精算師模擬測試完美版帶解析2024選擇題（每題2分，共30題）

1.已知隨機變量$X$服從參數為$\lambda$的泊松分布，且$P(X=1)=P(X=2)$，則$\lambda$的值為（）

A.1

B.2

C.3

D.4

解析：泊松分布的概率質量函數為$P(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^{k}}{k!}$，已知$P(X=1)=P(X=2)$，則有$\frac{e^{-\lambda}\lambda^{1}}{1!}=\frac{e^{-\lambda}\lambda^{2}}{2!}$。因為$e^{-\lambda}\neq0$，兩邊同時約去$e^{-\lambda}$，得到$\lambda=\frac{\lambda^{2}}{2}$，即$\lambda^{2}-2\lambda=0$，因式分解得$\lambda(\lambda-2)=0$，解得$\lambda=0$或$\lambda=2$，由于泊松分布參數$\lambda>0$，所以$\lambda=2$，答案選B。

2.設$X$和$Y$是兩個相互獨立的隨機變量，$X\simN(0,1)$，$Y\simN(1,4)$，則$Z=2X+Y$服從的分布是（）

A.$N(1,8)$

B.$N(1,6)$

C.$N(0,8)$

D.$N(0,6)$

解析：若$X\simN(\mu_{1},\sigma_{1}^{2})$，$Y\simN(\mu_{2},\sigma_{2}^{2})$，且$X$與$Y$相互獨立，則$aX+bY\simN(a\mu_{1}+b\mu_{2},a^{2}\sigma_{1}^{2}+b^{2}\sigma_{2}^{2})$。已知$X\simN(0,1)$，$Y\simN(1,4)$，$a=2$，$b=1$，那么$E(Z)=2E(X)+E(Y)=2\times0+1=1$，$D(Z)=2^{2}D(X)+D(Y)=4\times1+4=8$，所以$Z=2X+Y\simN(1,8)$，答案選A。

3.某保險公司承保的某類風險的索賠次數$N$服從參數為$\lambda$的泊松分布，已知$E(N^{2})=6$，則$\lambda$的值為（）

A.2

B.3

C.4

D.5

解析：對于泊松分布$N\simP(\lambda)$，有$E(N)=\lambda$，$D(N)=\lambda$，又因為$D(N)=E(N^{2})-[E(N)]^{2}$，所以$E(N^{2})=D(N)+[E(N)]^{2}=\lambda+\lambda^{2}$。已知$E(N^{2})=6$，則$\lambda+\lambda^{2}=6$，即$\lambda^{2}+\lambda-6=0$，因式分解得$(\lambda+3)(\lambda-2)=0$，解得$\lambda=-3$或$\lambda=2$，由于$\lambda>0$，所以$\lambda=2$，答案選A。

4.已知某保險標的的損失額$X$服從指數分布，其概率密度函數為$f(x)=\frac{1}{\theta}e^{-\frac{x}{\theta}},x>0$，且$E(X)=5$，則$P(X>10)$的值為（）

A.$e^{-2}$

B.$1-e^{-2}$

C.$e^{-0.5}$

D.$1-e^{-0.5}$

解析：對于指數分布$X\simExp(\theta)$，其期望$E(X)=\theta$，已知$E(X)=5$，所以$\theta=5$。指數分布的分布函數為$F(x)=1-e^{-\frac{x}{\theta}},x>0$，則$P(X>10)=1-P(X\leq10)=1-F(10)=1-(1-e^{-\frac{10}{5}})=e^{-2}$，答案選A。

5.設$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$是來自總體$X$的一個樣本，$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}$，$S^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}$，當總體$X\simN(\mu,\sigma^{2})$時，$\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}}$服從的分布是（）

A.正態分布

B.卡方分布

C.t分布

D.F分布

解析：根據抽樣分布的知識，當總體$X\simN(\mu,\sigma^{2})$時，$\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}}\sim\chi^{2}(n-1)$，即服從自由度為$n-1$的卡方分布，答案選B。

