盧克謙編高中數學教學案例集萃（一）

關鍵詞：高中數學；教學；案例

高中數學教學案例，是廣大數學教師教學經驗的總結，在新課改過程中，廣

大教師辛勤勞動，勇于創新，積累了許多成功的方法，值得我們借鑒。這里所收

集的，來源于教師提供和網絡收集，因多重輾轉，可能有所遺漏，尤其是一些數

式、圖片、公式、表格，可能被丟失，遺憾不少。因此，案例只能供大家參考。

2010年6月

目錄

直線的斜率

正弦定理（1）

正弦定理（2）

等差數列

等差數列的前n項和

等比數列的前n項和

簡單的線性規劃問題

拋物線及其標準方程

圓錐曲線定義的運用

空間兒何體的三視圖及其表面積和體積

“直線方程的一般式”一課教學感悟

教學與生活的一點隨想

函數應用教學中滲透研究式的學習

信息技術與數學新課程教學

新教材使用中的經驗體會

直線的斜率（1）

史春生

一、案例背景

《高中數學課程標準》指出“學生的數學學習活動不應只限于接受、記憶、

模仿和練習，高中數學課程還應倡導自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學

等學習數學的方式。這些方式有助于發揮學生的主動性，使學生的學習過程成為

在教師引導下的“再創造”過程。”，“高中數學課程應該反璞歸真，努力揭示

數學概念、法則、結論的發展過程和本質。數學課程要講邏輯推理，更要講道理,

通過典型例子的分析和學生自主探索活動，使學生理解數學概念、結論逐步形成

的過程，體會蘊涵在其中的思想方法，追尋數學發展的歷史足跡，把數學的學術

形態轉化為學生易于接受的教育形態?！鄙鲜鼍癖磉_了數學教學的新理念，

即堅持以學生為主體，教師為主導。在這種理念下，數學的課堂教學應該是豐富

多彩的學生創造性的活動。可是，卻有很多學生對數學不大感興趣，覺得數學很

難學，很枯燥。我覺得其中的一個原因是：在課堂教學中，教師沒有創設適當的

問題情境，來激發學生的求知欲?！皢栴}教學法”正是以問題為主線，引導學生

主動探究，體驗數學發現和構建的過程，完全符合新課程標準的理念。因此，“問

題教學法”在高中數學新課程的教學中尤顯重要。下面，我結合直線的斜率的內

容就新課標下高中數學問題教學法談一些個人體會。

二、案例過程

（一）、創設情境，引入課題

師：同學們騎自行車上坡時很吃力，這與坡的什么有關?

課件：

生：與坡的平緩和陡有關。

師：我們分析一下坡的平緩和陡問題。

先請同學們來觀察下面兩幅圖片:

課件:

如圖是兩張不同的樓梯圖。

問題1:其中的樓梯有什么不同？

生：樓梯的平緩和陡程度不同。

問題2：用什么量來刻畫樓梯的平緩和陡呢？

（提示：觀察樓梯下面兩個三角形）

生：用高度和寬度的比值來反映。

師：-一般地：高度和寬度的比值就叫坡度。

即：篝=坡度

所以樓梯的傾斜程度是由坡度來刻畫的，坡度越大，樓梯越陡。

（二）、歸納探索，形成概念

1.借助模型，直觀感知

課件：給出一個樓梯模型

樓梯上面有--條直線，直線就反映坡度。

K設計意圖X從模型直觀感知直線的斜率，完成直線的斜率的感性認識。

問題3：樓梯的傾斜程度用坡度來刻畫，那么直線的傾斜程度用什么量來刻畫

呢？

（對第三個問題，學生議論紛紛，部分學生不知道如何準確回答）

2.通過探究，形成概念

師：研究直線的傾斜程度可以借助直角坐標系。

（師生共同探究，得出直線的斜率嚴格的定義，板書定義。引導學生找出定義

中的關鍵）

直線的傾斜程度=半=把

寬度,這個比值就叫直線的斜率。（常用字母K表示）

即:K嗡

K設計意圖》使學生體會通過實際問題如何抽象出具體的數學概念的數學過程。

（三）、掌握概念，適當延展

問題4：如何用點的坐標形式來表示斜率呢？

5y2）?如果xiWxz,則直線PQ的斜率為：

V2）

山K=^^-

二Ayx二橫縱坐標增量

%2~X\

（斜率的兒何意義）

K設計意圖》把對直線的斜率的認識由感性上升到理性認識的高度,完成對概念

的更深層次的認識。

問題5：直線斜率會因為點取的不同而改變嗎？

生：另取兩點說明問題

P（不會改變）

問題6：是不是所有的直線都有斜率？

（一些學生說是的，一些學生說不是的。叫了一個說不是的學生發表一下支持自

己觀點的理由）

生：垂直于x軸的直線斜率不存在。

1.讓學生分析、解決問題

課件：

例1.如圖直線UM都經過點p(2,3),XIJJJ.

