第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年福建省福州市福九聯盟高二（下）期中數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.在等比數列{an}中，a2=2，a5A.?12 B.?14 C.2.下列求導正確的是(

)A.(x+1x)′=1+1x2 B.(xsinx)′=sinx+xcosx3.平潭島是祖國大陸距離臺灣最近的地方，島上的龍鳳頭海濱浴場(沙灘玩?；蛴^賞日出)、猴研島(離臺灣最近地方)、長江澳風車田(日落美景)、殼丘頭遺址博物館(了解南島語族文化)自然風光優美、文化底蘊深厚，是游客喜歡的打卡景點.某天甲、乙、丙三位同學準備從這4個景點任選一個景點游玩，則不同游玩方案的種數為(

)A.24 B.36 C.64 D.814.已知函數f(x)的圖象如圖所示，則f(x)的解析式可以是(

)

A.f(x)=1x2?1 B.f(x)=ln|x|5.已知函數f(x)=ax3+3(a2?2)x+2在x=1A.?2或1 B.2或?1 C.?2 D.16.漸進式延遲退休方案是指采取較緩而穩妥的方式逐步延長退休年齡.對于男職工，新方案將延遲法定退休年齡每4個月延遲1個月，逐步將男職工的法定退休年齡從原六十周歲延遲至六十三周歲.如果男職工延遲法定退休年齡部分對照表如表所示：出生時間1965年1月?4月1965年5月?8月1965年9月?12月1966年1月?4月…改革后法定退休年齡60歲+1個月60歲+2個月60歲+3個月60歲+4個月…那么1970年5月出生的男職工退休年齡為(

)A.60歲5個月 B.60歲6個月 C.61歲5個月 D.61歲6個月7.有4張分別標有數字1，2，3，4的紅色卡片和4張分別標有數字1，2，3，4的藍色卡片，從這8張卡片中取出4張卡片排成一行．如果取出的4張卡片所標數字之和等于10，則不同的排法共有(????)種．A.432 B.384 C.308 D.2888.已知a=ln24，b=1e2，A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a D.c<b<a二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知二項式(2x?1x)n的展開式中各二項式系數和為64A.展開式共有6項 B.二項式系數最大的項是第4項

C.展開式的常數項為120 D.展開式中各項的系數和為110.已知橢圓x24+y2=1的左，右焦點為F1，F2，A，B分別為它的左右頂點，點P為橢圓上的動點(PA.△PF1F2的周長為4+23 B.存在點P使得∠F1PF2=π11.對于函數f(x)=x?ex，下列說法正確的是A.f(x)的最小值為?1e

B.f(x)有兩個零點

C.若點P是函數f(x)圖象上的動點，則點P到直線y=x?1距離的最小值為22

D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知C14x=C144x?113.如圖，將一張8cm×5cm的長方形紙片剪下四個全等的小正方形，使得剩余部分經過折疊能糊成一個無蓋的長方體紙盒，則剪下的小正方形的邊長為______cm時，這個紙盒的容積最大．14.“朗博變形”是借助指數運算或對數運算，將x化成x=lnex，x=elnx(x>0)的變形技巧，已知函數f(x)=xex，g(x)=?四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知數列{an}的前n項和為Sn，對一切正整數n，點(n,Sn)在函數f(x)=x2+2x的圖象上．

(1)求數列{an}的通項公式；

(2)16.(本小題15分)

已知函數f(x)=x2?2lnx．

(1)求f(x)的極值；

(2)證明：f(x)≤17.(本小題15分)

如圖，在四梭錐P?ABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°且AB=2，E，F分別為PD，PB的中點．

(1)求證：PB//平面EAC；

(2)若PB與底面ABCD所成角的正切值為2，求平面CEF與平面ABCD所成角的余弦值．18.(本小題17分)

設函數f(x)=ex?(x?1)2+a(x?1)．

(1)當a=0時，求曲線y=f(x)在x=1處的切線方程；

(2)若g(x)=f(x)+(x?1)2，討論g(x)在(0,+∞)上的單調性；

(3)19.(本小題17分)

在一個有窮數列的每相鄰兩項之間插入這兩項的乘積，形成一個新數列，我們把這樣的操作稱為該數列的一次“J延拓”.如數列1，2第一次“J延拓”后得到數列1，2，2，第二次“J延拓”后得到數列1，2，2，4，2.將數列a，b，c經過n次“J延拓”后所得數列的項數記為Pn，所有項的乘積記為Qn．

