PAGE1專題2024-2025學年七年級下學期期中數學常考點分類專題（夯實基礎篇）（考查范圍：整式的乘除、相交線與平行線、概率初步）第一部分【考點目錄】選擇填空題【知識點一】整式的乘除【考點1】科學記數法2【考點2】冪的運算+乘法公式+多項式乘以多項式3【考點3】冪的運算的逆運算5【考點4】多項式乘多項式中的字母參數8【考點5】乘法公式中的字母參數10【考點6】整式中的整體思想求值11【考點7】多項式相乘幾何圖形中運用13【考點8】乘法公式中幾何圖形運用15【考點9】運用乘法公式進行有理數簡便運算18【考點10】整式乘除中的規律探究20【知識點二】相交線與平行線【考點11】余角、補角、對頂角、角平分線綜合22【考點12】直線公理、線段公理24【考點13】平行線的判定27【考點14】平行線的性質求角29【考點15】平行線的性質與判定綜合32【考點16】平行線的性質與判定在生產生活中的應用35【知識點三】概率初步【考點17】事件的分類38【考點18】由頻率估計概率39【考點19】已知概率計算數量41【考點20】由概率公式計算概率43【考點21】游戲的公平性44【考點22】幾何概率46二、解答題【考點23】整式的乘除中的計算49【考點24】整式的乘除中的化簡求值51【考點25】整體的乘除中的幾何圖形54【考點26】概率初步中的求解56【考點27】相交線運算求值證明59【考點28】平行線中的求值證明62第二部分【題型梳理與方法展示】一、選擇填空題【知識點一】整式的乘除【考點1】科學記數法1．（24-25八年級上·河南商丘·期末）人體內一種線粒體的直徑約為0.56微米，相當于米．將數據“”用科學記數法表示為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了科學記數法，將數據表示成形式為的形式，其中，n為整數，正確確定a、n的值是解題的關鍵．將寫成其中，n為整數的形式即可．解：．故選C．2．（2025·云南昆明·模擬預測）袁枚的一首詩《苔》在《經典詠流傳》的舞臺被重新喚醒，“白日不到處，青春恰自來．苔花如米小，也學牡丹開．”若苔花的花粉直徑為米，用科學記數法表示，則n為（）A． B． C．5 D．6【答案】A【分析】將的小數點向右移動6位，則．本題考查科學記數法表示較小的數，正確記憶科學記數法的形式是解題關鍵．解：解：，則為．故選：A．3．（24-25七年級下·全國·課后作業）我國北斗三號衛星上裝載的新一代原子鐘，使授時精度達到了百億分之三秒．百億分之三用科學記數法可以表示為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了科學記數法“將一個數表示成的形式，其中，為整數，這種記數的方法叫做科學記數法”，熟記科學記數法的定義是解題關鍵．確定的值時，要看把原數變成時，小數點移動了多少位，的絕對值與小數點移動的位數相同．先將百億分之三化為數字，再根據科學記數法的定義即可得．解：百億分之三化為數字，用科學記數法可以表示為，故選：B．4．（24-25八年級上·江西南昌·期末）北斗衛星導航系統（）是我國自行研制的全球衛星導航系統．北斗衛星導航系統可在全球范圍內全天候為各類用戶提供高精度，高可靠的定位、導航、授時服務，授時精度達到秒．將用科學記數法可表示為．【答案】【分析】此題考查了科學記數法的表示方法，根據科學記數法的表示形式為的形式，其中，為整數即可求解，確定的值時，要看把原數變成時，小數點移動了多少位，的絕對值與小數點移動的位數相同，當原數絕對值時，是正整數；當原數的絕對值時，是負整數，解題的關鍵要正確確定的值以及的值．解：，故選：．【考點2】冪的運算+乘法公式+多項式乘以多項式1．（24-25八年級上·湖北武漢·期末）下列運算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了同底數冪的乘法，冪的乘方，合并同類項，熟練掌握公式和運算的法則是解題的關鍵．根據運算法則逐一計算判斷即可．解：∵，正確，故A合題意．∵，錯誤，∴B不合題意．∵，錯誤，∴C不合題意．∵，不是同類項，無法計算，錯誤，∴D不合題意．故選：A．2．（2024·江蘇徐州·中考真題）下列運算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查合并同類項、同底數冪的乘法、冪的乘方、同底數冪的除法，熟練掌握運算性質和法則是解題的關鍵．根據合并同類項法則；同底數冪相乘，底數不變，指數相加；冪的乘方，底數不變，指數相乘；同底數冪相除，底數不變，指數相減，對各選項分析判斷后利用排除法求解．解：A、，故此選項不符合題意；B、，故此選項不符合題意；C、，故此選項不符合題意；D、，故此選項符合題意；故選：D．3．（2024·四川·中考真題）下列計算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查整式的運算，根據合并同類項，冪的乘方，完全平方公式的法則，逐一進行計算即可．解：A、，選項錯誤，不符合題意；B、，選項錯誤，不符合題意；C、，選項正確，符合題意；D、，選項錯誤，不符合題意；故選：C．4．（2025·福建泉州·模擬預測）下列運算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了計算單項式乘單項式，完全平方公式，積的乘方，平方差公式等知識點，熟練掌握相關知識點并能加以靈活運用是解題的關鍵．根據單項式乘單項式法則、完全平方公式、積的乘方法則、平方差公式逐項分析判斷即可．解：A.，原計算錯誤，故選項不符合題意；B.，原計算錯誤，故選項不符合題意；C.，原計算錯誤，故選項不符合題意；D.，計算正確，故選項符合題意；故選：．【考點3】冪的運算的逆運算1．（24-25七年級下·全國·周測）已知，則的值為（

）A． B．或 C． D．【答案】C【分析】本題考查了冪的乘方，同底數冪的除法，熟練掌握運算法則是今天的關鍵.根據冪的乘方得到，，代入計算即可得到答案.解：，，，，故選：C.2．（24-25八年級上·河南信陽·期末）已知，，，則a，b，c的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了冪的乘方的逆運算和冪的乘方運算，正確把a、b、c的底數全部換成3是解題的關鍵．把a、b、c的底數全部換成3即可得到答案．解：∵，，，∴，，，∴，故選：A．3．（24-25九年級上·山東濱州·期中）計算：（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查積的乘方和同底數冪相乘的知識，掌握以上知識是解題的關鍵；本題先將化簡為，然后再根據積的乘方逆運用進行計算，即可求解；解：原式=，，，，；故選：D；4．（24-25八年級上·河南新鄉·期中）已知則．【答案】2【分析】本題考查冪的運算，代數式求值，逆用冪的乘方，得到再根據同底數冪的乘法，得到，求出的值，整體代入法求出代數式的值即可．解：∵∴∴，∴，∴；故答案為：2．5．（24-25七年級下·全國·周測）若（且是正整數），則．利用上面結論解決下面的問題：（1）如果，那么的值為；（2）如果，那么的值為．【答案】【分析】本題考查了同底數冪的乘法，冪的乘方，積的乘方，解一元一次方程，理清指數的變化是解題的關鍵.（1）因為，所以，得到，解方程即可得到答案；（2）因為，所以，得到，即可得到答案.解：（1），，，，解得：，故答案為：；（2），，故答案為：.【考點4】多項式乘多項式中的字母參數1．（24-25八年級上·湖北宜昌·期末）若，則的值為（