別經過點Qi(-2,1),Q2(4,1),Q3(5,3),Q4(2,5)，討論兒歷內，〃斜率是否存在,

如果存在，求出直線的斜率。

(學生板演，然后由學生評價。給了學生足夠的思考時間，兒個學生發表了自己

的看法，全班討論、分析，達成共識)

教師強調書寫格式和注意點。然后引導學生小結：

已知不垂直于x軸的直線上任意兩點就可以求出斜率。

2.分別通過代數和幾何角度研究直線的斜率

例2：經過點A(3,2)畫直線，使直線的斜率分別為

]__2

①0,②不存在，③2,④3

解:①過(3,2),(0,2)畫一條直線即得。②過(3,2),(3,0)畫一條直線即得。

③(法一：待定系數法)

設直線上另一個點為(x,0),則：

所以過點(3,2)和(2,0)畫直線即可

說明：也可設點為(0,y)或其它特殊點。

(法二：利用斜率的兒何意義)

K=包

根據斜率公式一AJ斜率為2表示直線上的任一點沿x軸方向向右平移1

個單位，再沿y軸方向向上平移2個單位后仍在此直線上即可以把點(3,2)

向右平移1個單位，得到點(4,2),

再向上平移2個單位后得到點(4,4),因此通過點(3,2),(4,4)畫直線即得。

④將點(3,2)向右平移3個單位，再向下平移2個單位后得到點(6,0),

過(3,2)和(6,0)畫直線即為所求。

K設計意圖X初步掌握代數和幾何角度求直線的斜率的方法和步驟。用代數方法

研究圖形的兒何性質，培養學生數形結合的數學思想。

（四）、歸納小結，提高認識

教師小結：

（1）直線的斜率:定義、斜率公式、兒何意義、求法。

（2）斜率是反映直線的傾斜程度，在同一條直線上任何不同的兩點所確定的斜率

相等。

（3）直線的斜率公式的應用，體現了平面解析兒何的本質是:用代數方法研究圖

形的兒何性質，體現了數形結合的重要數學思想。

（由于時間不夠，也沒能由學生做課堂小結）

三、案例分析

（-）本節課的設計分析

1、教學難點的確定

過兩點的直線斜率的計算公式的推導.

2、教學目標的確定

根據本課教材的特點、新課標對本節課的教學要求以及學生的認知水平，從

知識與技能、過程與方法、情感態度價值觀三個方面確定了教學目標.

（1）知識與技能：理解直線的斜率的概念及過兩點的直線斜率的計算公式；

掌握直線的傾斜角的概念及傾斜角的范圍.

（2）過程與方法：從生活實際出發，引導學生探索直線的斜率的概念，滲透數

形結合的思想方法，；通過對直線的斜率概念的研究，培養學生的主動探

究知識、合作交流的意識;培養學生發現問題、分析問題、解決問題的能力。

提高學生的觀測、探究、分析問題、解決問題的能力.

（3）情感態度價值觀：通過知識的探究過程培養學生細心觀察、認真分析、嚴

謹論證的良好思維習慣，讓學生感知從具體到抽象，從特殊到-?般，從感

性到理性的認知過程.通過課堂教學培養學生的數行結合的美感與嚴謹治

學的生活態度.

3、教學方法和教學手段的選擇

本節課是直線的斜率第一節課，采用教師設問啟發引導，學生探究學習的教

學方法，通過創設情境，引導探究，師生交流，最終形成概念，獲得方法.本

節課使用了多媒體課件來輔助教學，為學生提供直觀感性的材料，有助于學

生對問題的理解和認識.

4、教學過程的設計

針對本節課教學目標，教學過程分為三個階段：

（1）課題引入階段：提出的問題符合學生的生活經驗，能引起學生的興趣，鍛

煉學生的觀察能力。通過圖形的直觀感覺，給學生直線的斜率的感性認識，

為突破難點做好鋪墊。從而自然地導入課題。

（2）定義探究階段：重視課堂問題的設計。圍繞四個問題，對定義進行探究，

層層深入，發動學生，積極思考，最終形成概念.