(1)給定數列1，2，?1，回答下列問題：

①寫出該數列的第一次與第二次“J延拓”后得到的數列，并求出P2與Q2的值；

②將定數列1，2，?1經過n次“J延拓”后所得數列的項數記為Pn，現將P1，P2，P3，…，Pn構成數列{Pn}，求i=1ni×(Pi?1)的值；

(2)已知數列a，b，c，其中a，b，參考答案1.A

2.B

3.C

4.B

5.C

6.C

7.A

8.C

9.BD

10.ABD

11.ACD

12.35

13.1

14.1

15.解：(1)對一切正整數n，點(n,Sn)在函數f(x)=x2+2x的圖象上，

可得Sn=n2+2n，

即有a1=S1=3，

當n≥2時，an=Sn?Sn?1=n2+2n?(n?1)2?2(n?1)=2n+1，

上式對n=1也成立，

則an=2n+1，n∈N?；

(2)若數列{bn}滿足bn=2an=22n+1，

則數列{an+bn}的前n項和Tn=(3+5+...+2n+1)+(8+32+...+22n+1)

=n2+2n+8(1?4n)1?4=n2+2n+13(22n+3?8)．

16.解：(1)函數的定義域為(0,+∞)，f′(x)=2x?2x=2(x+1)(x?1)x，

當x∈(0,1)時，f′(x)<0，f(x)單調遞減，當x∈(1,+∞)時，f′(x)>0，f(x)單調遞增，

則當x=1時，函數f(x)取得極小值，且極小值為f(1)=1，無極大值；

(2)證明：要證f(x)≤x2+2x?2，即證?2lnx≤2x?2，即證lnx+1x?1≥0，

設g(x)=lnx+1x?1(x>0)，則g′(x)=1x?1x2=x?1x2，

易知當x∈(0,1)時，g′(x)<0，g(x)單調遞減，當x∈(1,+∞)時，g′(x)>0，g(x)單調遞增，

則g(x)≥g(1)=0，即lnx+1x?1≥0，即得證．

17.解：(1)證明：連接BD，交AC與點O，連接EO，

因為底面ABCD是菱形，所以點O是BD的中點，

又因為E為PD的中點，所以EO//PB，

因為EO?平面EAC，且PB?平面EAC，EO//PB，

因此PB//平面EAC；

(2)因為PA⊥平面ABCD，所以PB在平面ABCD上的射影為AB，

所以∠PBA為PB與底面ABCD18.解：(1)當a=0時，f(x)=ex?(x?1)2，∵f(1)=e1?(1?1)2=e，即切點為(1,e)，

∵f′(x)=ex?2(x?1)，則切線的斜率k=f(1)=e，∴切線的方程為y?e=e(x?1)，即y=ex．

(2)依題意g(x)=f(x)+(x?1)2=ex+a(x?1)定義域為(0,+∞)，∴g′(x)=ex+a，

①若a≥0，則?x∈(0,+∞)，g(x)>0，即g(x)在(0,+∞)上單調遞增，

②若a<0，由g(x)=0，則x=ln(?a)，當?1≤a<0時，則ln(?a)≤0，g(x)>0，g(x)在(0,+∞)上單調遞增，

當a<?1時，則ln(?a)>0，0<x<ln(?a)時，g(x)<0，x>ln(?a)時，g′(x)>0，

即g(x)在區間(0,ln(?a))上單調遞減，在區間(ln(?a),+∞)上單調遞增，

綜上所述：當a≥?1時，g(x)在(0,+∞)上單調遞增；

當a<?1時，g(x)在區(0,ln(?a))間單調遞減，在區間(ln(?a),+∞)上單調遞增；

(3)∵f(0)=e0?(0?1)2+a(0?1)=?a，依題意當x≥0時，f(x)≥f(0)，

整理可得ex?(x?1)2+ax≥0(?)，當x=0時，e0?(0?1)2+a×0=0，

∴a∈R(?)成立①，當x>0時，(?)可變式為a≥(x?1)2?exx成立，

設?(x)=(x?1)2?exx(x>0)，等價于a≥[?(x)]max--②，

∵?′(x)=[2(x?1)?ex]?x?[(x?1)2?ex]x2=(x?1)(x+1?ex)x2，

設g(x)=x+1?ex，∵g′(x)=1?ex，∵x>0，∴ex>1??ex<?1?1?ex<0，g′(x)<0，

則g(x)在區間(0,+∞)上單調遞減，g(x)<g(0)=0+1?e0=0，

因為0<x<1時，?‘(x)>0，x>1時，?′(x)<0，

∴?(x)在區間在(0,1)單調遞增，在區間(1,+∞)在單調遞減，

則[?(x)]max=?(1)