）A． B．7 C． D．5【答案】C【分析】本題考查了多項式乘以多項式法則，先根據多項式乘多項式法則展開，合并同類項，求出、值，再代入求出即可．能正確根據多項式乘以多項式法則展開是解此題的關鍵．解：，，，，，故選：C．2．（24-25八年級下·甘肅武威·開學考試）若將展開的結果中不含有項，則，滿足的關系式是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了多項式乘多項式，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．原式利用多項式乘以多項式法則計算，由結果不含項，得出與的關系即可．解：原式展開的結果中不含有項．故選：C．3．（23-24九年級下·安徽宣城·自主招生）若，則的值為．【答案】【分析】本題考查了單項式乘以多項式，整式的加減，掌握這些知識及運算法則是解題的關鍵．由，則，即，然后兩式相減得出，最后討論即可．解：∵，∴，，∴，∴，∴，∴，∵當時，，∴當時，，故答案為：．4．（24-25七年級下·全國·周測）已知，則．【答案】【分析】本題考查了冪的乘方和積的乘方，熟練掌握運算法則是解題的關鍵.根據題意得到，繼而得到，得到，計算即可得到答案.解：，，，，，，，故答案為：.5．（24-25七年級下·全國·期中）若，則．【答案】2025【分析】本題考查了求代數式的值及多項式乘以多項式運算，由多項式乘以多項式得，可得，，即可求解；能熟練進行多項式乘以多項式運算是解題的關鍵．解：，，，，解得，，，故答案為：．【考點5】乘法公式中的字母參數1．（24-25八年級上·四川宜賓·期末）若是完全平方式，則m的值為（

）A．7 B．4或 C．7或 D．4【答案】C【分析】本題考查了完全平方式，根據完全平方式的特點得到是解決問題的關鍵．先根據兩平方項確定出這兩個數，然后再根據完全平方公式的乘積的二倍項即可確定m的值．解：∵，∴，∴解得或．故選：C．2．（24-25八年級上·云南昭通·期末）若關于的二次三項式是一個完全平方式，則的值是（）A． B． C．或 D．或【答案】A【分析】本題主要考查了完全平方的公式，根據完全平方公式，觀察其構造，即可得出的值，掌握完全平方公式的特征是解題的關鍵．解：由，∴，故選：．3．（2025七年級下·全國·專題練習）若，則m的值是．【答案】2025【分析】本題考查了平方差公式的應用，由平方差公式得，即可求解；能熟練利用平方差公式進行運算是解題的關鍵．解：∵，∴，∴，∴，故答案為：2025．4．（2025七年級下·全國·專題練習）若，則等于．【答案】4【分析】本題主要考查了平方差公式，解決本題的關鍵是利用平方差公式，把等號左邊的計算出來，得到：原式，再根據可得，從而可知．解：，又，，，故答案為：．【考點6】整式中的整體思想求值1．（23-24七年級下·安徽合肥·期中）我們規定，例如，已知，則代數式的值是（

）A．4 B．5 C．8 D．9【答案】D【分析】本題主要查了整式的混合運算．根據新定義可得，從而得到，再代入，即可求解．解：根據題意得：，∴，即，∴，∴．故選：D2．（2023·山東臨沂·一模）已知，則的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】把所求式子去括號整理得，再將已知整體代入即可求解．解：∵，∴，故選：D．【點撥】本題考查了多項式乘多項式－化簡求值，掌握計算多項式乘多項式的方法是解題的關鍵．3．（24-25八年級下·重慶·開學考試）已知，則的值是．【答案】【分析】本題考查多項式乘多項式并求值．根據多項式乘多項式的法則，以及整體代入法，進行求值即可．解：∵，∴；故答案為：．4．（24-25七年級上·上海寶山·期中）已知，，那么的值為．【答案】9【分析】本題主要考查了整式的化簡求值，先根據多項式乘以多項式的計數法則求出，再利用整體代入法代值計算即可．解：，，，原式，故答案為：9．【考點7】多項式相乘中幾何圖形的應用1．（24-25八年級上·山西大同·期末）如圖，用兩種不同的方法計算大長方形的面積，我們可以驗證等式（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了多項式乘多項式與圖形面積，根據題意可知大長方形的面積為，等于一個小正方形的面積加上三個長方形的面積再加上兩個正方形的面積，可得答案．解：根據題意，得．故選：A．2．（24-25八年級上·四川眉山·期末）如圖，在長，寬的長方形空地上規劃一塊長方形花園（圖中陰影部分），花園的北面和東、西兩面都留有寬度為的小路（圖中空白部分），則花園的面積為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據題意，得到花園的長為，寬為，根據公式計算即可．本題考查了多項式乘多項式與圖形的面積，正確列式是解題的關鍵．解：根據題意，得花園的長為，寬為，故面積為．故選：D．3．（2025七年級下·全國·專題練習）如圖，若要拼一個長為、寬為的長方形，則需要C類紙片的張數為．【答案】8【分析】本題考查多項式乘多項式表示面積，計算長方形的面積并寫成多項的形式，其中項的系數即為答案．解：，，，即，故需要C類紙片的張數為：8，故答案為：8．4．（24-25八年級上·湖南長沙·期末）如圖，為美化小區，給居民營造良好的宜居環境，某物業公司準備在如圖所示的長方形的場地上，修建兩條寬為的長方形甬道，剩下的其它四個區域種植花草綠化，若，，則種植花草的四個區域面積總和為．（用含的式子表示）【答案】【分析】本題考查多項式與多項式的乘法法則，解題的關鍵是學會利用平移的知識得到剩余的四塊草坪組成了一個矩形，熟練掌握多項式的混合運算法則，屬于中考常考題型．將兩條通道分別向上向左平移，則剩余的四塊草坪組成了一個矩形：矩形的長是，矩形的寬是，根據矩形的面積公式計算即可．解：由題意，可得修建后剩余草坪的面積是：故答案為：．【考點8】乘法公式中幾何圖形運用1．（24-25八年級上·內蒙古鄂爾多斯·期末）在數學實踐課上，“智慧小組”將大正方形的陰影部分裁剪下來重新拼成一個圖形，以下4幅拼法中，其中能夠驗證平方差公式的是（

）A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④【答案】C【分析】本題考查了幾何圖形的面積與平方差公式的應用，正確計算陰影部分的面積是解題的關鍵．分別計算原圖陰影部分面積與拼后圖中陰影部分的面積，根據面積相等即可作出判斷，從而確定結果．解：①左邊陰影圖形面積為，右邊平行四邊形的底為，高為，面積為，可得，能夠驗證平方差公式，符合題意；②左邊陰影圖形面積為，右邊長方形的長為，寬為，面積為，可得，能夠驗證平方差公式，符合題意；③左邊陰影圖形面積為，右邊平行四邊形的底為，高為，面積為，可得，能夠驗證平方差公式，符合題意；④左邊陰影圖形的面積為，右邊長方形的面積為，不能夠驗證平方差公式，不符合題意；∴能夠驗證平方差公式的有圖①②③，故選：C．2．（19-20七年級下·陜西西安·階段練習）如圖，根據標注該圖所反映的乘法公式是（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】直接利用已知邊長表示出各部分面積即可．解：由題意可得：陰影部分的面積為：，也可以表示為：，能驗證的乘法公式是：．故選：C．【點撥】本題考查了完全平方式的幾何背景，正確表示出各部分面積是解題關鍵．3．（24-25八年級上·貴州黔南·階段練習）如圖，在邊長為的正方形中挖掉一個邊長為的小正方形，把余下的部分剪成一個矩形，通過計算兩個圖形（陰影部分）的面積，驗證了一個等式是．【答案】【分析】根據兩個圖形的特征結合正方形、長方形的面積公式，即可求解，本題考查了平方差公式的幾何表示，運用不同方法表示陰影部分面積是解題的關鍵．解：左圖中陰影部分的面積，右圖中陰影部分的面積，可以驗證，故答案為：．4．（22-23七年級下·浙江湖州·階段練習）三種不同類型的長方形磚長寬如圖所示，現有A類、C類各若干塊，B類4塊，小雙用這些地磚拼成一個正方形（不重疊無縫隙），那么小雙拼成正方形的邊長是．（用含m，n的代數式表示）

