第12講與相交有關(guān)概念及平行線的判定

【解】⑴；OE、OF平分N50C、ZAOC：.ZEOC=-ZBOC,ZFOC

考點(diǎn)?方法?破譯2

1.了解在平面內(nèi)，兩條直線的兩種位置關(guān)系：相交與平行.

=-ZAOC：.ZEOF=ZEOC+ZFOC=-ZBOC+-ZAOC=

2.掌握對頂角、鄰補(bǔ)角、垂直、平行、內(nèi)錯(cuò)角、中旁內(nèi)角的定義，并能用222

圖形或幾何符號表示它們.；(ZBOC+ZAOC)又；N3OC+NAOC=180°AZEOF=iX180°=

3.掌握直線平行的條件，并能根據(jù)直線平行的條件說明兩條直線的位置關(guān)

系.90°⑵NBOE的余角是：ZCOF.ZAOF；N50E的補(bǔ)角是：ZAOE.

經(jīng)典?考題?賞析【變式題組】

【例1】如圖，三條直線AB、CD、E尸相交于點(diǎn)。，一共構(gòu)成哪01.如圖，已知直線A3、CO相交于點(diǎn)。,04平分/EOC,S.ZEOC

幾對對頂角？一共構(gòu)成哪幾對鄰補(bǔ)角？4=100°,則的度數(shù)是（)

【解法指導(dǎo)】A.20°B.40°C.50°

⑴對頂角和鄰補(bǔ)角是兩條直線所形成的圖角.

⑵對頂角：有一個(gè)公共頂點(diǎn)，并且一個(gè)角的兩邊是另一個(gè)角的兩

邊的反向延長線.

GB

⑶鄰補(bǔ)角：兩個(gè)角有一條公共邊，另一邊互為反向延長線.

有6對對頂角.12對鄰補(bǔ)角.

【變式題組】

01.如右圖所示，直線45、CD、E尸相交于P、。、R,貝！|：C■E

（第題圖）

（DZARC的對頂角是,鄰補(bǔ)角1

是J2）中有幾對對頂角，幾對鄰補(bǔ)角？

02.（杭州）已知N1=N2=N3=62°,則N4=.

02.當(dāng)兩條直線相交于一點(diǎn)時(shí)，共有2對對頂角；A______R

B【例3】如圖，直線從心相交于點(diǎn)O,A、B分別是從Z±

當(dāng)三條直線相交于一點(diǎn)時(shí)，共有6對對頂角；/2

的點(diǎn)，試用三角尺完成下列作圖：

當(dāng)四條直線相交于一點(diǎn)時(shí)，共有12對對頂角.fD

⑴經(jīng)過點(diǎn)A畫直線為的垂線.

問：當(dāng)有100條直線相交于一點(diǎn)時(shí)共有對頂角.

⑵畫出表示點(diǎn)B到直線A的垂線

【例2】如圖所示，點(diǎn)。是直線A5上一點(diǎn)，OE、。尸分別平分N50C、

段.

ZAOC.

【解法指導(dǎo)】垂線是一條直

⑴求NEO尸的度數(shù)；

C線，垂線段是一條線段.

⑵寫出N3OE的余角及補(bǔ)角.

【變式題組】

【解法指導(dǎo)】解這類求角大小的問題，要根據(jù)所涉及的角的

01.P為直線/外一點(diǎn)，4、3、C是直線/上三點(diǎn)，且協(xié)=4cm,

定義，以及各角的數(shù)量關(guān)系，把它們轉(zhuǎn)化為代數(shù)式從而求解；

PB=5cm,PC=6cm,則點(diǎn)尸到直線/的距離為（)

AOB

A.4cmB.5cmC.不大于4cmD.不小于6cm⑴求NAOC的度數(shù)；

02如圖，一輛汽車在直線形的公路A3上由A向3行駛，M.N為位于公路兩⑵試說明OD與AB的位置關(guān)系.

側(cè)的村莊；

⑴設(shè)汽車行駛到路43上點(diǎn)尸的位置時(shí)距離村莊M最近.行駛到AB上點(diǎn)Q

的位置時(shí)，距離村莊N最近，請?jiān)趫D中的公路上分別畫出點(diǎn)尸、。的位置.

