第=page11頁，共=sectionpages11頁2025年陜西省西安市長安區高考數學三模試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={(x,y)|x，y∈Z，且xy=4}，B={(x,y)|x≤y}，則A∩B的子集的個數為(

)A.3 B.4 C.8 D.162.在復平面內，復數z1對應的點與復數z2=3+i2?i對應的點關于實軸對稱，則A.1+i B.?1?i C.?1+i D.1?i3.如圖，向量OA=(4,?1)，OB=(2,4)，若A1，A2，A3，A4為線段AB的5A.(3,32)

B.(6,3)

C.(12,6)4.某學生的QQ密碼是由前兩位是大寫字母，第三位是小寫字母，后六位是數字共九個符號組成.該生在登錄QQ時，忘記了密碼的最后一位數字，如果該生記住密碼的最后一位是奇數，則不超過兩次就輸對密碼的概率為(

)A.110 B.15 C.255.定義“等方差數列”：如果一個數列的各項都是實數，且從第二項起，每一項與它前一項的平方差是相同的常數，那么這個數列就叫做等方差數列，這個常數叫做該數列的公方差.已知各項均為正數的數列{an}是等方差數列，且公方差為3，a1=1，則數列{1A.3 B.6 C.2 D.46.已知曲線C1：y=asin(πx+π4)，C2：y=acos(πx+π4)，其中a>0，點A，B，C是曲線C1A.33 B.12 C.7.已知某圓錐的軸截面是頂角為α的等腰三角形，側面展開圖是圓心角為β的扇形，則當β?α的值最大時，β=(

)A.1 B.2 C.π2?18.函數f(x)的定義域為R，f(3x?1)為是奇函數，且f(x?1)的圖像關于x=1對稱．若曲線f(x)在x=1處的切線斜率為2，則曲線f(x)在x=2023處的切線方程為(

)A.y=?2x+4046 B.y=2x+4046 C.y=2x?4046 D.y=?2x?4046二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.若(x+1)5=aA.a0=1

B.數據a0，a1，a2，a3，a4，a5的30%分位數為5

C.數據a0+1，a1，a2，a3，a410.已知曲線E：x4?y4A.E不是封閉圖形 B.E有4條對稱軸

C.E與坐標軸有4個交點 D.E與直線y=12025x11.隨著時代與科技的發展，信號處理以各種方式被廣泛應用于醫學、聲學、密碼學、計算機科學、量子力學等領域，而信號處理背后的“功臣”就是正弦型函數.已知某種信號的波形可以利用函數f(x)=sin|2x|?|cos2x|的圖象近似模擬，則(

)A.f(x)是非奇非偶函數

B.f(x)的值域為[?2,1]

C.當t∈(?2,?1)時，關于x的方程f(x)=t在區間[0,π]上所有不等實根的和為3π2

D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知向量a，b滿足|a|=2，b=(3,0)，則向量a在向量投影向量的坐標為(12,0)，則|13.已知拋物線C：y2=4x，其中AC，BD是過拋物線焦點F垂直的弦，直線AC的傾斜角為α，當α=45°時，如圖所示的“蝴蝶形圖案(陰影區域)”的面積為______．14.小明參加一項籃球投籃測試，測試規則如下：若出現連續兩次投籃命中，則通過測試；若出現連續兩次投籃不中，則不通過測試.已知小明每次投籃命中的概率均為23，則小明通過測試的概率為______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知a，b，c分別為△ABC三個內角A，B，C的對邊，向量m=(a,b+c)，n=(3sinC+cosC,1)，m?n=2(b+c)．

(1)求A；

(2)若16.(本小題15分)

用數學的眼光看世界就能發現很多數學之“美”.現代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱奇，衡量曲線彎曲程度的重要指標是曲率，曲線的曲率定義如下：若f′(x)是f(x)的導函數，f″(x)是f′(x)的導函數.則曲線y=f(x)在點(x,f(x))處的曲率K=|f″(x)|(1+[f′(x)]2)32．

(1)若曲線f(x)=lnx+x與g(x)=x在(1,1)處的曲率分別為K1，K2，比較17.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，PD⊥AB，PB=PD，底面ABCD是邊長為3的菱形，∠ABC=2π3．