（3）概念應用階段：直線的斜率定義應用設計例1,這一過程由學生來完成，

使學生自主進行學習，獨立探究問題，充分暴露思維中的缺點，最后由學生

總結出問題。

（-）本案例課堂教學的特點

1.重視課堂提問的設計，激發學生的求知欲。

2.體現了學生的主體性，提高了學生學習的主動性。

3.注重引導學生主動探究，建構新知。重視概念形成的過程，注重培養學生的

數學思維能力

4.重視金流合作0，培養學生的合作精神。

（三）本案例課堂教學引發的思考

這是一節市級范圍內的公開課。市教研員也給予了較高的評價。上完課我

的感覺很好，在這個班的教學效果可以說是非常好的。學生的作業完成得也很

好。但在第一個班級上課，由于時間控制得不好，講到例2③（法二：利用斜

率的幾何意義）時，縮短了給學生獨立思考的時間，沒有讓學生充分地展示他

們的一些想法，怕時間不夠，我自己給學生做了詳盡的分析和解答，該強調的

也都強調了。但作業一反饋過來，比這個班差好多！可以說，這給了我一次震

撼：我多講是沒有用的，把知識強加給學生，只是我的一相情愿，學生并不會

因為我講得有多而掌握的好。我深深感到，教學非以學生為主體不可。

教學以學生為主體，要求教師在課堂教學中，得根據學生已有的認知狀態

和生活經驗，設計一系列的問題，讓學生在獨立思考、合作交流、自主探索的

過程中主動去發現、建構新知識,獲得對數學學習的積極體驗。

探究活動比較費時間，我有時一發現個別學生得到了正確的結論，就讓其

回答，并結束這個探究過程?；蛘邔W生不能很好地回答我的提問時，我怕時間

不夠，就自己講出答案。如何正確認識和處理探究過程與時間限定的矛盾呢？

這個也是我從本案例課堂教學引發的另一個思考。

正弦定理

一、教學內容分析

本節內容安排在《普通高中課程標準實驗教科書?數學必修5》（人教A版）

第一章，正弦定理第一課時，是在高二學生學習了三角等知識之后，顯然是對三

角知識的應用；同時，作為三角形中的一個定理，也是對初中解直角三角形內容

的直接延伸，因而定理本身的應用又十分廣泛。

根據實際教學處理，正弦定理這部分內容共分為三個層次：第一層次教師通

過引導學生對實際問題的探索，并大膽提出猜想；第二層次由猜想入手，帶著疑

問，以及特殊三角形中邊角的關系的驗證，通過“作高法”、“等積法”、“外接圓

法”、“向量法”等多種方法證明正弦定理，驗證猜想的正確性，并得到三角形

面積公式；第三層次利用正弦定理解決引例，最后進行簡單的應用。學生通過對

任意三角形中正弦定理的探索、發現和證明，感受“觀察——實驗——猜想——

證明——應用”這一思維方法，養成大膽猜想、善于思考的品質和勇于求真的精

神。

二、學情分析

對普高高二的學生來說，已學的平面兒何，解直角三角形，三角函數，向量

等知識，有一定觀察分析、解決問題的能力，但對前后知識間的聯系、理解、應

用有一定難度，因此思維靈活性受到制約。根據以上特點，教師恰當引導，提高

學生學習主動性，多加以前后知識間的聯系，帶領學生直接參與分析問題、解決

問題并品嘗勞動成果的喜悅。

三、設計思想：

本節課采用探究式課堂教學模式，即在教學過程中，在教師的啟發引導下，

以學生獨立自主和合作交流為前提，以問題為導向設計教學情境，以“正弦定理

的發現和證明”為基本探究內容，為學生提供充分自由表達、質疑、探究、討論

問題的機會，讓學生通過個人、小組、集體等多種解難釋疑的嘗試活動，在知識

的形成、發展過程中展開思維，逐步培養學生發現問題、探索問題、解決問題的

能力和創造性思維的能力。

四、教學目標：

1.讓學生從已有的幾何知識出發，通過對任意三角形邊角關系的探索，共

同探究在任意三角形中，邊與其對角的關系，引導學生通過觀察，實驗，猜想，

驗證，證明，由特殊到一般歸納出正弦定理，掌握正弦定理的內容及其證明方法,

理解三角形面積公式，并學會運用正弦定理解決解斜三角形的兩類基本問題。

2.通過對實際問題的探索，培養學生觀察問題、提出問題、分析問題、解

決問題的能力，增強學生的協作能力和交流能力，發展學生的創新意識，培養創

造性思維的能力。

3.通過學生自主探索、合作交流，親身體驗數學規律的發現，培養學生勇

