所受的內壓力。,應力狀態與應變狀態,s1,sm,p,O,圖a,1、軸向應力:(longitudinal stress),解：容器的環向和縱向應力表達式,用橫截面將容器截開，受力如圖b所示,根據平衡方程,應力狀態與應變狀態,用縱截面將容器截開，受力如圖c所示,2、環向應力：(hoop stress),3、求內壓（以應力應變關系求之）,應力狀態與應變狀態,96 復雜應力狀態的應變能密度,應力狀態與應變狀態,稱為形狀改變比能或歪形能。,應力狀態與應變狀態,稱為體積改變比能。,例9 用能量法證明三個彈性常數間的關系。,純剪單元體的比能為：,純剪

13、單元體比能的主應力表示為：,應力狀態與應變狀態,一、概述：,97 四種常用的強度理論,強度理論,1、鑄鐵與低碳鋼的拉、壓、扭試驗,鑄鐵,2、組合變形桿將怎樣破壞？,確定破壞（極限）應力，得許用應力，建立相應的強度條件，,（一）、簡單變形時強度條件的建立：,（二）、強度理論：是關于“構件發生強度失效起因”的假說。,1、伽利略播下了第一強度理論的種子；,（三）、材料的破壞形式： 屈服 （多為塑性材料）； 斷裂 （多為脆性材料）。,2、馬里奧特關于變形過大引起破壞的論述，是第二強度理論的萌芽；,3、杜奎特（C.Duguet)提出了最大切應力理論；,4、麥克斯威爾最早提出了最大畸變能理論（maximu

14、m distortion energy theory）；這是后來人們在他的書信出版后才知道的。,強度理論,找到原因后，利用簡單應力狀態的實驗結果，建立復雜應力狀態的強度條件。,二、最大拉應力（第一強度）理論：,1、破壞判據：,2、強度準則：,3、適用范圍：適用于破壞形式為脆斷的承受拉應力的構件。,強度理論,認為構件的斷裂破壞是由最大拉應力引起的。當最大拉應力達到單向拉伸的強度極限時，構件就斷了。,（一般是金屬材料，如鑄鐵的單向拉、扭。 不適用單向、兩向壓。）,三、最大伸長線應變（第二強度）理論：,1、破壞判據：,2、強度準則：,3、適用范圍：適用于破壞形式為脆斷的構件。,強度理論,同時考慮了s

15、1、s2、s3，適用于脆性材料（一般非金屬）。 不適用于兩向拉、壓。,認為構件的斷裂破壞是由最大伸長線應變引起的。當最大伸長線應變達到單向拉伸試驗下的極限應變時，構件就斷了。,四、最大切應力（第三強度）理論：,1、破壞判據：,3、適用范圍：適用于破壞形式為屈服的構件。,2、強度準則：,強度理論,適用于塑性材料，應用廣泛，形式簡單，概念明確。 缺點：忽略了s2的影響，偏于安全。,認為構件的屈服破壞是由最大切應力引起的。當最大切應力達到單向拉伸試驗的極限切應力時，構件就破壞了。,五、形狀改變比能理論（第四強度理論）（畸變能密度理論）：,1、破壞判據：,2、強度準則,3、適用范圍：適用于破壞形式為屈

16、服的構件。,強度理論,對塑性材料,第四強度理論與試驗結果相當接近,優于第三強度理論.,認為構件的屈服破壞是由形狀改變比能引起的。當形狀改變比能達到單向拉伸試驗屈服時的形狀改變比能時，構件就破壞了。,六、強度理論的選用原則：依破壞形式而定。,1、脆性材料：當最小主應力大于等于零時，使用第一理論；,3、簡單變形時：一律用與其對應的強度準則。如扭轉，都用：,2、塑性材料：當最小主應力大于等于零時，使用第一理論；,4、破壞形式還與溫度、變形速度等有關！,當最小主應力小于零而最大主應力大于零時，使用莫爾理論。,當最大主應力小于等于零時，使用第三或第四理論。,其它應力狀態時，使用第三或第四理論。,強度理論

17、,七、相當應力：（強度準則的統一形式）。,其中，r相當應力。,強度理論,解：危險點A的應力狀態如圖：,例1 直徑為d=0.1m的圓桿受力如圖,T=7kNm,P=50kN, 為鑄鐵構件，=40MPa,試用第一強度理論校核桿的強度。,故，安全。,強度理論,例2 薄壁圓筒受最大內壓時,測得x=1.8810-4, y=7.3710-4,已知鋼的E=210GPa，=170MPa,泊松比=0.3，試用第三強度理論校核其強度。,解：由廣義虎克定律得:,所以，此容器不滿足第三強度理論。不安全。,強度理論,98 莫爾強度理論,莫爾認為：最大切應力是使物體破壞的主要因素，但滑移面上的摩擦力也不可忽略（莫爾摩擦定律）。綜合最大切應力及最大正應力的因素，莫爾得出了他自己的強度理論。,強度理論,近似包絡線,極限應力圓的包絡線,O,t,s,一、兩個概念：,1、極限應力圓：,2、極限曲線：極限應力圓的包絡線（envel