課程基本信息學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高二學(xué)期秋季課題等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式教科書(shū)書(shū)名：高中數(shù)學(xué)人教A版選擇性必修第二冊(cè)出版社：人民教育出版社教學(xué)目標(biāo)1.理解等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法；2.掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式并能運(yùn)用公式解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題.教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式

教學(xué)難點(diǎn)：等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程教學(xué)過(guò)程（一）學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.掌握等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)思想方法和過(guò)程，掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式（重點(diǎn)）2、通過(guò)探究討論總結(jié)公式并能簡(jiǎn)單應(yīng)用3、體會(huì)從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生知道這節(jié)課需要掌握的知識(shí)是什么，有目的的去學(xué)習(xí)新知。復(fù)習(xí)引入：?jiǎn)栴}1：回顧等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式復(fù)習(xí)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法問(wèn)題情境：?jiǎn)栴}2：話說(shuō)八戒自西天取經(jīng)回到高老莊，從高員外手里接下了高老莊集團(tuán)，搖身變成了CEO。可是八戒既沒(méi)有悟空的聰明才智，也不像沙僧那樣吃苦耐勞，好景不長(zhǎng)，便因資金周轉(zhuǎn)不靈而陷入窘境，急需大量資金投入。于是想到了向猴哥借錢，悟空痛快的答應(yīng)了，說(shuō)：“第一天給你1萬(wàn)，第二天給你2萬(wàn)，第三天給你3萬(wàn)…第30天給你30萬(wàn)。但是有個(gè)條件，你返還時(shí)第一天返還1元，第二天返還2元，第三天返還4元…以后的每一天返還的金額是前一天的2倍，30天后互不相欠。”豬八戒心想：“第一天出1元入1萬(wàn)，第二天出2元入2萬(wàn)，第三天出4元入3萬(wàn)，這下可發(fā)財(cái)啦！”可轉(zhuǎn)念一想，是不是這猴子在耍我呢？同學(xué)們幫八戒算算到底是他占了大便宜還是孫悟空更有謀略？追問(wèn)1：八戒吸納的資金是多少錢呢？追問(wèn)2：八戒返還給悟空的錢數(shù)呢？追問(wèn)3：讓我們分析一下.如果把每天返還的錢數(shù)看成一個(gè)數(shù)列，我們可以得到一個(gè)等比數(shù)列，它的首項(xiàng)是1，公比是2，求第1天到第30天返還給悟空的錢數(shù)總和就是求這個(gè)等比數(shù)列前30項(xiàng)的和.我們要計(jì)算這個(gè)式子，如果借助計(jì)算器，需要花大量的時(shí)間.追問(wèn)4：還能用什么方法求和呢？學(xué)生：能不能用等差數(shù)列的倒序相加法呢？=1\*GB3①嘗試過(guò)后發(fā)現(xiàn)行不通，因此這個(gè)等比數(shù)列的求和問(wèn)題不能用倒序相加法來(lái)解決.追問(wèn)5：雖然不能用倒序相加法但是求和的根本目的是一樣的，那是什么呢？我們透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，構(gòu)造相同項(xiàng)，消除項(xiàng)與項(xiàng)之間的差異，消除中間項(xiàng)，從而化繁為簡(jiǎn)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.追問(wèn)6：觀察=1\*GB3①式，相鄰兩項(xiàng)有什么特征？引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生觀察，尋求等式規(guī)律，每一項(xiàng)都乘以2，就變成了它的后一項(xiàng).追問(wèn)7：怎樣構(gòu)造相同的項(xiàng)？=1\*GB3①式兩邊同時(shí)乘以2=2\*GB3②追問(wèn)8：兩邊同乘的2是等比數(shù)列的什么？乘2的作用是什么？怎樣才能消項(xiàng)？?jī)蛇呁说?是等比數(shù)列的公比，乘2后所得新等式與原式有29項(xiàng)相同，兩式相減可消去相同項(xiàng)，突破難點(diǎn)。學(xué)生：①②兩式的右邊有很多相同的項(xiàng)，用①的兩邊分別減去②的兩邊，就可以消去這些相同的項(xiàng)，可得約為10.74億設(shè)計(jì)意圖：用廣為流傳的故事，以趣引思,進(jìn)入學(xué)習(xí)情景，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情.