6.已知某險種的純保費為200元，費用附加率為20%，則該險種的毛保費為（）

A.220元

B.240元

C.260元

D.280元

解析：毛保費的計算公式為毛保費=純保費×(1+費用附加率)。已知純保費為200元，費用附加率為20%，則毛保費為$200\times(1+20\%)=200\times1.2=240$元，答案選B。

7.假設某保險事故在一年內發生的概率為0.1，若有10個相互獨立的被保險人，則至少有一個被保險人發生保險事故的概率為（）

A.$1-(0.9)^{10}$

B.$(0.9)^{10}$

C.$1-(0.1)^{10}$

D.$(0.1)^{10}$

解析：設事件$A$表示至少有一個被保險人發生保險事故，其對立事件$\overline{A}$表示沒有一個被保險人發生保險事故。每個被保險人不發生保險事故的概率為$1-0.1=0.9$，因為10個被保險人相互獨立，所以$P(\overline{A})=(0.9)^{10}$，那么$P(A)=1-P(\overline{A})=1-(0.9)^{10}$，答案選A。

8.已知某保險公司的盈余過程$U(t)=u+ct-S(t)$，其中$u$為初始盈余，$c$為保費收入率，$S(t)=\sum_{i=1}^{N(t)}X_{i}$，$N(t)$為索賠次數過程，$X_{i}$為第$i$次索賠額。若$N(t)$服從參數為$\lambda$的泊松過程，$X_{i}$相互獨立且同分布，$E(X_{i})=\mu$，則$E(S(t))$為（）

A.$\lambdat\mu$

B.$\lambda\mu$

C.$t\mu$

D.$\lambdat$

解析：根據復合泊松過程的期望公式，若$S(t)=\sum_{i=1}^{N(t)}X_{i}$，其中$N(t)$是參數為$\lambda$的泊松過程，$X_{i}$相互獨立且同分布，$E(X_{i})=\mu$，則$E(S(t))=E(N(t))E(X_{i})$。因為$E(N(t))=\lambdat$，所以$E(S(t))=\lambdat\mu$，答案選A。

9.在壽險精算中，設$l_{x}$表示$x$歲的生存人數，$d_{x}$表示$x$歲到$x+1$歲的死亡人數，則$q_{x}$（$x$歲的死亡率）的計算公式為（）

A.$\frac{d_{x}}{l_{x}}$

B.$\frac{l_{x}}{d_{x}}$

C.$\frac{d_{x}}{l_{x+1}}$

D.$\frac{l_{x+1}}{d_{x}}$

解析：$x$歲的死亡率$q_{x}$定義為$x$歲的人在一年內死亡的概率，即$q_{x}=\frac{d_{x}}{l_{x}}$，答案選A。

10.設某保險產品的躉繳純保費為$P$，保額為$A$，年利率為$i$，則在完全連續情形下，若已知死亡力為$\mu$，則$P$與$A$的關系為（）

A.$P=A\mu\overline{a}_{\overline{1}\vert}$

B.$P=A\overline{A}_{\overline{1}\vert}$

C.$P=A\frac{\mu}{\delta}$

D.$P=A\frac{\delta}{\mu}$

解析：在完全連續情形下，保額為$A$的終身壽險躉繳純保費$P=A\overline{A}_{x}$，對于特殊情況，當只考慮一年期時，$P=A\overline{A}_{\overline{1}\vert}$，答案選B。

11.已知某保險標的的損失服從正態分布$N(1000,200^{2})$，則損失超過1300的概率為（）

A.$\varPhi(1.5)$

B.$1-\varPhi(1.5)$

C.$\varPhi(0.5)$

D.$1-\varPhi(0.5)$

解析：設損失額為$X\simN(1000,200^{2})$，則$Z=\frac{X-1000}{200}\simN(0,1)$。$P(X>1300)=1-P(X\leq1300)=1-P(\frac{X-1000}{200}\leq\frac{1300-1000}{200})=1-P(Z\leq1.5)=1-\varPhi(1.5)$，答案選B。