于探索、善于發現、不畏艱辛的創新品質，增強學習的成功心理，激發學習數學

的興趣。

4.培養學生合情合理探索數學規律的數學思想方法，通過平面幾何、三角

形函數、正弦定理、向量的數量積等知識間的聯系來體現事物之間的普遍聯系與

辯證統一。

五、教學重點與難點

教學重點：正弦定理的發現與證明；正弦定理的簡單應用。

教學難點：正弦定理的猜想提出過程。

教學準備：制作多媒體課件，學生準備計算器，直尺，量角器。

六、教學過程：

（-）結合實例，激發動機

師生活動：

教師：展示情景圖如圖b船從港口B/

航行到港口C,測得BC的距離為600〃?，ZXzxzxzxzx/

船在港口C卸貨后繼續向港口A航行，由

于船員的疏忽沒有測得CA距離，如果船Y

上有測角儀我們能否計算出A、B的距離？

學生：思考提出測量角A,C

教師：若已知測得NB4C=75。，------------------，

NAC8=45。，要計算A、B兩地距離，你

（圖1）

有辦法解決嗎？

學生：思考交流，畫一個三角形使得B'C'為6cm,ZB'AC'=75。，

ZA'C'8'=45。,量得A*距離約為4.9cm,利用三角形相似性質可知AB約為

490mo

老師：對，很好，在初中，我們學過相似三角形，也學過解直角三角形，大

家還記得嗎？

師生：共同回憶解直角三角形，①直角三角形中，已知兩邊，可以求第三邊

及兩個角。②直角三角形中，已知一邊和一角，可以求另兩邊及第三個角。

0教師：引導，是斜三角形，能否利用解直角三角形，精確計算AB呢？

學生：思考，交流，得出過4作AOL5C于。如圖2,把AABC分為兩個直

角三角形，解題過程，學生闡述，教師板書。

解：過A作ADL8C于。

在MAACD中，sin/ACB=——

AC

jy

：.AD=ACsinZACB=600x—=300V2/n

2

vZACB=45°,ABAC=75°

NABC=180°-ZACB-ZACB=60°

AH

在MAABO中，sin=——

AB

：.AB=———=3。。3=200V6/n

sinZABCV3

T

教師：表示對學生贊賞，那么剛才解決問題的過程中，若4c=6,AB=c,

能否用8、b、。表示c呢？

教師：引導學生再觀察剛才解題過程。

學生：發現sinC=sinB=

bc

AD=6sinC=csin8

bsmC

/.c=----------

sin3

教師：引導，在剛才的推理過程中，你能想到什么？你能發現什么？

學生：發現即然有。=如吆，那么也有°=竺吧J。=史絲4。

sinBsinAsinB

教師：引導。=姆尤，c=竺叱，。="@4,我們習慣寫成對稱形式

sinBsinAsinB

」=—L,—,因此我們可以發現

sinCsin8sinCsinAsinAsinB

'=—L=—J,是否任意三角形都有這種邊角關系呢？

sinAsinBsinC

設計意圖：興趣是最好的老師。如果一節課有良好的開頭，那就意味著成功

的一半。因此，我通過從學生日常生活中的實際問題引入，激發學生思維，激發

學生的求知欲，引導學生轉化為解直角三角形的問題，在解決問題后，對特殊問

題一般化，得出一個猜測性的結論一一猜想，培養學生從特殊到一般思想意識，

培養學生創造性思維能力。

（二）數學實驗，驗證猜想

教師：給學生指明一個方向，我們先通過特殊例子檢驗

，一=一二=」一是否成立，舉出特例。

sinAsinBsinC

（1）在4ABC中，NA,ZB,ZC分別為60。，60°,60°,對應

的邊長a：b：c為1：1：1,對應角的正弦值分別為且，―,―,

222

引導學生考察4,—,——的關系。（學生回答它們相等）

sinAsinBsinC

（2）、在4ABC中，ZA,ZB,ZC分別為45。，45°,90°,

對應的邊長a：b：c為1：1：V2,對應角的正弦值分別為交，―,

22

1;（學生回答它們相等）

(3)、在aABC中，ZA,ZB,ZC分別為30。，60°,90°,

對應的邊長a：b：c為1：百：2,對應角的正弦值分別為,，―,I-

22

（學生回答它們相等）（圖3）

(圖3)