【答案】或【分析】設A類需用a塊，C類需用c塊，根據題意得拼成的正方形的面積為：是一個完全平方式，據此求解即可得．解：設A類需用a塊，C類需用c塊，這些地磚拼成的正方形的面積為：，根據題意，是一個完全平方式，，所以或者；當，時，，此時正方形的邊長為：；當，時，，此時正方形的邊長為：；故答案為：或．【點撥】本題考查完全平方公式，解題的關鍵是理解題意，掌握完全平方公式的結構特征．【考點9】運用乘法公式進行有理數簡便運算1．（24-25七年級下·全國·課后作業）用簡便方法計算，變形正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了平方差公式，掌握是解題的關鍵．根據平方差公式變形即可．解：；故選：D．2．（24-25七年級下·全國·隨堂練習）下列關于的簡便計算方法正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查完全平方公式，將變形為，運用完全平方公式進行計算即可．解：的簡便計算方法是，故選：D．3．（23-24七年級下·河南鄭州·期中）運用乘法公式簡便計算：．【答案】1【分析】本題主要考查了平方差公式，掌握平方差公式是解題的關鍵．解：．故答案為：．4．（24-25七年級下·全國·課后作業）用簡便方法計算的結果是．【答案】1【分析】本題考查了完全平方公式，先根據完全平方公式進行變形，再求出答案即可．解：．故答案為：1．【考點10】整式乘除中的規律探究1．（24-25八年級上·四川眉山·期末）我國南宋數學家楊輝用“三角形”解釋二項和的乘方規律，稱之為“楊輝三角”，這個“三角形”給出了的展開式的系數規律（按n的次數由大到小的順序）．請依據上述規律，寫出展開式中含項的系數是（

）A． B．2024 C．4048 D．【答案】D【分析】根據展開式的規律，發現每個展開式的第二項系數是n，第一個字母的指數為，第二個字母的指數為1，依此規律解答即可．本題考查了規律的探索，熟練掌握規律的發現是解題的關鍵．解：由發現：中，每個展開式的第二項系數是n，第一個字母的指數為，第二個字母的指數為1，故的第二項為，故含項的系數是．故選：D．2．（24-25七年級下·全國·課后作業）觀察圖1中多項式乘以多項式的運算規律，將之遷移到圖2所示運算中，可得是（

）A． B．3 C． D．10【答案】C【分析】本題考查了多項式乘以多項式，熟練掌握圖1中的運算規律是解題關鍵．根據圖1中的運算規律求解即可得．解：由圖1中的運算規律得：，故選：C．3．（24-25八年級上·湖北咸寧·期末）在我國南宋數學家楊輝（約13世紀）所著的《詳解九章算術》一書中，揭示了（為非負整數）展開式的系數規律，后人也稱為“楊輝三角”．如圖，此三角形中第3行的3個系數1，2，1，恰好對應著展開式中各項的系數，類似規律如下：；；……，則展開式中，所有項的系數和是．【答案】512【分析】本題主要考查了數字類規律題，根據題意可知各項系數之和為，然后把代入計算即可．解：各行系數和：當時：所有項系數之和為：，當時，所有項系數之和為：，當時，所有項系數之和為：，當時，所有項系數之和為：，…可知，當時，各項系數之和為：，故答案為：512．4．（24-25七年級上·上海·期中）將大小相等的圓點按如圖規律擺放，則第個圖形共有圓點個．【答案】【分析】本題主要考查了圖形類的規律探索，單項式乘以多項式，觀察可知每個圖形的最外圈有4個小圓點，中間的小圓點數是序號乘以序號加1，據此規律求解即可．解：第1個圖形有個圓點，第2個圖形有個圓點，第3個圖形有個圓點，第4個圖形有個圓點，……，以此類推，可知第個圖形共有圓點：個，故答案為：．【知識點二】相交線與平行線【考點11】余角、補角、對頂角、角平分線綜合1．（24-25七年級下·全國·期中）如圖，將一副三角板的直角頂點重合擺放在桌面上，若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了同角的余角相等，利用該性質可得，熟知同角的余角相等是解題的關鍵．解：，，．故選：B．2．（22-23七年級上·浙江紹興·期末）如圖，在三角形中，．D是邊上的一個動點（點D不與A，B重合），過點D，C作射線，與邊，形成夾角分別為，，則與滿足數量關系（）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了余角和補角，根據與互補，與互余可得，，列式相減即可得出結論．解：由圖可知與互補，與互余，∴①，②，得．故選：D．3．（24-25七年級下·全國·期中）如圖，直線，，都過點，且，平分，，則．【答案】/149度【分析】此題考查了角平分線定義，垂直的定義，熟練掌握定義及性質是解本題的關鍵．根據對頂角相等得出，進而利用互余和角平分線的定義得出的度數，進而解答即可．解：∵，∴，∵，∴，∴，∵平分，∴，∴，故答案為：．4．（23-24七年級下·山東日照·期中）如圖，已知直線相交于點O，為射線，，平分，，則的度數為．【答案】/128度【分析】本題考查了對頂角相等，角平分線．明確角度之間的數量關系是解題的關鍵．由題意知，，由平分，可得，則，可求，根據，計算求解即可．解：由題意知，，∵平分，∴，∵，∴，解得，，∴，故答案為：．【考點12】直線公理、線段公理1．（24-25九年級上·廣西南寧·開學考試）數學源于生活，寓于生活，用于生活．下列各選項中能用“垂線段最短”來解釋的現象是（

）A．測量跳遠成績 B．木板上彈墨線C．彎曲河道改直 D．兩釘子固定木條【答案】A【分析】本題考查了垂線段最短，線段的性質．根據垂線段最短，線段的性質分別判斷即可．解：A、測量跳遠成績是求腳后跟到起跳線的距離，數學常識為垂線段最短，故該選項符合題意；B、木板上彈墨線，能彈出一條筆直的墨線，數學常識為兩點確定一條直線，故該選項不符合題意；C、彎曲河道改直，就能夠縮短路程，數學常識為兩點之間，線段最短，故該選項不符合題意；D、兩釘子固定木條，數學常識為兩點確定一條直線，故該選項不符合題意；故選：A．2．（23-24七年級下·山西大同·期中）數學源于生活，用于生活，我們要會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界，例如，體育課上老師測量跳遠成績時，測量線段的長度即可．這樣做的數學道理是（

）A．垂線段最短B．兩條直線相交只有一個交點C．在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直D．兩點確定一條直線【答案】A【分析】本題考查了垂線段最短的性質在實際生活中的應用．熟練掌握垂線段最短是解題的關鍵．根據垂線段最短作答即可．解：體育課上老師測量跳遠成績時，測量線段的長度即可．這樣做的數學道理是垂線段最短，故選：A．3．（24-25八年級上·山東德州·期中）如圖，在四邊形中，，，平分，若、分別是，邊上的動點，當的值最小時，的度數為．【答案】/15度【分析】本題主要考查了軸對稱的性質，垂線段最短．作點Q關于的對稱點H，則，則，當C、H、P三點在同一直線上，且時，最短，再由平分，可得點H在邊上，即可求解．解：如圖，作點Q關于的對稱點H，則，∴，∴當C、H、P三點在同一直線上，且時，最短，∵平分，∴點H在邊上，∴此時，∵，∴，∵，∴．故答案為：4．（18-19七年級下·山東濟寧·期中）如圖所示，在中，，，邊上高，若點在邊上（不含端點）移動，當時長度最短．【答案】/4.8【分析】此題考查了垂線段最短，熟練掌握線段的性質是解本題的關鍵．根據點到直線的連線中，垂線段最短，得到當垂直于時，的長最小，利用面積法即可求出此時的長．解：根據垂線段最短可知，當時，最短，，，，即最短時的值為：．故答案為：．【考點13】平行線的判定1．（24-25八年級上·山東聊城·期末）如圖，是延長線上一點，下列條件中能判定的有（