M,03.如圖，已知A5_L5C于5,DBLEBB,并且

ZCBE:ZABD=1：2,請作出NC3E的對頂角，并

求其度數(shù).

AB

*N

⑵當(dāng)汽車從A出發(fā)向B行駛的過程中，在的路上距離M村越

來越近..在

的路上距離村莊N越來越近，而距離村莊砸來越遠(yuǎn).

【例4】如圖，直線43、C。相交于點(diǎn)O,OE±CD,OF1AB,ZDOF=【例5】如圖，指出下列各組角是哪兩條直線被哪一條直線所截而得到的,

65°,求NBOE和的度數(shù).并說出它們的名稱：

【解法指導(dǎo)】圖形的定義現(xiàn)可以作為判定圖形的依/N1和N2：

據(jù)，也可以作為該圖形具備的性質(zhì)，由圖可得：ZAOF=

90°,OFA.AB.A--------------------BN1和N3：

c'FN1和N6：

【變式題組】/2和N6：

01.如圖，若EO_L43于O,直線C￡)過點(diǎn)O,ZEOD:ZEOB=1：3,求NAOC、

NAOE的度數(shù).廣N2和N4：

N3和N5：

N3和/4：

DOC

02.如圖，O為直線AB上一點(diǎn)，ZBOC=3ZAOC,OC平分NAQD.【解法指導(dǎo)】正確辯認(rèn)同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的思路是:

B

首先弄清所判斷的是哪兩個(gè)角，其次是找到這兩個(gè)角公共邊所在的直線即截線,

其余兩條邊所在的直線就是被截的兩條直線，最后確定它們的名稱.,有“”即有內(nèi)錯(cuò)角.

【解法指導(dǎo)】⑴由NC8O=NAO8,可推得AO〃3C；根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩

【變式題組】直線平行.

01.如圖，平行直線48、C￡）與相交直線E尸，GH相交，圖中的同⑵由N8CZ>+NAOC=180°,可推得AD//BC；根據(jù)同旁

旁內(nèi)角共有（）內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.

-B

A.4對B.8對C.12對D16對⑶由N4C￡>=N5AC可推得A8〃Z>C；根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩

直線平行.

D

【變式題組】

02.如圖，找出圖中標(biāo)出的各角的同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角.F01.如圖，推理填空.

（1）VZA=Z_(已知)

：.AC//ED（)

K2(2)VZC=Z(已知)

J.AC//ED()

⑶,:ZA=Z(已知)B

D

丙C.AB//DF()

02.如圖，AD平分NR4C,EF平分/OEC,且N1=N2,試說明

03.如圖，按各組角的位置判斷錯(cuò)誤的是（）DE與AB的位置關(guān)系.

A.N1和N2是同旁內(nèi)角解:?.,AO是NA4c的平分線（已知）

B.N3和N4是內(nèi)錯(cuò)角：.ZBAC=2Z1（角平分線定義）

C.N5和N6是同旁內(nèi)角又尸平分NDEC（已知）

D.N5和N7是同旁內(nèi)角

【例6】如圖，根據(jù)下列條件，可推得哪兩條直線平行？并說明理由?)

（V）ZCBD=ZADB；4又：N1=N2（已知）

（2）ZBCZ>+ZADC=180°

&ZACD=ZBAC_______/()

【解法指導(dǎo)】圖中有/即即有同/J.AB//DE()

旁內(nèi)

B'C

此時(shí)的圖形為圖⑵.

03.如圖，已知AE平分NCA3,CE平分NACD.ZCAE+ZACE=90°,求證明：假設(shè)圖⑵中的12個(gè)角中的每一個(gè)角都不小于31°

證：AB//CD.則12X31°=372°>360°

］〉'這與一周角等于360。矛盾

所以這12個(gè)角中至少有一個(gè)角小于31°

04.如圖，已知NABC=NACJB,BE平分NA8C,/【變式題組】

C￡)平分NACB,ZEBF=ZEFB,求證：CD//C匕---------D01.平面內(nèi)有18條兩兩不平行的直線，試證：在所有的交角中至少有一

EF.個(gè)角小于11°.