教師：對于RfAABC呢？

學生：思考交流得出，如圖4,在RtAABC中,設BC=a,AC=b,AB=c,

則有sin/=亙，sin^=—,又sinC=l=￡,

ccc

貝/=±c

sinAsinBsinC

從而在直角三角形ABC中,a_b_c

sin/sin夕sinC

（圖4）

教師：那么任意三角形是否有，一=/一=—J呢？學生按事先安排

sinAsin6sinC

分組，出示實驗報告單，讓學生閱讀實驗報告單，質疑提問：有什么不明白的地

方或者有什么問題嗎？（如果學生沒有問題，教師讓學生動手計算，附實驗報告

單。）

學生：分組互動，每組畫一個三角形，度量出三邊和三個角度數值，通過實

驗數據計算，比較‘二、一二、一J的近似值。

sinAsinBsinC

教師：借助多媒體演示隨著三角形任意變換，上、二值仍然

sinAsinBsinC

保持相等。

我們猜想：—

sinAsinBsinC

設計意圖：讓學生體驗數學實驗，激起學生的好奇心和求知欲望。學生自

己進行實驗，體會到數學實驗的歸納和演繹推理的兩個側面。

（三）證明猜想，得出定理

師生活動：

教師：我們雖然經歷了數學實驗，多媒體技術支持，對任意的三角形，如何

用數學的思想方法證明，—=—二=—J呢？前面探索過程對我們有沒有啟

sinAsinBsinC

發？學生分組討論，每組派一個代表總結。（以下證明過程，根據學生回答情況

進行敘述）

學生：思考得出

①在RfAABC中，成立，如前面檢驗。

（1）在銳角三角形中，如圖5設=CA^b,AB=c

作：AD1BC,垂足為。

An

在心中，smB=——

AB

AD=AB?sin8=c?sinB

AH

在RfAA。。中，sinC=——

AC

AD=AC?sinC=/??sinC

/.csinB=bsinC

?c_____b__

sinCsinB

同理，在AA8C中，

sinAsinC

?__a______b______c__

sinAsinBsinC

③在鈍角三角形中，如圖6設NC為鈍角,BC=a,CA=b,AB=c

作，8c交8。的延長線于D

An

在RrAAOB中，sin8=—

AB

AD=AB?sin8=c?sin8

An

在MA4OC中，sinZACD=—

AC

AD=AC?sinNACD=b^smZACB

sinB=b?sinZACB

c_b

sinZACBsinB

（圖6）

同銳角三角形證明可知

sinAsinC

a_b_c

sinAsinBsinZACB

教師：我們把這條性質稱為正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的

正弦的比相等，即

a_b_c

sinAsinBsinC

還有其它證明方法嗎？

學生：思考得出，分析圖形（圖7）,對于任意△ABC,由初中所學過的面積公式

可以得出：S..=-AC*BD=-CB?AE=-BA*CF,

SBBCC222

而由圖中可以看出：sinABAC=—,sinZACB=—,

ABAC

CF

sinAABC=—

BC

BD=AB?sinABAC,AE=AC?sinZACB,CF=BC-sinZABC

S=-AC*BD=-CB?AE=-BA?CF

AA4t8tCr222

=-AC?AB?sinABAC=-CB?CA?sinZACB=-BA?BC?sinZABC

222

=—/??€,?sin>BAC=—NACB=-c?a?Z.ABC

222

等式中均除以

222

1,uf-sin/A4csinZABCsinZACB

一〃兒后可得---------

2ah-c

a_b_c

sinZBACsinZABCsinZACB

教師邊分析邊引導學生，同時板書證明過程。

ADC

（圖7）

在剛才的證明過程中大家是否發現三角形高AE=c?sinNA8C=a?sinZABC,

三角形的面積：SMBC=1.?.A￡,能否得到新面積公式

學生：S.C=—b^c^smZBAC=-a?b?sinZACB=—c^a^sinZABC

222

得到三角形面積公式SMsc=^ahsinC=；c〃sin8=；/?csinA

教師：大家還有其他的證明方法嗎？比如：，一、」一、—J都等于同一

sinAsinBsinC

個比值上,那么它們也相等，這個k到底有沒有什么特殊兒何意義呢？

學生：在前面的檢驗中，Rt\ABC中，

」=4=」一=c,c恰為外接接圓的直徑，即

sinAsinBsinC

c=k=2R,所以作AA6C的外接圓。，。為圓心，連接

8。并延長交圓。于牙，把一般三角形轉化為直角三角

形。

證明：連續8。并延長交圓于9

ZB'AB=90°,NB'=NC

AR

在MZkB'AB中，----=B'B

sinB,

sinB'sinC

即‘一=2H

sinC

同理可證：，一=2R,—=2/?

sinAsinB

sinAsinBsinC

教師：從剛才的證明過程中，，一=上-=」一=2R,顯示正弦定理的比

sinAsinBsinC

值等于三角形外接圓的直徑2R,我們通過“作高法”、“等積法”、“外接圓法”

等平面兒何方法證明正弦定理，能否利用其他知識來證明正弦定理？比如，在向

量中，我也學過"?B=|4?W?cose,這與邊的長度和三角函數值有較為密切的

聯系，是否能夠利用向量積來證明正弦定理呢？

學生：思考（聯系作高的思想）得出：

在銳角三角形AA8C中，AB+BC^AC,作單位向量］垂直于AC,

衣?)=而?)+就?]

gp0=c?cos(90°-A)+a?cos(90°-C)

「?c?sinA—?sinC=0

c_a

sinCsinA

(圖9)

同理：.?.」一='

sinBsinA

a_b_c

sinAsinBsinC

對于鈍角三角形，直角三角形的情況作簡單交代。

教師：由于時間有限，對正弦定理的證明到此為止，有興趣的同學回家再探

索。

設計意圖：經歷證明猜想的過程，進一步引導啟發學生利用已有的數學知識

論證猜想，力圖讓學生體驗數學的學習過程。

（四）利用定理，解決引例

師生活動：

教師：現在大家再用正弦定理解決引例中提出的問題。

學生：馬上得出

在AA8C中，NB=180°—NA—NC=60',------=-------

sinCsinB

.c="包￡=600?sin45。=200晶

sinBsin60°

（五）了解解三角形概念

設計意圖：讓學生了解解三角形概念，形成知識的完整性

教師：一般地，把三角形的三個角A、B、C和它們的對邊a、b、c叫做

三角形的元素，已知，三角形的兒個元素，求其他元素的過程叫做解三角形。

設計意圖：利用正弦定理，重新解決引例，讓學生體會用新的知識，新的定

理，解決問題更方便，更簡單，激發學生不斷探索新知識的欲望。

（六）運用定理，解決例題

師生活動：

教師：引導學生從分析方程思想分析正弦定理可以解決的問題。

學生：討論正弦定理可以解決的問題類型：

①如果已知三角形的任意兩個角與一邊，求三角形的另一角和另兩邊，

如且=6sin4

sin6

②如果已知三角形任意兩邊與其中一邊的對角，求另一邊與另兩角，如

..3.