）A． B．C． D．且【答案】D【分析】本題考查了平行線的判定，根據平行線的判定定理逐一排除即可求解，掌握平行線的判定方法是解題的關鍵．解：、∵，∴，原選項不符合題意；、∵，∴，原選項不符合題意；、由，不能判定，原選項不符合題意；、∵，，∴，∴，∴，原選項符合題意；故選：．2．（24-25七年級下·天津和平·階段練習）如圖，下列說法錯誤的是（

）A．若，，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【分析】本題主要考查平行線的判定．根據平行的傳遞性和平行線的判定定理進行判斷即可．解：A．若，，則，利用了平行的傳遞性，故此項不符合題意；B．若，則，利用了內錯角相等，兩直線平行，故此項不符合題意；C．若，則，不能判斷，故此項符合題意；D．若，則，先利用對頂角相等，再利用同旁內角互補，兩直線平行，故此項不符合題意．故選C．3．（24-25七年級下·上海·階段練習）如圖，已知交于點，交于點，平分，交于點，．當時，．【答案】65【分析】本題考查平行線的判定，對頂角的性質，分線的定義，熟練掌握平行線的判定定理是解題的關鍵．先由對頂角的性質求得，再根據平行線的判定定理和角平分線的定義求解．解：∵，∴，∵當時，，∴，∵平分，∴，故答案為：65．4．（24-25七年級下·全國·課后作業）如圖，已知，則與的位置關系是．【答案】【分析】本題考查了平行線的判定，對頂角相等，因為，，所以，則，即可作答．解：∵，，∴，∴，故答案為：【考點14】平行線的性質求角1．（23-24七年級下·甘肅蘭州·期中）如圖所示，已知，，則的度數為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了平行線的判定與性質求角度，熟練平行線的判定與性質是解題的關鍵．先根據內錯角相等證明，再由得到，即可求解．解：∵，∴，∴，∵，∴，故選：C．2．（23-24七年級下·甘肅蘭州·期中）如圖，直線分別與直線，相交于、，已知，平分交直線于點．則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了角平分線的定義，平行線的判定和性質，熟練掌握平行線的判定和性質是解題的關鍵．先求出，再根據角平分線的定義求出，然后根據平行線的判定得出，根據平行線的性質即可求解．解：∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴．故選：A．3．（24-25九年級下·浙江金華·階段練習）如圖，已知，直線分別與a，b相交于D，A兩點，把一塊含角的三角尺按如圖所示的位置擺放，若，，則的度數為．【答案】【分析】本題考查了平行線的性質以及三角板的特性．先由對頂角相等，得出，根據兩直線平行，同旁內角互補，得，即可作答．解：如圖：，，∵，且解得故答案為：4．（24-25八年級上·山東菏澤·期末）小明研究兩條平行線間的拐點問題在生活中的應用，書桌上有一款長臂折疊護眼燈，其示意圖如圖所示，與桌面垂直．當發光的燈管恰好與桌面平行時，若，，則的度數為．【答案】【分析】此題考查了平行線的性質，熟記平行線的性質定理是解題的關鍵．過點作，過點作，根據平行線的性質求解即可．解：，，如圖，過點作，過點作，，，，，，，，，，，故答案為：．【考點15】平行線的性質與判定綜合1．（24-25七年級下·全國·期中）如圖，下列推理不正確的是（

）A．，∴ B．∵，C．∵，∴ D．∵，【答案】B【分析】本題考查平行線的知識，解題的關鍵是掌握平行線的判定和性質，進行解答，即可．解：A、∵，∴，同旁內角互補，兩直線平行，正確；B、∵，∴，兩直線平行，內錯角相等，錯誤；C、∵，∴，內錯角相等，兩直線平行，正確；D、∵，∴，兩直線平行，同旁內角互補，正確；故選：B．2．（16-17七年級下·福建南平·期末）如圖，，則滿足的數量關系是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了平行線的性質，兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補；熟練掌握平行線的性質，正確作出輔助線是解題關鍵．如圖，過點作，過點作，根據平行線的性質可得，，根據可得，根據平行線的性質可得，進而根據角的和差關系即可得答案．解：如圖，過點作，過點作，∴，，∵，∴，∴，∴，∴．故選：C．3．（20-21七年級下·浙江·期中）將一副三角板按如圖放置，，，，則：①；②；③如果，則有；④如果，則有．上述結論中正確的是（填寫序號）．【答案】①②③④【分析】本題考查了平行線的判定與性質，解決本題的關鍵是掌握平行線的判定與性質．根據平行線的判定與性質進行逐一判斷即可．解：①，，，故①正確;②，，故②正確；③，，，故③正確；④，，，故④正確；綜上所述，①②③④均正確；故答案為：①②③④4．（21-22八年級下·廣東深圳·期中）如圖，在中，與的平分線交于點D，經過點D，分別交于點E，F，，點D到的距離為4，則的面積為．

【答案】12【分析】由等腰三角形的性質及角平分線的定義可得，可得，再利用三角形的面積計算可求解．解：∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，點D到的距離為4，∴．故答案為：12．【點撥】本題主要考查平行線的判定，角平分線的定義，等腰三角形的性質，三角形的面積，證明是解題的關鍵．【考點16】平行線的性質與判定在生產生活中的應用1．（24-25七年級下·上海·階段練習）一學員在訓練場上駕駛汽車，兩次拐彎后，行駛的方向和原來的方向相同，這兩次拐彎的角度可能是（

）A．第一次向左拐，第二次向右拐B．第一次向左拐，第二次向右拐C．第一次向左拐，第二次再向左拐D．第一次向左拐，第二次再向左拐【答案】A【分析】此題主要考查了平行線的性質，掌握兩直線平行，同位角相等是解題關鍵．根據平行線的性質分別判斷得出即可．解：∵兩次拐彎后，按原來的方向前進，即行駛方向平行，∴兩次拐彎的方向相反，形成的角是同位角，且拐的角度相等．A、兩次拐彎的方向相反，形成的角是同位角，且拐的角度相等，故此選項符合題意；B、兩次拐彎的方向相反，形成的角是同位角，但拐的角度不相等，故此選項不符合題意；C、兩次拐彎的方向相同，形成的角不是同位角，故此選項不符合題意；D、兩次拐彎的方向相同，形成的角不是同位角，故此選項不符合題意；故選：A．2．（24-25八年級上·遼寧沈陽·期末）生活中常見的探照燈、汽車大燈等燈具都與拋物線有關．如圖，從光源P點照射到拋物線上的光線，等反射以后沿著與平行的方向射出，若，，則的度數為（）A． B． C． D．無法確定【答案】C【分析】本題主要考查了平行線的性質，根據兩直線平行，內錯角相等可得，又因為，所以，再根據，即可解得．解：∵，，∴，∵，∴，∵，∴．故選：C．3．（24-25七年級下·上海·階段練習）如圖所示，修高速公路需開鑿隧道，為節省時間，現從山的兩側、處同時開工．如果在處測得隧道的走向是北偏東，那么在處應按方向開工，才能使隧道準確接通．【答案】南偏西【分析】本題考查平行線的性質和方向角在實際生活中的運用，解答此類題需要從運動的角度，正確畫出方位角，利用平行線的性質解答．如圖，根據根據平行線的性質得出，再根據方位角的概念，表示出方位角，即可求解．解：如圖，由題意得：，∴，∴按南偏西的方向開工．故答案為：南偏西．4．（24-25九年級下·遼寧鞍山·開學考試）光線在不同介質中的傳播速度是不同的，因此當光線從水中斜射向空氣時會發生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光線，在空氣中也是平行的．如圖，若，，則的度數為．【答案】/79度【分析】本題考查平行線的性質，解題的關鍵是由平行線的性質推出，，．求出的度數，即可得到的度數，解：如圖，c'c∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，即的度數為．故答案為：．【知識點三】概率初步【考點17】事件的分類1．（24-25九年級上·北京·期中）下列事件中，為必然事件的是（