12.在非壽險精算中，用鏈梯法進行未決賠款準備金估計時，已知各事故年的累計賠款數據，計算進展因子時，通常用（）

A.相鄰進展期的累計賠款之比

B.相鄰進展期的增量賠款之比

C.各進展期的累計賠款之和

D.各進展期的增量賠款之和

解析：鏈梯法計算進展因子時，通常用相鄰進展期的累計賠款之比，即第$i$個進展因子$f_{i}=\frac{C_{j,i+1}}{C_{j,i}}$，其中$C_{j,i}$表示第$j$個事故年在第$i$個進展期的累計賠款，答案選A。

13.已知一組數據$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$的均值為$\overline{x}$，方差為$s^{2}$，若將每個數據都加上常數$a$，則新數據的均值和方差分別為（）

A.$\overline{x}+a,s^{2}$

B.$\overline{x},s^{2}+a$

C.$\overline{x}+a,s^{2}+a$

D.$\overline{x},s^{2}$

解析：設新數據為$y_{i}=x_{i}+a$，$i=1,2,\cdots,n$。則新數據的均值$\overline{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_{i}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}+a)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}+a=\overline{x}+a$；新數據的方差$s_{y}^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(y_{i}-\overline{y})^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}[(x_{i}+a)-(\overline{x}+a)]^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\overline{x})^{2}=s^{2}$，答案選A。

14.某保險公司的保費收入服從正態分布$N(5000,100^{2})$，則保費收入在4800到5200之間的概率為（）

A.$\varPhi(2)-\varPhi(-2)$

B.$\varPhi(1)-\varPhi(-1)$

C.$2\varPhi(2)-1$

D.$2\varPhi(1)-1$

解析：設保費收入為$X\simN(5000,100^{2})$，則$Z=\frac{X-5000}{100}\simN(0,1)$。$P(4800<X<5200)=P(\frac{4800-5000}{100}<\frac{X-5000}{100}<\frac{5200-5000}{100})=P(-2<Z<2)=\varPhi(2)-\varPhi(-2)=2\varPhi(2)-1$，答案選C。

15.在風險理論中，調節系數$R$滿足的方程是（）

A.$M_{X}(R)=1+\frac{c}{\lambda}$

B.$M_{X}(R)=1-\frac{c}{\lambda}$

C.$M_{X}(R)=\frac{c}{\lambda}$

D.$M_{X}(R)=-\frac{c}{\lambda}$

解析：在風險理論中，調節系數$R$滿足的方程是$M_{X}(R)=1+\frac{c}{\lambda}$，其中$M_{X}(R)$是索賠額$X$的矩母函數，$c$是保費收入率，$\lambda$是索賠次數的泊松參數，答案選A。

16.設$X$是一個隨機變量，其概率密度函數為$f(x)=\begin{cases}2x,&0\leqx\leq1\\0,&\text{其他}\end{cases}$，則$E(X)$為（）

A.$\frac{1}{3}$

B.$\frac{2}{3}$

C.$\frac{1}{2}$

D.$\frac{3}{4}$

解析：根據期望的計算公式$E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx$，對于本題有$E(X)=\int_{0}^{1}x\cdot2xdx=2\int_{0}^{1}x^{2}dx=2\times[\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}=\frac{2}{3}$，答案選B。

17.已知某壽險保單的保額為10萬元，預定利率為3%，采用均衡純保費方式，若被保險人30歲投保，保險期限為20年，則每年的均衡純保費與下列哪個因素無關（）

A.30歲的生存人數

B.30歲到50歲各年齡的死亡率

C.預定費用率

D.預定利率

解析：均衡純保費的計算主要考慮死亡率和預定利率，與預定費用率無關。均衡純保費是基于保險金額、被保險人的年齡、各年齡的死亡率以及預定利率來計算的，而預定費用率是用于計算毛保費時考慮的因素，答案選C。