類比探究問(wèn)題3：可以從特殊到一般，得出等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn嗎？追問(wèn)1：兩邊應(yīng)該同乘什么？乘q的作用是什么？引導(dǎo)學(xué)生理解兩邊同乘q的意義所在。追問(wèn)2：兩個(gè)等式相減后，還剩下哪些項(xiàng)，相減后符號(hào)如何？引導(dǎo)學(xué)生觀察剩余項(xiàng)的符號(hào)，認(rèn)識(shí)前n項(xiàng)和公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)。追問(wèn)3：由得到正確嗎？追問(wèn)4:若q=1，{an}是什么數(shù)列，前項(xiàng)和等于什么？引導(dǎo)學(xué)生對(duì)q進(jìn)行分類討論。追問(wèn)5：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式不唯一，等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式也有不同的表達(dá)式嗎？引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的第二種形式。綜合上述的過(guò)程,請(qǐng)總結(jié)一下等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式及推導(dǎo)方法.學(xué)生總結(jié)：教師總結(jié)：這種推導(dǎo)方法我們稱之為“錯(cuò)位相減法”.問(wèn)題4：還有其它推導(dǎo)方法嗎？大家想一想？根據(jù)求和的目的是消除中間項(xiàng)，化繁為簡(jiǎn)。我們還可以發(fā)現(xiàn)既然每一項(xiàng)是前一項(xiàng)的倍，我們可以在第二項(xiàng)后面所有項(xiàng)中提取公因式分類討論后也可得到等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，這個(gè)推導(dǎo)方法體現(xiàn)了方程思想在數(shù)列中的應(yīng)用，同學(xué)們下去可以繼續(xù)思考還有哪些推導(dǎo)方法。設(shè)計(jì)意圖：等比數(shù)列前項(xiàng)和的公式推導(dǎo)關(guān)鍵是變“加”為“減”，學(xué)生不可能獨(dú)立創(chuàng)造出來(lái)，通過(guò)設(shè)問(wèn)精講讓學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的途徑，使學(xué)生由簡(jiǎn)單地模仿和接受，變?yōu)閷?duì)知識(shí)的主動(dòng)認(rèn)知，從而進(jìn)一步提高分析、類比和綜合的能力.公式分析:當(dāng)已知、及時(shí)，用公式；當(dāng)已知、及時(shí)，用公式.公式鞏固：練習(xí)：判斷下列等式是否成立？①②③反思總結(jié)：用公式前需弄清數(shù)列的首項(xiàng)，公比，項(xiàng)數(shù)典例分析例7：已知數(shù)列是等比數(shù)列.（1）若，求；

要求等比數(shù)列的前8項(xiàng)和，可以通過(guò)求和公式或.第一個(gè)公式需要知道，第二個(gè)公式需要知道，根據(jù)題意我們選擇第一個(gè)公式進(jìn)行計(jì)算.因?yàn)椋?（2）若，求；要求等比數(shù)列的前8項(xiàng)和，可以通過(guò)，或者，根據(jù)題意我們知道了，因此可以先求出公比，從而在通過(guò)等比數(shù)列求和公式進(jìn)行計(jì)算.由，可得，.又由，得.所以.追問(wèn)1：能否直接用公式（2）求？可以，但需要先求出公比和.（3）若，求.等比數(shù)列求和公式有兩種，或.每個(gè)公式所需要得基本量各不相同，本題中給出了的值，因此可以通過(guò)公式，聯(lián)系方程思想求出的值.把代入，得.整理，得.解得.追問(wèn)2：對(duì)于等比數(shù)列的相關(guān)量，已知幾個(gè)量就可以確定其他量？等比數(shù)列通項(xiàng)公式結(jié)合前項(xiàng)和公式涉及五個(gè)量，五個(gè)量“知三求二”（方程思想）.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)兩類公式的聯(lián)用深化學(xué)生對(duì)公式的認(rèn)識(shí)和理解，強(qiáng)化方程的思想,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).通過(guò)直接套用公式——變式運(yùn)用公式——研究公式特點(diǎn)這三個(gè)層次的問(wèn)題解決，促進(jìn)學(xué)生新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成．通過(guò)以上形式，讓全體學(xué)生都參與教學(xué).例8：已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為，前項(xiàng)和為，若,求公比.設(shè)計(jì)意圖：精講一題，發(fā)散一串的變式教學(xué),培養(yǎng)學(xué)生分類討論思想，使學(xué)生既鞏固了知識(shí)，又形成了技能．總結(jié)：在等比數(shù)列{an}的五個(gè)量，q，，n，中，與q是最基本的元素，當(dāng)條件與結(jié)論間的聯(lián)系不明顯時(shí)，均可以用與q表示與，從而列方程或方程組求解．在解方程組時(shí)經(jīng)常用到兩式相除達(dá)到整體消元的目的．這是方程思想與整體思想在數(shù)列中的具體應(yīng)用．思考題遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增。其燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？這首古詩(shī)給大家呈現(xiàn)一幅美麗的夜景的同時(shí)，也留給了大家一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，你能