圖論及其應用匯報人:目錄01圖論的基本概念03圖論算法02圖的分類04圖論的應用圖論的基本概念01圖的定義與表示圖的鄰接矩陣表示圖的數學定義圖由頂點集合和邊集合組成，頂點間通過邊相連，用于表示對象間的關系。通過一個二維矩陣來表示圖中各頂點之間的連接關系，矩陣中的元素表示邊的權重。圖的鄰接表表示鄰接表是一種用鏈表來表示圖中每個頂點相鄰頂點的列表，適用于稀疏圖的表示。路徑與回路路徑是圖中頂點的一個序列，其中每對相鄰頂點之間都由邊相連，代表從起點到終點的路線。路徑的定義01回路是起點和終點相同的路徑，它至少包含一條邊，并且不包含重復的頂點，是閉合的路徑。回路的特性02樹與森林樹是一種無環連通圖，每個節點都與其它節點相連，但沒有環路存在。樹的定義01樹中任意兩個節點之間有且僅有一條簡單路徑，樹的邊數總是比節點數少一。樹的性質02森林是由多棵樹組成的圖，每棵樹是連通的，但樹與樹之間沒有邊相連。森林的概念03在計算機網絡中，樹結構用于表示網絡拓撲，如無線傳感器網絡的布局。樹的應用實例04連通性與割點連通圖是指圖中任意兩個頂點都存在路徑相連的圖，是圖論中的基礎概念之一。連通圖的定義通過深度優先搜索（DFS）或Tarjan算法可以有效地識別出無向圖中的所有割點。割點的識別方法割點，又稱割頂，是指在無向圖中，移除該點及其相關邊后，圖的連通性會受到影響。割點的概念010203圖的分類02無向圖與有向圖01無向圖的定義無向圖由節點和連接節點的邊組成，邊沒有方向，例如社交網絡中的朋友關系圖。03無向圖的應用實例在城市交通規劃中，道路連接的圖通常被視為無向圖，因為道路可以雙向通行。02有向圖的定義有向圖同樣由節點和邊組成，但邊具有方向性，如網頁鏈接構成的網絡圖。04有向圖的應用實例在互聯網中，網頁之間的鏈接關系可以用有向圖來表示，因為鏈接具有明確的指向性。加權圖與非加權圖加權圖的邊帶有權重，表示連接頂點間的關系強度；非加權圖的邊無權重，僅表示連接。定義與區別01加權圖常用于表示道路網絡，其中權重可代表距離或時間；非加權圖適用于社交網絡分析。應用場景舉例02加權圖的算法如Dijkstra或A*需考慮權重；非加權圖算法如BFS或DFS則無需考慮。算法處理差異03平面圖與非平面圖非平面圖無法在平面上繪制而不讓邊相交，例如著名的K5完全圖。非平面圖的特征平面圖是指可以在平面上畫出而各邊不相交的圖，如地圖的繪制。平面圖的定義完全圖與部分圖完全圖是圖論中的一個概念，指的是圖中任意兩個不同的頂點之間都存在一條邊相連。完全圖的定義部分圖是圖論中的一個概念，指的是從一個圖中選取一些頂點和邊構成的子圖。部分圖的定義在社交網絡分析中，完全圖可以用來表示一個群體中所有成員之間的相互關系。完全圖的應用實例在電路設計中，部分圖可以用來表示電路板上各個組件之間的連接關系。部分圖的應用實例圖論算法03最短路徑算法Dijkstra算法Dijkstra算法用于在加權圖中找到兩點間的最短路徑，廣泛應用于網絡路由和地圖導航。A*搜索算法A*算法結合了最佳優先搜索和Dijkstra算法，常用于游戲開發和路徑規劃，以找到最優路徑。最小生成樹算法普里姆算法通過逐步增加邊和頂點來構建最小生成樹，適用于稠密圖。普里姆算法（Prim'sAlgorithm）克魯斯卡爾算法按邊的權重順序選擇邊，避免形成環，適用于稀疏圖。克魯斯卡爾算法（Kruskal'sAlgorithm）在設計通信網絡時，使用最小生成樹算法可以最小化布線成本，保證網絡連通性。應用案例：網絡設計電路板設計中，最小生成樹算法用于優化電路路徑，減少材料使用，降低成本。應用案例：電路板設計網絡流算法Ford-Fulkerson方法是一種尋找網絡中最大流的算法，通過不斷尋找增廣路徑來增加流的總量。Ford-Fulkerson方法Edmonds-Karp算法是Ford-Fulkerson方法的一個實現，它使用廣度優先搜索來尋找增廣路徑，保證了多項式時間復雜度。Edmonds-Karp算法最大流最小割定理是網絡流算法的基礎，它表明在任何網絡中，最大流的值等于最小割的容量。最大流最小割定理01、02、03、匹配與覆蓋算法最大匹配算法最大匹配算法旨在找出圖中邊數最多的匹配，如匈牙利算法在二分圖中尋找最大匹配。0102最小覆蓋集最小覆蓋集算法用于找出圖中包含所有頂點的最小邊集，例如在社交網絡中找到最小的影響力集合。03最大獨立集最大獨立集算法尋找圖中互不相鄰的最大頂點集合，常用于資源分配問題。04頂點覆蓋算法頂點覆蓋算法旨在找出最小數量的頂點，使得圖中每條邊至少有一個端點被覆蓋，例如在網絡安全中檢測關鍵節點。圖論的應用04計算機網絡圖論用于設計網絡的拓撲結構，如星型、環型、總線型等，確保網絡的高效與穩定。網絡拓撲結構設計圖論中的最短路徑算法如Dijkstra或Bellman-Ford被用于優化路由器的路徑選擇，減少延遲。路由算法優化社交網絡分析社交網絡分析中，社區發現用于識別網絡中的緊密連接群體，如Facebook的好友群組。社區發現通過圖論模型，研究信息如何在網絡中傳播，例如推特上的熱門話題如何迅速擴散。影響力傳播分析社交網絡的拓撲結構，揭示關鍵節點和連接模式，如LinkedIn的職業網絡結