）A．明年農歷“大雪”節氣那天下雪B．經過有交通信號燈的路口，遇到紅燈C．旭日東升D．擲一枚刻有1到6點數的骰子，向上一面的點數是7【答案】C【分析】本題主要考查了事件的分類，正確把握各事件的定義是解題關鍵．必然事件指在一定條件下一定發生的事件；不確定事件即隨機事件，是指在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件；不可能事件是指在一定條件下，必然不會發生的事件；據此逐項判斷即可．解：A．明年農歷“大雪”節氣那天下雪是隨機事件，故此選項不符合題意；B．經過有交通信號燈的路口，遇到紅燈，是隨機事件，故此選項不符合題意；C．太陽每天從東方升起是自然規律，是必然事件，故此選項符合題意；；D．擲一枚刻有1到6點數的骰子，擲得的點數不可能出現點數7，是不可能事件，故此選項不符合題意；故：C．2．（24-25九年級上·湖北武漢·期末）下列事件中，必然事件是（

）A．明天是晴天 B．地球自西向東自轉C．籃球隊員在罰球線投籃一次，投中 D．擲一枚硬幣，正面朝上【答案】B【分析】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發生的事件，不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件．根據事件發生的可能性大小判斷即可．解：A、明天是晴天是隨機事件，本選項不符合題意；B、地球自西向東自轉是必然事件，本選項符合題意；C、籃球隊員在罰球線投籃一次，投中是隨機事件，本選項不符合題意；D、擲一枚硬幣，正面朝上是隨機事件，本選項不符合題意；故選：B．3．（24-25九年級上·廣東陽江·期末）漢語是中華民族智慧的結晶，成語又是漢語中的精華，是中華文化的一大瑰寶，具有極強的表現力．下列成語描述的事件屬于隨機事件的是（

）A．旭日東升 B．畫餅充饑 C．守株待兔 D．竹籃打水【答案】C【分析】本題考查了事件的分類，一定會發生的事件是必然事件，一定不會發生的事件是不可能事件，可能會發生的事件是隨機事件，據此判定即可求解，理解以上定義是解題的關鍵．解：A.旭日東升是必然事件；B.畫餅充饑是不可能事件；C.守株待兔是隨機事件；D.竹籃打水是不可能事件；故選：C．4．（23-24八年級下·江蘇無錫·期末）在一個不透明的袋子中裝有僅顏色不同的8個小球，其中紅球3個，黑球5個．若先從袋子中取出個紅球，再從袋子中隨機摸出1個球，將“摸出黑球”記為事件．那么，當時，事件為隨機事件．【答案】2【分析】本題考查了隨機事件，熟練掌握隨機事件，必然事件，不可能事件的特點是解題的關鍵．根據隨機事件的概念即可得出答案．解：∵事件為隨機事件．∴“摸出黑球”為隨機事件，∴必須留有紅球，才能使摸出黑球為隨機事件，∵，∴m的值是2；故答案為：2．【考點18】由頻率估計概率1．（24-25九年級上·江蘇鎮江·期末）一只不透明的袋子中裝有3個黃球和個紅球，這些球除顏色外都相同．課外興趣小組做摸球試驗：每次摸出一個球，記錄下顏色后再放回，大量重復試驗后發現，摸到紅球的頻率在附近擺動，則的值最可能是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【分析】本題考查了用頻率估計概率及用概率求數量，解題的關鍵是熟練掌握概率公式．根據題意可得藍球出現的頻率穩定在附近，再根據概率公式列出方程，最后解方程即可求出n．解：∵大量重復試驗后發現，摸到藍球的頻率穩定在，，解得：，經檢驗是方程的解，即n的值最可能是．故選：D．2．（2025七年級下·全國·專題練習）新鄭紅棗又名雞心大棗、雞心棗，是河南省鄭州市新鄭市的特產，素有“靈寶蘋果潼關梨，新鄭大棗甜似蜜”的盛贊．某綜合實踐小組跟蹤調查了新鄭紅棗的移栽成活情況，得到如圖所示的統計圖，由此可估計新鄭紅棗移栽成活的概率約為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了利用頻率估計概率．由于樹苗數量巨大，故其成活的概率與頻率可認為近似相等．用到的知識點為：總體數目=部分數目÷相應頻率．部分的具體數目=總體數目×相應頻率．由圖可知，成活概率在上下波動，故可估計這種樹苗成活的占比穩定在左右，成活的概率估計值為．解：這種樹苗成活的占比穩定在，成活的概率估計值約是．故選：C．3．（24-25九年級上·寧夏中衛·期末）某林業局將一種樹苗移植成活的情況繪制成如統計圖，由此可估計這種樹苗移植成活的概率約為．【答案】【分析】本題考查了利用頻率估計概率．由圖可知，成活概率在上下波動，故可估計這種樹苗成活的頻率穩定在，成活的概率估計值為．解：這種樹苗成活的頻率穩定在，成活的概率估計值約是．故答案為：．4．（24-25九年級上·福建泉州·期末）如圖，已知邊長為4的正方形二維碼，為估算二維碼中黑色部分的面積，在正方形區域內任取100個點，若有65個點在黑色部分，則二維碼中黑色部分的面積約為．【答案】【分析】本題主要考查利用頻率估計概率．用正方形的面積乘以點落在區域內黑色部分的頻率穩定值即可．解：根據題意，二維碼中黑色部分的面積約為．故答案為：．【考點19】已知概率計算數量1．（24-25九年級上·山東威海·期末）在一個不透明的袋子里裝有紅球、黃球共20個，這些球除顏色外都相同，小明通過多次試驗發現，摸到紅球的頻率穩定在0.4左右，則袋子中紅球的個數可能是（

）A．2 B．8 C．12 D．16【答案】B【分析】本題主要考查利用頻率估計概率，通過多次試驗發現，摸出紅球的頻率穩定在0.4左右，說明摸出紅球的概率為0.4，由此結合概率公式進行計算求解即可．大量重復實驗時，事件發生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據頻率穩定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率，理解并熟練運用概率公式是解題關鍵．解：由題意，摸出紅球的概率為0.4，袋子中紅球的個數最有可能是（個）．故選：B．2．（24-25九年級上·山西陽泉·期末）在一個不透明的布袋中，有紅球、黑球和白球共50個，且小球除顏色外其他完全相同．源源通過多次摸球試驗后發現，摸到紅球和黑球的頻率分別穩定在0.12和0.36左右，則口袋中白球的個數很可能是（