02.在同一平面內(nèi)有2010條直線也％“2010,如果”2〃的，

的JL〃4，。4〃。5.......那么與?2010的位置關(guān)系是______________.

03.已知n(n>2)個(gè)點(diǎn)P”P2,B…P".在同一平面內(nèi)沒有任何三

點(diǎn)在同一直線上,設(shè)S“表示過這幾個(gè)點(diǎn)中的任意兩個(gè)點(diǎn)所作的所有直

---妞此攵就日gC—1C—oC—a?C—1c.__

cp一口如，業(yè)於-J-，*33-*->,04-u,??D5一火！Jw，一___________.

'演練鞏固?反饋提高

【例7】如圖⑴，平面內(nèi)有六條兩兩不平行的直線，試證：在所有的交角中，01.如圖，/EAC=NAOB=90°.下列說法正確的是()

至少有一個(gè)A.a的余角只有N8B.a的鄰補(bǔ)角是NZMC

4

角小于31。."心"http://C.NACF是a的余角D.a與NACF互補(bǔ)

E

第1題圖F第2題圖第4以圖

02.如圖，已知直線AB.CD被直線EF所截，則NEM3的同位角為

圖⑴圖⑵()

A.ZAMFB.NBMFC.NENCD.NEND

03.下列語句中正確的是()

【解法指導(dǎo)】如圖⑵，我們可以將所有的直線移動(dòng)后，使它們相交于同一點(diǎn)，

A.在同一平面內(nèi)，一條直線只有一條垂線

B.過直線上一點(diǎn)的直線只有一條11.如圖，已知5E平分NABO,OE平分NCD3,5.ZE=ZABE+ZEDC.試

C.過直線上一點(diǎn)且垂直于這條直線的直線有且只有一條說明AB//CD?

D.垂線段就是點(diǎn)到直線的距離

04.如圖，N3AC=90。，AO_L3c于。，則下列結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)有（）

①②4。與AC互相垂直③點(diǎn)C到AB的垂線段是線段AB④線段12.如圖，已知BE平分NA3C,CF平分N5C。,

AB的長度是點(diǎn)B到AC的距離⑤垂線段BA是點(diǎn)B到AC的距離⑥AON1=N2,那么直線A3與。的位置關(guān)系如何?

>BD

A.0B.2C.4D.6

05.點(diǎn)A、B、C是直線/上的三點(diǎn)，點(diǎn)尸是直線/外一點(diǎn)，且必1=49，PB=

5cm,PC=&cm,則點(diǎn)尸到直線/的距離是（）

13.如圖，推理填空:

A.4cmB.5cmC.小于4c/nD.不大于4c/n

（1）VZA=（已知）

06.將一副直角三角板按圖所示的方法旋轉(zhuǎn)（直角頂點(diǎn)重合），則NAO3+NOOC

：.AC//ED()

(2)VZ2=（已知）

：.AC//ED()

(3)VZA+=180°(已知)

：.AB//FD.

14.如圖，請你填上一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件..使AD//BC.

第6題圖1第7題圖第9題圖

07.如圖，矩形A5CZ）沿EF對折，且NOE歹=72°,則/AEG=.

08.在同一平面內(nèi)，若直線密〃°2,。3〃。4,…則“1aio.（a1與”10B

不重合）第14題圖

09.如圖所示，直線0、&被直線c所截，現(xiàn)給出下列四個(gè)條件：①N1=N5,

②N1=N7,③N2+N3=180°,@Z4=Z7,其中能判斷a〃匕的條件的

序號是.