sin/i=-sinz>no

b

師生：例1的處理，先讓學生思考回答解題思路，教師板書，讓學生思考主要是

突出主體，教師板書的目的是規范解題步驟。

例1：在AA8C中，已知A=30。，5=45。，a=6cm,解三角形。

分析“已知三角形中兩角及一邊，求其他元素”，第一步可由三角

形內角和為180。求出第三個角NC,再由正弦定理求其他兩邊。

例2：在A4BC中，已知a=2jl,b=2s/3,A=45。，解三角形。

例2的處理，目的是讓學生掌握分類討論的數學思想，可先讓中等學生講解解題

思路，其他同學補充交流

學生：反饋練習（教科書第5頁的練習）

用實物投影儀展示學生中解題步驟規范的解答。

設計意圖：自己解決問題，提高學生學習的熱情和動力，使學生體驗到成功

的愉悅感，變“要我學”為“我要學”，“我要研究”的主動學習。

（七）嘗試小結：

教師：提示引導學生總結本節課的主要內容。

學生：思考交流，歸納總結。

師生：讓學生嘗試小結，教師及時補充，要體現：

（1）正弦定理的內容（，二=—二=—J=2R）及其證明思想方法。

sinAsinBsinC

（2）正弦定理的應用范圍：①已知三角形中兩角及一邊，求其他元素；②

已知三角形中兩邊和其中一邊所對的角，求其他元素。

（3）分類討論的數學思想。

設計意圖：通過學生的總結，培養學生的歸納總結能力和語言表達能力。

（A）作業設計

作業：第10頁[習題1.1]A組第1、2題。

思考題：例2：在AA8C中，已知a=2VLb=26,A=45。，解三角形。例2

中8=分別改為匕=2&"=6并解三角形,觀察解的情況并解釋出現一解，

兩解，無解的原因。

課外鏈接：課后通過查閱相關書籍，上網搜索，了解關于正弦定理的發展及

應用（相關網址：）

七、設計思路：

本節課，學生在不知正弦定理內容和證明方法的前提下，在教師預設的思路

中，學生積極主動參與一個個相關聯的探究活動過程，通過“觀察——實驗——

歸納——猜想——證明”的數學思想方法發現并證明定理，讓學生經歷了知識形

成的過程，感受到創新的快樂，激發學生學習數學的興趣。其次，以問題為導向

設計教學情境，促使學生去思考問題，去發現問題，讓學生在“活動”中學習，

在“主動”中發展，在“合作”中增知，在“探究”中創新。

1、結合實例，激發動機

數學源于現實，從學生日常生活中的實際問題引入，激發學生學習的興趣，

引導啟發學生利用已有的知識解決新的問題，方法一通過相似三角形相似比相等

進行計算，方法二轉化解直角三角形。讓學在解決問題中發現新知識，提出猜想,

使學生在觀察、實驗、猜想、驗證、推理等活動中，逐步形成創新意識。

2、數學實驗，驗證猜想

通過特例檢驗，讓學生動手實驗，提高了學生實驗操作、分析思考和抽象概

括的能，激發學生的好奇心和求知欲望，體會到數學實驗的歸納和演繹推理的兩

個側面。

3、證明猜想，得出定理

引導啟發學生從角度進行證明定理，展示自己的知識，培養學生解決問題的

能力，增強學習的興趣，愛好，在知識的形成、發展過程中展開思維，培養推理

的意識。

附一：

實驗報告單

組長：組員：

試驗目的研究三角形中各邊和它對角的正弦值的比（，一，一匕，」一）是否相

sinAsinBsinC

等。

實驗器材計算器，直尺，量角器，硬紙板（由老師統一發）

實驗方法畫一個任意三角形，量取三邊和三個角的值，并計算。

三邊：a=______b=______c=_________

實驗內容三角：A=______B=______C=_________

工苗abc

計算：----=____________=____________二___________

sinAsinBsinC

（精確到小數點后兩位）

結論：

點評：

本節定理教學課，教師把重點放在定理的發現與證明上，符合新

課標重視過程與方法的理念，克服了傳統教學只注重結論的傾向。首

先，利用解決一個可測量兩角一對邊，求另一對邊的實際問題引入，

在解決實際問題中，引導學生發現“三角形三邊與其對應角的正弦值

的比相等”的規律；通過對特殊三角形的驗證，大膽猜想對任意三角

形成立；接著證明了這個定理。在課堂上展示了定理的發現過程，使

學生感受到創新的快樂，激發學生學習數學的興趣，同時讓學生體驗

了“觀察一實驗一歸納一猜想一證明”的數學思想方法，經歷了知識

形成的過程，符合新課標重視過程與方法的理念。其次，在解決引例

中的測量問題時利用用初中相似三角形知識、正弦定理的不同證法

（轉化為直角三角形、輔助以三角形外接圓、向量）等，都體現了“在

已有知識體系的基礎上去建構新的知識體系”的理念，加強了知識間