）A．6個 B．19個 C．25個 D．26個【答案】D【分析】本題主要考查了利用頻率估計概率的知識，具體數目應等于總數乘部分所占總體的比值．用球的總數乘以白球所占球的總數的頻率，即為白球的個數．解：∵摸到紅球和黑球的頻率分別穩定在0.12和0.36左右，∴摸到白球的頻率穩定在左右，∴白球的個數為：，故選：D．3．（24-25九年級上·河南信陽·期末）一個不透明的箱子里有若干個小球，這些小球除顏色外完全相同．箱子中有12個白球，剩下的都是紅球，小穎經過多次重復試驗，發現摸到紅球的頻率穩定在0.25左右，則紅球的個數為．【答案】4【分析】此題考查了用頻率估計概率，掌握“經過大量重復試驗后，事件發生的頻率會穩定在一個常數，這個常數等于該事件發生的概率”，據此即可解答．解：∵摸到紅球的頻率穩定在，∴摸到白球的頻率穩定在，∴箱子里球的總個數（個），∴紅球的個數（個），故答案為：4．4．（24-25九年級上·湖南長沙·期末）圍棋起源于中國，棋子分黑白兩色，一個不透明的盒子中裝有6個黑色棋子和若干個白色棋子，每個棋子除顏色外都相同，任意摸出一個棋子，摸到黑色棋子的概率是，則盒中棋子的總個數是個．【答案】24【分析】本題考查了概率公式，用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比．根據黑色棋子除以相應概率可以算出棋子的總數．解：由題意，盒中棋子的總個數是個故答案為：【考點20】由概率公式計算概率1．（24-25九年級上·江蘇鹽城·期末）二十四個節氣分別為：春季（立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小滿、芒種、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、處暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若從二十四個節氣中選一個節氣，則抽到的節氣在冬季的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了根據概率公式求概率，根據二十四個節氣中，立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒，共六個節氣在冬季，計算即可得解，用到的知識點為：概率等于所求情況數與總情況數之比．解：∵二十四個節氣中，立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒，共六個節氣在冬季，∴從二十四個節氣中選一個節氣，則抽到的節氣在冬季的概率為，故選：A．2．（24-25九年級上·廣東惠州·期末）從、1、0、這四個數中任取一個數，為負數的概率是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了概率公式以及有理數的分類，熟記概率公式是解題的關鍵．首先找出是負數的個數，根據概率負數個數與個數之比，求解即可．解：∵負數有，，共2個，∴從這4個數中任取一個數，取到負數的的概率是，故選：A．3．（24-25九年級上·浙江杭州·期末）某單位組織抽獎活動，共準備100張獎券，其中一等獎10張，二等獎30張，其余的獎券都是三等獎，則從中隨機抽出一張獎券中三等獎的概率是．【答案】/0.6【分析】本題考查了概率公式，用三等獎的數量除以獎券的總個數即可．解：100張獎券，其中一等獎10張，二等獎30張，則三等獎張，∴一張獎券中三等獎的概率為．故答案為：．4．（24-25九年級上·福建泉州·期末）一個不透明箱子里有紅球和綠球共9個，它們除了顏色外都相同，隨機從中摸一個球，恰好摸到紅球的概率是，則袋子中有個紅球．【答案】【分析】本題主要考查概率公式，根據概率公式即可得到結論．熟練掌握概率公式是解題的關鍵．解：袋子中紅球的個數為（個．故答案為：6．【考點21】游戲的公平性1．（24-25九年級上·四川南充·期末）一個可以自由轉動的轉盤，等分為8個扇形，分別寫上1，2，…，8共8個數字，甲乙倆根據轉動停止后指針指向的數作游戲（指向分界線另轉）．下列規則不公平的是（

）A．指向奇數甲贏，指向偶數乙贏B．指向3的倍數甲贏，指向4的倍數乙贏C．指向大于4的數甲贏，指向小于4的數乙贏D．指向3的倍數甲得1分，指向5的倍數乙得2分，準先得到10分誰贏【答案】C【分析】根據題意可知共有種結果，再利用概率的計算公式即可解答，本題考查了概率的定義，概率的計算公式，熟練運用概率的計算公式是解題的關鍵．解：∵當轉盤停止后，指針指向的數字即為轉出的數字，共有8種等可能出現的結果數，其中“是奇數”的有種，“是偶數”的也有4種，∴“指向奇數”的概率是，“指向偶數”的概率是；∴指向奇數甲贏，指向偶數乙贏的游戲公平，故A項不符合題意；∵當轉盤停止后，指針指向的數字即為轉出的數字，共有8種等可能出現的結果數，∴其中“指向的倍數”的有種，“指向4的倍數”的種，∴“指向的倍數”的概率是，“指向4的倍數”的概率是；∴指向3的倍數甲贏，指向4的倍數乙贏的游戲公平，故B項不符合題意；∵當轉盤停止后，指針指向的數字即為轉出的數字，共有8種等可能出現的結果數，∴其中“指向大于4的數”的有4種，“指向小于4的數”的有3種，∴“指向大于4的數”的概率是，“指向小于4的數”的概率是，∴指向大于4的數甲贏，指向小于4的數乙贏的游戲不公平，故C項符合題意；∵當轉盤停止后，指針指向的數字即為轉出的數字，共有8種等可能出現的結果數，∴其中“指向的倍數”的有種，“指向5的倍數”的1種，∵指向3的倍數甲得1分，指向5的倍數乙得2分，∴“甲得10分”的概率是，“乙得10分”的概率是；∴指向3的倍數甲得1分，指向5的倍數乙得2分，準先得到10分誰贏的游戲公平，故D項不符合題意；2．（21-22九年級·浙江寧波·階段練習）有2個信封，第一個信封內的四張卡片上分別寫有1，2，3，4，第二個信封內的四張卡片上分別寫有5，6，7，8，甲、乙兩人商定了一個游戲，規則是：從這兩個信封中各隨機抽取一張卡片，得到兩個數．為了使大量次游戲后對雙方都公平，獲勝規則不正確的是（

）A．第一個信封內取出的數作為橫坐標，第二個信封內取出的數作為縱坐標，所確定的點在直線上甲獲勝，所確定的點在直線上乙獲勝B．取出的兩個數乘積不大于15甲獲勝，否則乙獲勝C．取出的兩個數乘積小于20時甲得3分，否則乙得6分，游戲結束后，累計得分高的人獲勝D．取出的兩個數相加，如果得到的和為奇數，則甲獲勝，否則乙獲勝【答案】A【分析】利用列表法分別求出各選項中各自情況情況數即可得出答案．解：在上的點有，，，四點；在上的點有，，三點，因此該游戲不公平，故A符合題意；取出兩個數的乘積不大于15的有5、6、7、8、10、12、14、15共8種情況，取出兩個數的乘積大于15的有16、18、20、21、24、24、28、32共8種情況，因此該游戲公平，故B項不符合題意；取出的兩個數乘積小于20的情況數為10種，可得分，取出的兩個數乘積不小于小于20的情況數為6種，可得分，因此該游戲公平，故C項不符合題意；取出的兩個數相加和為奇數有8種，和不為奇數的有8種，因此該游戲公平，故D項不符合題意故答案為：A．【點撥】本題主要考查了游戲的公平性，求出各選項中對應情況數是解題的關鍵．3．（24-25七年級下·全國·課后作業）小明用一枚質地均勻的骰子設計了一個游戲：任意擲出骰子，當擲出的是偶數點時，黑方前進一步；當擲出的是奇數點時，紅方前進一步．這個游戲（填“公平”或“不公平”）．【答案】公平【分析】本題考查的是游戲公平性的判斷．判斷游戲公平性就要計算每個事件發生的概率，概率相等就公平，否則就不公平，用到的知識點為：概率所求情況數與總情況數之比．解：任意擲出骰子，出現的點數情況如下：1，2，3，4，5，6，共六種情況．，，因此這個游戲公平．故答案為：公平．4．（24-25九年級上·廣東江門·期末）甲、乙兩人玩撲克牌游戲，游戲規則是：從牌面數字分別為2，3，4的三張撲克牌中，隨機抽取一張，放回后，再隨機抽取一張，若所抽取的兩張牌面數字的和為奇數，則甲獲勝；若所抽取的兩張牌面數字的和為偶數，則乙獲勝．這個游戲．（填“公平”或“不公平”）【答案】不公平【分析】本題考查利用概率判斷游戲公平性，熟練掌握列舉法求概率是解題的關鍵，利用列表法表示出所有可能，進而利用概率公式求出即可．解：由題可列表如下：234245635674678由表知，共有9種等可能結結果，其中和為奇數的有4種結果，和為偶數的有5種結果，∴甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，∵，∴這個游戲不公平，故答案為：不公平．【考點22】幾何概率1．（24-25九年級上·江蘇南京·期末）如圖，飛鏢游戲板中的每一塊小正方形都完全一樣．假設飛鏢擊中任何一個位置都是等可能的，任意投擲飛鏢1次（擊中陰影區域的邊界或者沒有擊中游戲板，則重投1次），則飛鏢擊中陰影區域的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了幾何概率，掌握某事件的概率等于這個事件所占有的面積與總面積之比成為解題的關鍵．先計算出陰影部分的面積，然后計算陰影部分的面積與整個圖形的面積的比即可．解：∵陰影部分為正方形，正方形的邊長為，∴陰影區域的面積為，∵整個正方形的面積為，∴飛鏢擊中陰影區域的概率是．故選C．2．（24-25九年級上·廣東清遠·期末）隨著移動互聯網的興起和智能手機的普及，二維碼逐漸進入了人們的生活，成為廣大民眾生活中不可或缺的一部分．小剛將二維碼打印在面積為30的正方形紙片上，如圖，為了估計黑色陰影部分的面積，他在紙片內隨機擲點，經過大量實驗，發現點落在黑色陰影的頻率穩定在左右，則據此估計此二維碼黑色陰影部分的面積為（