(1)證明：平面PAC⊥平面ABCD；

(2)若平面PAB與平面ABCD所成角的正切值為2，點Q滿足PC=4PQ，求直線CP18.(本小題17分)

對于二次曲線Γ：λx2+μy2=1，我們有：若Q(x′,y′)是曲線Γ上的一點，則過點Q與曲線Γ相切的直線方程為λx′x+μy′y=1.已知橢圓C1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，a2=13b2，動圓C2：x2+y2=r2(b<r<a)，點P(x0,y0)是C1與C2在第一象限的交點．

(1)求橢圓C1的離心率e；

(2)過點P19.(本小題17分)

定義1：若數列{an}滿足①a1=1，②?n≥2，an(an?1)=0，則稱{an}為“兩點數列”；定義2：對于給定的數列{an}，若數列{bn}滿足①b1=1，②bn+1=|an+1?2an|?bn，則稱{bn}為{an}的“生成數列”.已知{a參考答案1.D

2.D

3.C

4.C

5.A

6.D

7.D

8.C

9.ACD

10.ACD

11.BD

12.1013.8

14.162115.解：(1)根據m=(a,b+c)，n=(3sinC+cosC,1)，可得m?n=a(3sinC+cosC)+b+c，

結合題意m?n=2(b+c)，化簡得3asinC+acosC=b+c，

根據正弦定理得3sinAsinC+sinAcosC=sinB+sinC，

因為△ABC中，sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，

所以3sinAsinC+sinAcosC=sinAcosC+cosAsinC+sinC，整理得3sinAsinC=sinC(cosA+1)．

結合△ABC中，sinC≠0，化簡得3sinA?cosA=1，即2sin(A?π6)=1，

在△ABC中，A?π6∈(?π6,5π616.解：(1)f(x)=lnx+x，f′(x)=1x+1，f″(x)=?1x2，

∴f′(1)=2，f″(1)=?1，

∴K1=|?1|(1+22)32=1532；

g(x)=x，g′(x)=12x，g″(x)=?14xx，

∴g′(1)=12，g″(1)=?14．

∴K2=14(1+14)32=25317.解：(1)證明：連接BD交AC于點O，連接PO，

因為ABCD是菱形，所以BD⊥AC，

又因為O為BD的中點，PD=PB，所以PO⊥BD，

又AC，PO?面APC，且AC∩PO=O，所以BD⊥平面APC，

又BD?平面ABCD，所以平面PAC⊥平面ABCD；

(2)過P作PH⊥AC交AC于點H，面APC⊥面ABCD，PH⊥AC，

面APC∩面ABCD=AC，PH?面APC，所以PH⊥面ABCD，

因為AB⊥PD，AB⊥PH，PH，PD?面PHD，PH∩PD=P，所以AB⊥面PHD，

又DH?面PHD，所以AB⊥DH，

所以H為DH，AO的交點，△ABD為等邊三角形，

所以H為△ABD的重心，

設DH與AB交點為M，連接PM，則∠PMH為二面角P?AB?D的平面角，

因為OH=12,MH=12，在△PMH中tan∠PMH=PHMH=2，解得PH=1，

因為PC=4PQ,HC=4HO，所以OQ//PH，所以OQ⊥平面ABCD，

以O為原點，OB，OC，OQ所在直線為x，y，z軸建立如圖坐標系，

則A(0,?32,0),B(32,0,0),C(0,32,0),P(0,?12,1),Q(0,0,34)，

AB=(32,32,0),AQ=(0,32,18.解：(1)因為a2=13b2，

所以e=a2?b2a=12b13b=23913，

則橢圓C1的離心率e=23913；

(2)易知C1：x213+y2=b2，

因為點P(x0,y0)是C1與C2在第一象限的交點，

所以x02+y02=r2113x02+y02=b2，

解得x02=1312(r2?b2)，

因為x0>0，

所以x0=396?r2?b2，b<r<13b，

圓C2：x2+y2=r2在P(x0,y0)處切線19.解：(1)依題意an=1,n為奇數,0,n為偶數,

故bn+1=|an+1?2an|?bn=2bn,n為奇數,bn,n為偶數,

因為b1=1，所以b2=2b1=2，

當n為奇數時，bn+2=bn+1=2bn，

當n為偶數時，bn+2=2bn+1=2bn，即{bn}的奇數項，偶數項分別成