18.在非壽險精算中，對于已發生未報告（IBNR）賠款準備金的估計方法中，下列哪種方法不屬于常用方法（）

A.鏈梯法

B.案均賠款法

C.準備金進展法

D.生命表法

解析：生命表法主要用于壽險精算中描述人口死亡規律等，在非壽險精算中，對于已發生未報告（IBNR）賠款準備金的常用估計方法有鏈梯法、案均賠款法、準備金進展法等，答案選D。

19.設隨機變量$X$和$Y$的相關系數為$\rho_{XY}=0.5$，$D(X)=1$，$D(Y)=4$，則$Cov(X,Y)$為（）

A.0.5

B.1

C.2

D.4

解析：相關系數的計算公式為$\rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}$，已知$\rho_{XY}=0.5$，$D(X)=1$，$D(Y)=4$，則$Cov(X,Y)=\rho_{XY}\sqrt{D(X)D(Y)}=0.5\times\sqrt{1\times4}=1$，答案選B。

20.某保險產品的費率厘定采用純保費法，已知某類風險的純保費為50元，費用率為30%，利潤附加率為10%，則該保險產品的毛費率為（）

A.70元

B.75元

C.80元

D.85元

解析：毛費率=純保費×(1+費用率+利潤附加率)，已知純保費為50元，費用率為30%，利潤附加率為10%，則毛費率為$50\times(1+30\%+10\%)=50\times1.4=70$元，答案選A。

21.在壽險精算中，$a_{x}$表示（）

A.$x$歲的人終身年金的躉繳純保費

B.$x$歲的人$n$年期年金的躉繳純保費

C.$x$歲的人終身壽險的躉繳純保費

D.$x$歲的人$n$年期壽險的躉繳純保費

解析：在壽險精算中，$a_{x}$表示$x$歲的人終身年金的躉繳純保費，答案選A。

22.已知某保險公司的風險單位數為$n$，每個風險單位的損失額相互獨立且同分布，其均值為$\mu$，方差為$\sigma^{2}$，則該保險公司的總損失的均值和方差分別為（）

A.$n\mu,n\sigma^{2}$

B.$\mu,\sigma^{2}$

C.$n\mu,\sigma^{2}$

D.$\mu,n\sigma^{2}$

解析：設每個風險單位的損失額為$X_{i}$，$i=1,2,\cdots,n$，總損失$S=\sum_{i=1}^{n}X_{i}$。因為$E(X_{i})=\mu$，$D(X_{i})=\sigma^{2}$，且$X_{i}$相互獨立，所以$E(S)=\sum_{i=1}^{n}E(X_{i})=n\mu$，$D(S)=\sum_{i=1}^{n}D(X_{i})=n\sigma^{2}$，答案選A。

23.某保險事故的發生次數服從二項分布$B(n,p)$，已知$n=10$，$p=0.2$，則該事故發生次數的期望和方差分別為（）

A.2,1.6

B.2,0.4

C.0.2,1.6

D.0.2,0.4

解析：對于二項分布$X\simB(n,p)$，期望$E(X)=np$，方差$D(X)=np(1-p)$。已知$n=10$，$p=0.2$，則$E(X)=10\times0.2=2$，$D(X)=10\times0.2\times(1-0.2)=1.6$，答案選A。

24.在非壽險精算中，對于已決賠款數據進行趨勢分析時，常用的方法是（）

A.線性回歸分析

B.卡方檢驗

C.t檢驗

D.F檢驗

解析：在非壽險精算中，對于已決賠款數據進行趨勢分析時，常用線性回歸分析來找出賠款數據隨時間等因素的變化趨勢，答案選A。

25.設$X$是一個離散型隨機變量，其分布列為$P(X=k)=\frac{1}{n}$，$k=1,2,\cdots,n$，則$E(X)$為（）

A.$\frac{n+1}{2}$

B.$\frac{n}{2}$

C.$\frac{n-1}{2}$

D.$n$

解析：根據期望的計算公式$E(X)=\sum_{k=1}^{n}kP(X=k)$，因為$P(X=k)=\frac{1}{n}$，所以$E(X)=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}k=\frac{1}{n}\times\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n+1}{2}$，答案選A。