的聯系，培養了學生思維的靈活性。定理證明的方法一、方法二，參

透了分類、轉化的數學思想。但是，本節課的教學內容還是偏多，

在時間分配上要有規劃，突出重點，刪繁就簡；引入的例題要注意條

件更加明確直接，以免產生歧義，沖淡主體，浪費時間。

總之，本節課有效地采用了探究式教學，在教師的啟發引導下，

以學生獨立自主和合作交流為前提，以問題為導向設計教學情境，以

“正弦定理的發現和證明”為基本探究內容，為學生提供充分自由表

達、質疑、探究、討論問題的機會，讓學生通過個人、小組、集體等

多種解難釋疑的嘗試活動，感受“觀察一一實驗-一猜想一一證明一

一應用”等環節，教學過程流暢，在知識的形成、發展過程中展開思

維，逐步培養學生發現問題、探索問題、解決問題的能力和創造性思

維的能力。

正弦定理

一、教學內容分析

“正弦定理”是《普通高中課程標準數學教科書?數學（必修5）》（人教版）

第一章第一節的主要內容，它既是初中“解直角三角形”內容的直接延拓，也是

三角函數一般知識和平面向量等知識在三角形中的具體運用，是解可轉化為三角

形計算問題的其它數學問題及生產、生活實際問題的重要工具，因此具有廣泛的

應用價值。為什么要研究正弦定理？正弦定理是怎樣發現的？其證明方法是怎樣

想到的？還有別的證法嗎？這些都是教材沒有回答，而確實又是學生所關心的問

題。

本節課是“正弦定理”教學的第一課時，其主要任務是引入并證明正弦定理,

在課型上屬于“定理教學課”。因此，做好“正弦定理”的教學，不僅能復習鞏

固舊知識，使學生掌握新的有用的知識，體會聯系、發展等辯證觀點，而且通過

對定理的探究，能使學生體驗到數學發現和創造的歷程,進而培養學生提出問題、

解決問題等研究性學習的能力。

二、學生學習情況分析

學生在初中已經學習了解直角三角形的內容，在必修4中，又學習了三角

函數的基礎知識和平面向量的有關內容，對解直角三角形、三角函數、平面向量

已形成初步的知識框架，這不僅是學習正弦定理的認知基礎，同時又是突破定理

證明障礙的強有力的工具。正弦定理是關于任意三角形邊角關系的重要定理之

一，《課程標準》強調在教學中要重視定理的探究過程，并能運用它解決一些實

際問題，可以使學生進一步了解數學在實際中的應用，從而激發學生學習數學的

興趣，也為學習正弦定理提供一種親和力與認同感。

三、設計思想

培養學生學會學習、學會探究是全面發展學生能力的重要前提，是高中新課

程改革的主要任務。如何培養學生學會學習、學會探究呢？建構主義認為：“知

識不是被動吸收的，而是由認知主體主動建構的?！边@個觀點從教學的角度來理

解就是：知識不是通過教師傳授得到的，而是學生在一定的情境中，運用已有的

學習經驗，并通過與他人(在教師指導和學習伙伴的幫助下)協作，主動建構而

獲得的，建構主義教學模式強調以學生為中心，視學生為認知的主體，教師只對

學生的意義建構起幫助和促進作用。本節“正弦定理”的教學，將遵循這個原則

而進行設計。

四、教學目標

1、知識與技能：通過對任意三角形的邊與其對角的關系的探索，掌握正弦

定理的內容及其證明方法。

2、過程與方法：讓學生從已有的知識出發,共同探究在任意三角形中，邊與

其對角的關系，引導學生通過觀察、歸納、猜想、證明，由特殊到一般得到正弦

定理等方法，體驗數學發現和創造的歷程。

3、情感態度與價值觀：在平等的教學氛圍中，通過學生之間、師生之間的

交流、合作和評價，實現共同探究、教學相長的教學情境。

五、教學重點與難點

重點：正弦定理的發現和推導

難點：正弦定理的推導

六、教學過程設計

(-)設置情境

利用投影展示：如圖1,一條河的兩岸平行，河寬d=因上游暴發特

大洪水，在洪峰到來之前，急需將碼頭A處囤積的重要

物資及留守人員用船盡快轉運到正對岸的碼頭B處或其

下游的碼頭C處，請你確定轉運方案。已知船在靜

水中的速度匕=5加2/人，水流速度％=36/〃。

【設計意圖】培養學生的“數學起源于生活，運用于

生活”的思想意識，同時情境問題的圖形及解題思路均為研究正弦定理做鋪墊。

（二）提出問題

師：為了確定轉運方案，請同學們設身處地地考慮有關的問題，將各自的問

題經小組（前后4人為一小組）匯總整理后交給我。

待各小組將問題交給老師后，老師篩選了幾個問題通過投影向全班展示，經

大家歸納整理后得到如下的五個問題：

1、船應開往B處還是C處？

2、船從A開到B、C分別需要多少時間？

3、船從A到B、C的距離分別是多少？

4、船從A到B、C時的速度大小分別是多少？

5、船應向什么方向開，才能保證沿直線到達B、C?