10.在同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系有

06.平面上三條直線相互間的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）

A.33.1或3C.1或2或3D.不一定是1,2,3

07.請你在平面上畫出6條直線（沒有三條共點(diǎn)）使得它們中的每條直線都恰好

與另三條直線相交，并簡單說明畫法？

08.平面上有10條直線，無任何三條交于一點(diǎn)，要使它們出現(xiàn)31個(gè)交點(diǎn)，怎么

安排才能辦到？

培優(yōu)升級?奧賽檢測

01.平面圖上互不重合的三條直線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）

A.1,3B.0,1,3C.0,2,3D.0,1,2,309.如圖，在一個(gè)正方體的2個(gè)面上畫了兩條對角線A3、

02.平面上有10條直線，其中4條是互相平行的，那么這10條直線最多能把平AC,那么兩條對角線的夾角等于（）

面分成（）部分.A.60°B.75°C.90°

A.60B.55C.50D.45D.135°

03.平面上有六個(gè)點(diǎn)，每兩點(diǎn)都連成一條直線，問除了原來的6

個(gè)點(diǎn)之外，這些直線最多還有（）個(gè)交點(diǎn).10.在同一平面內(nèi)有9條直線如何安排才能滿足

A.35B.40C.45D.55下面的兩個(gè)條件？

04.如圖，圖上有6個(gè)點(diǎn)，作兩兩連線時(shí)，圓內(nèi)最多有⑴任意兩條直線都有交點(diǎn)；

_______________交點(diǎn).⑵總共有29個(gè)交點(diǎn).

05.如圖是某施工隊(duì)一張破損的圖紙，已知a、b是一個(gè)角的兩第13講平行線的性質(zhì)及其應(yīng)用

邊，現(xiàn)在要在圖紙上畫一條與這個(gè)角的平分線平行的直線，請你幫助這個(gè)施考點(diǎn)?方法?破譯

工隊(duì)畫出這條平行線，并證明你的正確性.1.掌握平行線的性質(zhì)，正確理解平行線的判定與性質(zhì)定理之間的區(qū)別和聯(lián)

系；

2.初步了解命題，命題的構(gòu)成，真假命題、定理；

3.靈活運(yùn)用平行線的判定和性質(zhì)解決角的計(jì)算與證明，確定兩直

線的位置關(guān)系，感受轉(zhuǎn)化思想在解決數(shù)學(xué)問題中的靈活應(yīng)用.

經(jīng)典?考題?賞析

［例1］如圖,四邊形A5C。中，AB//CD,BC//AD,ZA=38°,求NA.50°B.55°C.60°D.65°

D

c的度數(shù).03.施圖，已知尸C〃A8〃OE,Z?：ND：N3=2:3:4,試求Na、NO、ZB

【解法指導(dǎo)】的度數(shù).

兩條直線平行,同位角相等；

兩條直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等；【例2】如圖，已知AB//CD//EF,GC±CF,ZB=60°,ZEFC=45°,

兩條直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ).求N3CG的度數(shù).

平行線的性質(zhì)是推導(dǎo)角關(guān)系的重要依據(jù)之一，必須正確識別圖形的特征，看【解法指導(dǎo)】平行線的性質(zhì)與對頂角、鄰補(bǔ)角、垂直和

清截線，識別角的關(guān)系式關(guān)鍵.角平分線相結(jié)合，可求各種位置的角的度數(shù)，但注意看清角

【解】："：AB//CDBC//AD的位置.

ZA+ZB=180°N3+NC=180。（兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）【解】,：AB//CD//EF：.ZB=ZBCDZF=Z

：.ZA=ZCVZA=38°AZC=38°FC。（兩條直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）又?.?N3=60。NEFC=

45°AZBCD=60°ZFCD=45°又：GC_LC尸

【變式題組】：.ZGCF=90°（垂直定理）AZGCD=90°-45°=45°

01.如圖，已知AO〃3C,點(diǎn)E在3。的延長線上，若NAZ>E=155。，貝!I/O5C:.ZBCG=60°-45°=15°

的度數(shù)為（）【變式題組】

01.如圖，已知AF//BC,且A尸平分NEAB,ZB=48°,則NC的的度數(shù)=

02.如圖，已知NA5C+NAC5=120°,BO、CO分另Ij/ABC、ZACB,OE過點(diǎn)

。與5c平行，貝JN3OC=

03.如圖，已知A3〃MP〃CZ),MN平分NAM。，ZA=40°,ZZ>=50°,求

NNMP的度數(shù).

02.(安徽)如圖，直線//l2,Zl=55°,Z2=65°,則N3為()

【例3】如圖，已知N1=N2,NC=ND.求證：ZA=ZF.