）A． B． C．12 D．18【答案】D【分析】本題主要考查利用頻率估計概率，大量重復實驗時，事件發生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據這個頻率穩定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率，然后運用概率公式求解即可．解：∵經過大量實驗，發現點落在黑色陰影的頻率穩定在左右，∴點落在陰影部分的概率為，設陰影部分面積為S，則，即：，∴黑色陰影的面積為18，故選：D．3．（24-25九年級上·湖北武漢·期末）如圖，一只圓形平盤被同心圓劃成，兩個區域（其中區域是半徑為的圓，區域是圓環）．隨機向平盤中撒一把豆子，計算落在，兩個區域的豆子數的比，多次重復這個試驗，發現落入兩個區域的豆子數的比顯示出一定的穩定性，總在兩個區域的面積之比附近擺動．把“在圖形中隨機撒豆子”作為試驗，若事件“豆子落在中”和事件“豆子落在中”的概率相同，小圓半徑，則大圓半徑．

【答案】【分析】本題考查了幾何概率．根據事件“豆子落在中”和事件“豆子落在中”的概率相同，可知區域和區域的面積相等，根據圓的面積公式可得：，解方程求出的值即可．解：事件“豆子落在中”和事件“豆子落在中”的概率相同，區域和區域的面積相等，區域的面積為，區域的面積為，整理得：，解得：或（負數不符合題意，舍去），大圓半徑．故答案為：．4．（24-25九年級上·江蘇蘇州·期末）如圖，正六邊形飛鏢游戲板，對角線，相交于點O．假設飛鏢投中游戲板上的每一點是等可能的（若投中各區域的邊界線或沒有投中游戲板，則重投1次），現向該游戲板隨機投擲飛鏢1次，則飛鏢投中陰影區域的概率是．

【答案】【分析】本題考查幾何概率的求法：飛鏢落在陰影部分的概率就是陰影區域的面積與總面積的比值．解：如圖，連接，根據正六邊形的性質，可知圖中所有小三角形的面積都相等，

∴任意投擲飛鏢一次，飛鏢投中陰影部分的概率為．故答案為：．二、解答題【考點23】整式的乘除中的計算1．（23-24七年級下·江西吉安·期中）計算：（1）； （2）．【答案】（1）；（2）【分析】本題主要考查整式的混合運算，掌握完全平方公式，單項式乘以多項式，整式除法運算法則是解題的關鍵．（1）運用完全平方公式，單項式乘以多項式展開，再根據整式的加減運算法則計算即可；（2）根據整式除法運算法則計算即可．解：（1）解：．（2）解：．2．（23-24七年級下·山西晉中·期中）下面是小明進行整式運算的過程，請你認真閱讀并完成相應任務：解:

……第一步

……第二步

……第三步任務一：第一步計算的依據是；任務二：上述計算過程中，第步出現錯誤，發生錯誤的原因是；任務三：求出當時，該運算的正確結果；【答案】任務一：完全平方公式；任務二：二；平方差公式使用錯誤；任務三：，【分析】本題考查了完全平方公式與平方差公式的應用；任務一：直接根據完全平方公式作答即可；任務一：直接根據平方差公式作答即可；任務三：先根據平方差公式和完全平方公式正確化簡，再去括號合并同類項即可．解：任務一：①完全平方公式．任務二：二；平方差公式使用錯誤．任務二：當時，原式3．（24-25八年級上·江蘇連云港·階段練習）計算．（1） （2）【答案】（1）；（2）【分析】此題主要考查整式的運算，解題的關鍵是熟知整式的乘除運算及乘法公式的運用，（1）先算乘方，再根據單項式的乘除運算法則即可求解；（2）根據乘法公式及多項式乘以多項式法則、單項式乘以多項式計算后再合并即可求解；解：（1）解：（2）【考點24】整式的乘除中的化簡求值1．（24-25八年級上·江蘇南通·期中）（1）先化簡，再求值：，其中，．（2）若與的乘積中不含x的一次項和二次項，求的值．【答案】（1），（2）【分析】此題考查了完全平方公式，多項式乘以多項式以及代數求值，多項式乘積不含某項問題，解題的關鍵是掌握以上運算法則．（1）首先計算完全平方公式和多項式乘以多項式，然后合并同類項，最后代值計算即可；（2）首先計算，然后根據題意得到，，求出，，然后代數求解即可．解：（1），∵，，∴原式；（2）；∵與的乘積中不含x的一次項和二次項，∴，，∴，，∴．2．（23-24八年級上·湖南長沙·期中）先化簡，再求值：（1），其中；（2），其中．【答案】（1），6；（2），【分析】本題考查了單項式與單項式的乘法，多形式與多項式的乘法－化簡求值，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵．（1）先根據單項式與單項式的乘法法則化簡，再把代入計算；（2）先根據多形式與多項式的乘法法則化簡，再把代入計算．解：（1）解：，當，時，原式；（2）解：，當時，原式．3．（24-25八年級上·山西晉城·期中）先化簡，再求值：（1），其中．（2），其中，．【答案】（1），；（2），．【分析】本題考查了整式的混合運算和求值，解決本題的關鍵是根據乘法公式把各部分展開，然后再根據合并同類項的法則合并同類項，把字母的值代入化簡后的代數式中計算求值．首先根據完全平方公式和平方差公式把各部分展開，得到：原式，然后再根據合并同類項的法則合并同類項，可得：原式，把的值代入化簡后的代數式計算求值；首先根據完全平方公式和平方差公式把各部分展開，得到：原式，把括號里面的部分合并同類項，可得：原式，再根據多項式除以單項式的法則計算出結果，把，代入化簡后的代數式計算求值．解：（1）解：，當時，原式；（2）解：．當，時，原式．【考點25】整體的乘除中的幾何圖形1．（24-25八年級上·江蘇南通·期中）如圖，長方形中剪下兩個大小相同的正方形（有關線段的長如圖所示），留下一個“T”型的圖形（陰影部分）．（1）用含x，y的代數式表示“T”型圖形的面積并化簡；（2）若米，“T”型區域鋪上價格為每平方米20元的草坪，請計算草坪的造價．【答案】（1）“T”型圖形的面積為；（2）5440元【分析】本題主要考查多項式乘多項式的幾何應用，熟練掌握多項式乘多項式的幾何應用是解題的關鍵．（1）根據圖形可用割補法進行求解；（2）把代入（1）中式子進行求解面積，然后再根據草坪的造價“T”型區域的面積單價，進而問題可解．解：（1）解：由題意得：“T”型圖形的面積為；（2）解：當米時，此時米，（平方米），∴造價為（元）．2．（24-25七年級上·江西贛州·期中）數學中的許多規律不僅可以通過數的運算發現，也可以通過圖形的面積發現（1）如圖①，在邊長為a的正方形紙片上剪去一個邊長為的小正方形．小明和小紅分別用了兩種不同的方法計算圖中陰影部分的面積．小明的方法：若陰影部分看成大正方形與小正方形的面積差，則陰影部分的面積用代數式表示為____________________；小紅的方法：若沿圖①中的虛線將陰影部分剪開拼成新的長方形（圖②），則陰影部分的面積用代數式表示為______________________________；（2）【發現規律】猜想：這三個代數式之間的數量關系是______________________________；（3）【運用規律】運用上述規律計算：．【答案】（1）；；（2）；（3）1275【分析】（1）大正方形面積為，小正方形的面積為，作差即可；把長方形的長和寬分別用含有a、b的代數式表示出來，再按照長方形面積公式計算即可；（2）根據第（1）小題發現的規律寫出等量關系即可；（3）每兩個數為一組按照根據第（2）小題寫出的規律進行變形，問題即可解決．解：（1）解：小明的方法：大正方形面積為，小正方形的面積為，∴陰影部分的面積為；小紅的方法：長方形的長為，寬為，∴陰影部分的面積為．（2）解：這三個代數式之間的數量關系為：；（3）解：．【點撥】本題是一道綜合性題目，通過代數計算填表和面積法兩種方式發現規律：平方差公式．然后再運用規律進行計算，提高了學生應用數學的能力，解題的關鍵是發現規律．3．（24-25七年級上·湖北孝感·期中）如圖①所示是一個長為，寬為的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四個小長方形，然后按圖②的方式拼成一個正方形．（1）你認為圖②中的陰影部分的正方形的邊長等于________；（2）請用兩種不同的方法列代數式表示圖②中陰影部分的面積．方法①________，方法②________；（3）觀察圖②，你能寫出，，這三個代數式之間的等量關系嗎？（4）根據（3）中的等量關系，解決如下問題：若，，求的值．【答案】（1）；（2）；；（3）；（4）4【分析】本題考查了完全平方公式的幾何背景，讀懂題意，找到所求的量的等量關系是解題關鍵．（1）由題意可知，剪裁后的小長方形的長為，寬為，即可得到答案；（2）用兩種不同方法表示出陰影面積即可；（3）結合（2）所得式子，即可得到答案；（4）根據（3）中的等量關系計算即可．解：（1）解：由題意可知，剪裁后的小長方形的長為，寬為，則圖②中的陰影部分的正方形的邊長等于，故答案為：（2）解：方法①陰影的面積為邊長的正方形面積，即；方法②陰影的面積為大正方形的面積減去四個小長方形的面積，則，故答案為：；；（3）解：根據圖②里圖形的面積關系，可得；（4）解：由（3）中的等量關系可知，．【考點26】概率初步中的求解1．（23-24八年級下·江蘇鎮江·期中）在一個不透明的袋子中裝有僅顏色不同的12個小球，其中紅球4個，黑球8個．（1）進行如下的實驗操作：先從袋子中取出個紅球后，再從袋子中剩余的球中隨機摸出1個球，此時將“第二次摸出的1個球是黑球”記為事件A．①若事件A是必然事件，則m的值是______；②若事件A是隨機事件，則m的值是_____；（2）從袋子中取出n個紅球，再從袋子中剩余的球中隨機摸出1個球，若第二次摸到的1個球是黑球的可能性大小是，求n的值．【答案】（1）4；2或3；（2）2【分析】本題考查了必然事件與隨機事件，概率的求法．如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現m種可能，那么事件A的概率．（1）當袋子中全部為黑球時，摸出黑球才是必然事件，否則就是隨機事件；（2）利用概率公式列出方程，求得m的值即可．解：（1）解：①若事件A是必然事件，則袋子中剩余的球都是黑球，∴；②若事件A是隨機事件，則袋子中剩余的球有黑球也有紅球，∴m的值是2或3；故答案為：4；2或3；（2）解：依題意，得，解得，經檢驗是原方程的解，∴n的值為2．2．（23-24八年級下·江蘇淮安·期中）某商場進行促銷，購物滿額即可獲得1次抽獎機會，抽獎袋中裝有紅色、黃色、白色三種除顏色外都相同的小球，從袋子中摸出1個球，紅色、黃色、白色分別代表一、二、三等獎．（1）若小明獲得1次抽獎機會，小明中獎是事件．（填隨機、必然、不可能）（2）小明觀察一段時間后發現，平均每6個人中會有1人抽中一等獎，2人抽中二等獎，若袋中共有18個球，請你估算袋中白球的數量；（3）在（2）的條件下，如果在抽獎袋中增加3個黃球，那么抽中一等獎的概率為多少？【答案】（1）必然；（2）9個；（3）【分析】本題主要考查了簡單的概率計算，已知概率求數量，事件的分類：（1）根據題意可知，小明一定會中獎，即小明中獎是必然事件；（2）根據題意可知抽中一等獎的概率為，抽中二等獎的概率為，據此求出紅色球和黃色球的數量，進而求出白色球數量；（3）用紅色球數量除以球的總數即可得到答案．解：（1）解：∵只有三個小球，每個小球都對應著相應的獎級，∴小明獲得1次抽獎機會，小明一定會中獎，即小明中獎是必然事件，故答案為：必然；（2）解：∵平均每6個人中會有1人抽中一等獎，2人抽中二等獎，∴抽中一等獎的概率為，抽中二等獎的概率為，∴紅色球和黃色球分別有個，個，∴估算袋中白球的數量為個；（3）解：，∴如果在抽獎袋中增加3個黃球，那么抽中一等獎的概率為．3．（23-24八年級下·江蘇南京·階段練習）某市林業局積極響應習總書記“青山綠水就是金山銀山”的號召，特地考察一種花卉移植的成活率，對本市這種花卉移植成活的情況進行了調查統計，并繪制了如圖所示的統計圖．

請你根據統計圖提供的信息，回答下列問題：（1）估計這種花卉成活概率為．（精確到）（2）該林業局已經移植這種花卉棵．①估計這批花卉成活的棵樹；②根據市政規劃共需要成活棵這種花卉，估計還需要移植多少棵？【答案】（1）；（2）①，②．【分析】本題考查了用頻率估計概率，已知概率求數量，理解概率的意義是解答本題的關鍵．（1）根據統計圖可得頻率，根據頻率與概率的關系可得概率；（2）①用乘以成活的概率即可；②用移植的總棵數減去已經移植的棵數．解：（1）解：由圖可知，這種花卉成活率穩定在附近，估計成活概率為．（2）解：①估計這批花卉成活的棵樹為：（棵）；②估計還需要移植多少棵為：（棵）．4．（24-25七年級下·全國·期中）一個不透明的袋中裝有若干個紅球和白球，它們除顏色外其他均相同．已知袋中共有30個球，將袋中的球搖勻后，從中任意摸出一個球是紅球的概率是．（1）求袋中共有多少個白球；（2）從袋中取走10個球（其中沒有白球），并將袋中球搖勻后，求從剩余的球中任意摸出一個球是白球的概率．【答案】（1）12個；（2）【分析】本題考查了用列舉法求概率，解題的關鍵是熟練掌握概率公式，一般地，如果在一次試驗中，有種可能的結果，并且它們發生的可能性都相等，事件包含其中的種結果，那么事件發生的概率為且．（1）根據概率公式列方程求出球的總個數即可；（2）先求出剩余球的總數量，根據概率公式求解即可．解：（1）解：設袋中共有x個紅球，因為袋中共有30個球，從中任