PAGEPAGE1其次章推理與證明1.用反證法證明命題“若整數系數一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有有理根，那么a，b，c中至少有一個是偶數”，下列各假設中正確的是（）A.假設a，b，c都是偶數B.假設a，b，c都不是偶數C.假設a，b，c中至多有一個是偶數D.假設a，b，c中至多有兩個偶數解析：選B.對命題的結論“a，b，c中至少有一個是偶數”進行否定假設應是“假設a，b，c都不是偶數”.因為“至少有一個”即有一個、兩個或三個，因此它的否定應是“都不是”.2.以下數表的構造思路源于我國南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算法》一書中的“楊輝三角形”.12345…20132014201520163579…………40274029403181216…805680602028…16116…………該表由若干行數字組成，從其次行起，每一行中的數字均等于其“肩上”兩數之和，表中最終一行僅有一個數，則這個數為（）A.2017×22013 B.2017×22014C.2016×22015 D.2016×22014解析：選B.當第一行為2個數時，最終一行僅一個數，為3＝3×1＝3×20；當第一行為3個數時，最終一行僅一個數，為8＝4×2＝4×21；當第一行為4個數時，最終一行僅一個數，為20＝5×4＝5×22；當第一行為5個數時，最終一行僅一個數，為48＝6×8＝6×23.歸納推理，得當第一行為2016個數時，最終一行僅一個數，為2017×22014.故選B.3.通過圓與球的類比，由結論“半徑為r的圓的內接四邊形中，正方形的面積最大，最大值為2r2”猜想關于球的相應結論為“半徑為R的球的內接六面體中，”.（）A.長方體的體積最大，最大值為2R3B.正方體的體積最大，最大值為3R3C.長方體的體積最大，最大值為eq\f(4\r(3)R3,9)D.正方體的體積最大，最大值為eq\f(8\r(3)R3,9)解析：選D.類比可知半徑為R的球的內接六面體中，正方體的體積最大，設其棱長為a，正方體體對角線的長度等于球的直徑，即eq\r(3)a＝2R，得a＝eq\f(2R,\r(3))，體積V＝a3＝eq\f(8\r(3)R3,9).故選D.4.已知a，b，c，d∈（0，＋∞）.求證ac＋bd≤eq\r(（a2＋b2）（c2＋d2）).證明：法一：（分析法）欲證ac＋bd≤eq\r(（a2＋b2）（c2＋d2）)，只需證（ac＋bd）2≤（a2＋b2）（c2＋d2），即證a2c2＋2abcd＋b2d2≤a2c2＋b2d2＋a2d2＋b2c2，即證2abcd≤a2d2＋b2c2，即證0≤（bc－ad）2，而a，b，c，d∈（0，＋∞），0≤（bc－ad）2明顯成立，故原不等式成立.法二：（綜合法）（a2＋b2）（c2＋d2）＝a2c2＋b2d2＋a2d2＋b2c2≥a2c2＋b2d2＋2abcd＝（ac＋bd）2，所以eq\r(（a2＋b2）（c2＋d2）)≥ac＋bd.5.已知數列{an}滿意關系式a1＝a（a>0），an＝eq\f(2an－1,1＋an－1)（n≥2，n∈N*），（1）用a表示a2，a3，a4；（2）猜想an的表達式（用a和n表示），并證明你的結論.解：（1）a2＝eq\f(2a,1＋a)，a3＝eq\f(2a2,1＋a2)＝eq\f(2×\f(2a,1＋a),1＋\f(2a,1＋a))＝eq\f(4a,1＋3a)，a4＝eq\f(2a3,1＋a3)＝eq\f(2×\f(4a,1＋3a),1＋\f(4a,1＋3a))＝eq\f(8a,1＋7a).（2）因為a1＝a＝eq\f(20a,1＋（20－1）a)，a2＝eq\f(21a,1＋（21－1）a)，…，猜想an＝eq\f(2n－1a,1＋（2n－1－1）a).下面用數學歸納法證明：①當n＝1時，因為a1＝a＝eq\f(20a,1＋（20－1）a)，所以當n＝1時結論正確.②假設當n＝k（k≥1，k∈N*）時結論正確，即ak＝eq\f(2k－1a,1＋（2k－1－1）a)，所以當n＝k＋1時，ak＋1＝eq\f(2ak,1＋ak)＝eq\f(\f(2ka,1＋（2k－1－1）a),1＋\f(2k－1a,1＋（2k－1－1）a))＝eq\f(2ka,1＋（2k－1－1）