【解法指導(dǎo)】

因果轉(zhuǎn)化，綜合運(yùn)用.

逆向思維：要證明NA=/尸，即要證明。下〃AC.【例4】如圖，已知EG_L5C,ADA,BC,Z1=Z3.

要證明。尸〃AC,即要證明NO+N。3c=180°,求證：AO平分NA4C.

【解法指導(dǎo)】抓住題中給出的條件的目的，仔細(xì)分析\

即：ZC+ZDBC=180°；要證明NC+N。3c

條件給我們帶來的結(jié)論，對于不能直接直接得出結(jié)論\

=180°即要證明Z>8〃EC.要證明OB〃EC即要

證明/1=/3.的條件，要準(zhǔn)確把握住這些條件的意圖.（題目中的：L

證明：；Nl=/2,N2=N3（對頂角相等）所以N1=N3.?.Z>5〃EC（同Z1=Z3）

位角相等?兩直線平行）???NO5C+NC=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）證明：'：EGLBC,AD±BCZEGC=ZADC=90°1

（垂直定義）...EGaAO（同位角相等，兩條直線平行始二一戶——《

VZC=Z￡>：.ZDBC+ZD=180°，。尸〃AC（同旁內(nèi)角，互補(bǔ)兩直線平行）

.?.NA=NF（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）VZ1=Z3，/3=NBA。（兩條直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）’

.?.4。平分/5AC（角平分線定義）

D._____________E_______F

［變式題組］7【變式題組】

01.如圖，已知AC〃尸?//1=令_歲金〃尸Gc/

77/

/FG

（第1題圖）

BE

AC

02.如圖，已知Nl+N2=180°,Z3=ZB.求證：ZAED=ZACBA

A

02.如圖，在△4BC中，CE±AB于E,DF±AB于F,AC//ED,CE平分N

ACB.求證：ZEDF=ZBDF.

R

03.如圖，兩平面鏡a、//的夾角仇入射光線A。平行（第2題圖）

于/?入射到a上，經(jīng)兩次反射后的出射光線03平行y/

于a,則角，等于_________.2*/

d

的關(guān)系，請你從所得四個(gè)關(guān)系中選出任意一個(gè)，說明你探究的結(jié)論的正確性.

3.已知如圖，AB//CD,ZB=40°,CN是NBCE的平分線.CM_LCN,求：Z結(jié)論：⑴⑵

BCM的度數(shù).

(3)(4)

【例6】如圖，已知，AB//CD,則Na、//?、Zy>之間的關(guān)系是

/4+々+4—/%180。A______________B

【解法指導(dǎo)】基本圖形._________R才

【例5】已知，如圖，AB//EF,求證：ZABC+ZBCF+ZCFE=360°p6zP=a+BE

善于從復(fù)雜的圖形中找到基本圖叫運(yùn)用基本圖形的規(guī)律扛五思虬專產(chǎn)

【解法指導(dǎo)】從考慮360。這個(gè)特殊角入手展開聯(lián)想，分析類比，7

【解】過點(diǎn)作〃瓦加:點(diǎn)作：

聯(lián)想周角.構(gòu)造兩個(gè)“平角”或構(gòu)造兩組“互補(bǔ)”的角.EE-4FFG//AB.'AB//EH\y.

過點(diǎn)C作。〃43即把已知條件b聯(lián)系起來，這4Na=Nl（兩直線平檸，內(nèi)錯(cuò)角蝌）又?.?尸G〃4B:.EH"媒N

是關(guān)鍵.\行于同一條直線的兩直線平行），/2=/3又：.R1S//

D

【證明】：過點(diǎn)C作CD//AB'：CD//ABAZl+Z___________L\CCD（平行于同一條直線的兩直線平行）.??N“+N4=180。（兩直線

ABC=180°y平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）.??Na+N7+N〃-N/=N1+N3+N4—“

4-Z1-Z2=Z4+y/=180°

（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）^'：AB//EF,：.CD//EF---------------------

'【變式題組】

（平行

于同一條直線的兩直線平行）N2+NCFE=180。（兩直線平行