26.已知某壽險保單的預定利率為$i$，保額為$A$，$n$年期定期壽險的躉繳純保費為$A\cdotA_{x:\overline{n}\vert}^{1}$，則$A_{x:\overline{n}\vert}^{1}$表示（）

A.$x$歲的人$n$年期定期壽險的躉繳純保費系數

B.$x$歲的人$n$年期生存保險的躉繳純保費系數

C.$x$歲的人終身壽險的躉繳純保費系數

D.$x$歲的人$n$年期年金保險的躉繳純保費系數

解析：$A_{x:\overline{n}\vert}^{1}$表示$x$歲的人$n$年期定期壽險的躉繳純保費系數，即保額為1時的$n$年期定期壽險躉繳純保費，答案選A。

27.在風險理論中，破產概率$\psi(u)$表示（）

A.初始盈余為$u$時最終破產的概率

B.初始盈余為$u$時在一年內破產的概率

C.初始盈余為$u$時在$n$年內破產的概率

D.初始盈余為$u$時永不破產的概率

解析：破產概率$\psi(u)$表示初始盈余為$u$時最終破產的概率，答案選A。

28.設$X$和$Y$是兩個隨機變量，若$E(XY)=E(X)E(Y)$，則（）

A.$X$和$Y$相互獨立

B.$X$和$Y$不相關

C.$D(X+Y)=D(X)+D(Y)$

D.以上都對

解析：若$E(XY)=E(X)E(Y)$，則根據協方差的計算公式$Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0$，當$Cov(X,Y)=0$時，$X$和$Y$不相關。而$X$和$Y$不相關并不一定意味著它們相互獨立；同時，當$X$和$Y$不相關時，$D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)=D(X)+D(Y)$。所以答案選D。

29.某保險公司對某類風險的索賠次數進行統計，發現索賠次數服從泊松分布，已知在一段時間內平均索賠次數為5次，則該時間段內索賠次數不超過3次的概率為（）

A.$\sum_{k=0}^{3}\frac{e^{-5}5^{k}}{k!}$

B.$\sum_{k=0}^{3}\frac{e^{-5}k^{5}}{5!}$

C.$\sum_{k=3}^{\infty}\frac{e^{-5}5^{k}}{k!}$

D.$\sum_{k=3}^{\infty}\frac{e^{-5}k^{5}}{5!}$

解析：若索賠次數$N$服從參數為$\lambda$的泊松分布，其概率質量函數為$P(N=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^{k}}{k!}$。已知$\lambda=5$，則索賠次數不超過3次的概率為$P(N\leq3)=\sum_{k=0}^{3}P(N=k)=\sum_{k=0}^{3}\frac{e^{-5}5^{k}}{k!}$，答案選A。

30.在壽險精算中，對于$n$年期生存保險，設$v=\frac{1}{1+i}$（$i$為預定利率），$l_{x}$為$x$歲的生存人數，$l_{x+n}$為$x+n$歲的生存人數，則$n$年期生存保險的躉繳純保費為（）

A.$v^{n}\frac{l_{x+n}}{l_{x}}$

B.$v^{n}\frac{l_{x}}{l_{x+n}}$

C.$v\frac{l_{x+n}}{l_{x}}$

D.$v\frac{l_{x}}{l_{x+n}}$

解析：$n$年期生存保險是指被保險人在$n$年末生存時給付保險金的保險。設保額為1，$n$年末給付1元的現值為$v^{n}$，$x$歲的人在$n$年末生存的概率為$\frac{l_{x+n}}{l_{x}}$，所以$n$年期生存保險的躉繳純保費為$v^{n}\frac{l_{x+n}}{l_{x}}$，答案選A。

判斷題（每題1分，共10題）

1.若兩個隨機變量$X$和$Y$相互獨立，則它們的協方差$Cov(X,Y)=0$。（）

解析：根據協方差的計