【設計意圖】通過小組交流，提供一定的研究學習與情感交流的時空，培養

學生合作學習的能力；問題源于學生，突出學生學習的主體性，能激發學生學習

的興趣；問題通過老師的篩選，確定研究的方向，體現教師的主導作用。

師：誰能幫大家講解，應該怎樣解決上述問題？

大家經過討論達成如下共識：要回答問題1,需要解決問題2,要解決問題

2,需要先解決問題3和4,問題3用直角三角形知識可解，所以重點是解決問

題4,問題4與問題5是兩個相關問題。因此，解決上述問題的關鍵是解決問題

4和5O

師：請同學們根據平行四邊形法則，先在練習本上做出與問題對應的示意

圖，明確已知什么，要求什么，怎樣求解。

生1：船從A開往B的情況如圖2,根：

四邊形的性質及解直角三角形的知識，可求得J%

水中的速度大小W|及匕與彩的夾角。D\AE

-1="'『_|彩|2=，52—32=4,

A吏圖2

sin。=皿=±用計算器可求得6?37°

|v2|5

船從A開往C的情況如圖3,|AO|=|%|=5,

|DE|=|AF|=|v21=3,易求得NAED=NEAF=45。,還

需求ND4E及v,我還不知道怎樣解這兩個問題。

師：請大家思考，這兩個問題的數學實質是什么？

部分學生：在三角形中，已知兩邊和其中一邊的

對角，求另一邊的對角和第三邊。

【設計意圖】將問題數學化，有助于加深學生對問題的理解，有助于培養學

生的數學意識。

師：請大家討論一下，如何解決這兩個問題？

生3：不知道。

師：圖2的情形大家都會解，但圖3的情形卻有困難，那么圖2與圖3有何

異同點？

生4：圖2和圖3的情形都是已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，求另一

邊的對角和第三邊。但圖2中A4OE是直角三角形，而圖3中MOE不是直角三

角形，不能象在直角三角形中可直接利用邊角的關系求解。

師：圖3的情形能否轉化成直角三角形來解呢？

【設計意圖】通過教師的問題引導，啟發學生將問題進行轉化，培養學生的

化歸思想，同時為下一步用特例作為突破口來研究正弦定理以及用作高的方法來

證明正弦定理做好鋪墊。

BC

生5：能，過點D作。G_LAE于點G（如圖4）,——G--------一一

DG|=|匕|sinZDAG=|DE\sinZAED

|AG|=|v||cosZDAG,\EG|=|DE\cosZAED”淞

|￡)E|sinZAED3sin45030F

sinZDAG=圖4

\v\=\AG\+\GE|=---

師：很好！采取分割的方法，將一般三角形化為兩個直角三角形求解。但在

生活中有許多三角形不是直角三角形，如果每個三角形都劃分為直角三角形求

解，很不便。能不能象直角三角形一樣直接利用邊角關系求解呢？三角形中，任

意兩邊與其對角之間有怎樣的數量關系？

【設計意圖】通過教師對學生的肯定評價，創造一個教與學的和諧環境，既

激發學生的學習興趣，使緊接著的問題能更好地得到學生的認同，又有利于學生

和教師的共同成長。

（三）解決問題

1、正弦定理的引入

師：請同學們想一想，我們以前遇到這種一般問題時，是怎樣處理的？

眾學生：先從特殊事例入手，尋求答案或發現解法?？梢砸灾苯侨切螢樘?/p>

例，先在直角三角形中試探一下。

師：如果一般三角形具有某種邊角關系，對于特殊的三角形——直角三角形

也是成立的，因此我們先研究特例，請同學們對直角三角形進行研究，尋找一般

三角形的各邊及其對角之間有何關系？同學們可以參與小組共同研究。

（1）學生以小組為單位進行研究；教師觀察學生的研究進展情況或參與學

生的研究。

（2）展示學生研究的結果。

【設計意圖】教師參與學生之間的研究，增進師生之間的思維與情感的交流,

并通過教師的指導與觀察，及時掌握學生研究的情況，為展示學生的研究結論做

準備；同時通過展示研究結論，強化學生學習的動機，增進學生的成功感及學習

的信心。

師：請說出你研究的結論？

生7：工二—

sinAsinBsinC

師：你是怎樣想出來的？

生7：因為在直角三角形中，它們的比值都等于斜邊c。

師：有沒有其它的研究結論？（根據實際情況，引導學生進行分析判斷結論

正確與否，或留課后進一步深入研究。）

師：=對一般三角形是否成立呢？

sinAsinBsinC

眾學生：不一定，可以先用具體例子檢驗，若有一個不成立，則否定結論：

若都成立，則說明這個結論很可能成立，再想辦法進行嚴格的證明。

師：這是個好主意。那么4=上=—J對等邊三角形是否成立呢？

sinAsinBsinC

生9：成立。

師：對任意三角形三=3是否成立，現在讓我們借助于《兒何

sinAsinBsinC

畫板》做一個數學實驗，...

【設計意圖】引導學生的思維逐步形成“情境思考”一一“提出問題”一一

“研究特例”——“歸納猜想”——“實驗探究”——“理論探究”——“解決

問題”的思維方式，進而形成解決問題的能力。

2、正弦定理的探究

（1）實驗探究正弦定理

師：借助于電腦與多媒體，利用《兒何畫板》軟件，演示正弦定理教學課件。

邊演示邊引導學生觀察三角形形狀的變化與三個比值的變化情況。

結論：一9二=_"=」_對于任意三角形都成立。

sinAsinBsinC

【設計意圖】通過《幾何畫板》軟件的演示，使學生對結論的認識從感性逐

步上升到理性。

師：利用上述結論解決情境問題中圖3的情形，并檢驗與生5的計算結果是

否一致。

生10：（通過計算）與生5的結果相同。

師：如果上述結論成立，則在三角形中利用該結論解決“已知兩邊和其中一

邊的對角，求另一邊的對角和第三邊?！钡膯栴}就簡單多了。

【設計意圖】與情境設置中的問題相呼應，間接給出了正弦定理的簡單應用，

并強化學生學習探究、應用正弦定理的心理需求。

（2）點明課題：正弦定理

（3）正弦定理的理論探究

師：既然是定理，則需要證明，請同學們與小組共同探究正弦定理的證明。

探究方案：

直角三角形——已驗證；

銳角三角形——課堂探究；

鈍角三角形——課后證明。

【設計意圖】通過分析，確定探究方案。課堂只讓學生探究銳角三角形的情

形，有助于在不影響探究進程的同時，為探究銳角三角形的情形騰出更多的時間.

鈍角三角形的情形以課后證明的形式，可使學生鞏固課堂的成果。

師：請你（生11）到講臺上，講講你的證

明思路？

生11：（走上講臺），設法將問題轉化成直

角三角形中的問題進行解決。通過作三角形的

高，與生5的辦法一樣，如圖5作BC邊上的

高AD,則AO=csin8=6sinC,所以

bc同理可得_L=上

sin8sinCsinAsinB

師：因為要證明的是一個等式，所以應從銳角三角形的條件出發，構造等量

關系從而達到證明的目的。注意：。5吊8=以山。表示的兒何意義是三角形同一

邊上的高不變。這是一個簡捷的證明方法!

【設計意圖】點明此證法的實質是找到一個可以作為證明基礎的等量關系,

為后續兩種方法的提出做鋪墊，同時適時對學生作出合情的評價。

師：在三角形中還有哪些可以作為證明基礎的等量關系呢？

學生七嘴八舌地說出一些等量關系，經討論

后確定如下一些與直角三角形有關的等量關系可

能有利用價值：①三角形的面積不變；②三角形

外接圓直徑不變。在教師的建議下，學生分別利

用這兩種關系作為基礎又得出了如下兩種證法：

證法二:如圖6,設AD、BE、CF分別是A48c

的三條高。則有

AD=h-sinZACB9

B￡=c-sinABAC,

CF=a?sinZ-ABC。

：.SgBc=—a-b-sinZACB=—b-c-sinZBAC=-c-a-sinZABC

a_b_c

sinABACsinZABCsinZACB

證法三：如圖7,設8。=2r是AA8C外接圓

的直徑，則N6AO=90。，ZACB=ZADB

cc

------------=------------=BD=2r

sinZACBsinZADB

同理可證：---=--一=2廠

sinZBACsinZABC

abc