第1頁/共1頁2025北京重點校初一（上）期末數學匯編整式的加減章節綜合（解答題）一、解答題1．（2025北京門頭溝初一上期末）閱讀理解：進位制是人們為了記數和運算方便而約定的記數系統．約定逢十進一就是十進制，逢二進一就是二進制．也就是說，“逢幾進一”就是幾進制在日常生活中，我們最熟悉、最常用的是十進制．使用十個數字記數時，幾個數字排成一行，第一位是個位，個位上的數字是幾就表示幾個一，十位上的數字是幾就表示幾個十；接著依次是百位、千位…．例如，十進制數721中的7表示7個百，2表示2個十，于是我們就可以表示成各數位上的數字與基數的冪的乘積之和的形式：．（規定當時，，721右下角的10代表以10為基數）問題解決：(1)十進制532寫成數字與基數的冪的乘積之和的形式：；(2)“二進制”是逢二進一，其各數位上的數字為0或1．請把二進制數1101表示成各數位上的數字與基數的冪的乘積之和的形式：；此時通過計算就轉化為了十進制數；(3)根據逢二進一的規則計算：．2．（2025北京門頭溝初一上期末）我們規定：數軸上的點A所表示的數為x，點B所表示的數為，數軸上存在點P，兩兩形成的線段中存在相等關系（點P不與點A點B重合），則稱點P為線段的“等關聯點”．(1)當時，點P為線段的“等關聯點”，點P所表示的數為；(2)數軸上存在點M、N，點M所表示的數是，點N所表示的數是，如果線段MN上存在3個點P為線段的“等關聯點”，則x的最大值是；(3)對于任意的點A，如果存在點P為線段的“等關聯點”，求點P所表示的數．（用含x的代數式表示）3．（2025北京門頭溝初一上期末）先化簡，再求值：，其中．4．（2025北京懷柔初一上期末）先化簡，再求值：，其中．5．（2025北京昌平初一上期末）【提出問題】數學課上，老師提出一個問題：求的值．【問題探究】甲、乙兩位同學的探究過程如下：甲同學借助圖形進行探究，如圖，他將一個面積為1的正方形紙片進行分割，部分②面積是部分①面積的一半，部分③面積是部分②面積的一半，依此類推，他用最大正方形的面積減去陰影部分面積即是的值．乙同學從代數角度進行探究，設，則用第二個等式減去第一個等式即可求出的值．由甲、乙同學的探究過程可知．（1）陰影面積為_____________；（2）____________；【拓展應用】（3）根據上述兩位同學的探究方法，歸納_____________；（4）由（3）歸納的結論，計算______________，請說明理由．

6．（2025北京昌平初一上期末）定義：對于一個兩位數，它的個位數字與十位數字不相同，且都不為零，將其個位數字與十位數字對調后得到一個新的兩位數，將這個新兩位數與原兩位數求和，除以11所得的商記為．例如，對調個位數字與十位數字得到的新兩位數為31，因為，所以．(1)____________；(2)若，在下列各數中可能為____________（填序號）；①14；②25；③32；④46(3)若的十位數字是，個位數字是，猜想___________（用含，的代數式表示），并說明理由．7．（2025北京昌平初一上期末）先合并同類項，再求代數式的值：，其中．8．（2025北京大興初一上期末）先化簡，再求值：，其中．9．（2025北京西城初一上期末）先化簡，再求值：，其中，．10．（2025北京順義初一上期末）學習完有理數加、減、乘、除運算后，數學興趣小組對新運算“”進行了探究．探究過程如下：I.給出了“”的一些具體例子：

II.根據上面的例子，小華畫出了“”的部分流程圖如下：Ⅲ.小明在小華的基礎上進一步完善和改進，畫出了“”的流程圖如下：根據以上探究過程，完成下面問題：(1)在①，②，③中，符合小華畫的部分流程圖的運算有______（只填序號）；(2)小明畫的流程圖中的A處應填______，B處應填______；(3)根據小明畫的流程圖解決下面問題：①計算：；②若，則x的值為______．11．（2025北京順義初一上期末）已知，，求的值.12．（2025北京延慶初一上期末）用四個如圖1所示的長為a，寬為1的長方形，放置在一個長為m，寬為n的大長方形內部，拼成一個如圖2所示的圖形．(1)用等式表示m與a之間的數量關系；(2)設長方形①的周長為，長方形②的周長為，求（用含n的式子表示）．13．（2025北京延慶初一上期末）先化簡，再求值：，其中，．14．（2025北京東城初一上期末）對于數軸上的點和線段，給出如下定義：若點與線段上一點的距離等于線段的長，則稱點是線段的“強關聯點”．(1)點表示的數分別是0，2．①在，0，3中，線段的“強關聯點”所表示的數有______；②線段的“強關聯點”所表示的數最大為______，最小為______；(2)線段的長為．①線段的“強關聯點”所表示的數中，最大數與最小數的差為______；②線段的長為，若存在點，使得點既是線段的“強關聯點”，也是線段的“強關聯點”．將線段的“強關聯點”所表示的數中的最大數與線段的“強關聯點”所表示的數中的最小數的差記為，則的最大值為______（用含的式子表示）．15．（2025北京東城初一上期末）已知，，其中．判斷的符號，并說明理由．16．（2025北京東城初一上期末）先化簡，再求值：，其中，．17．（2025北京東城初一上期末）計算：(1)；(2)18．（2025北京朝陽初一上期末）如果用表示一個三位數，那么這個數百位，十位，個位上的數字分別為x，y，z．已知三位數能被9整除．(1)寫出一組滿足條件的a，b，c的值；(2)說明三位數能被9整除．19．（2025北京豐臺初一上期末）圖1是年月份的日歷，用圖所示的“九方格”框住圖中的個日期，將其中被陰影方格覆蓋的四個日期分別記為、、、．(1)______（填“>”，“<”或“=”）；(2)當圖2在圖1的不同位置時，代數式的值是否為定值？若是，請求出它的值；若不是，請說明理由．20．（2025北京朝陽初一上期末）先化簡，再求值：，其中，．21．（2025北京海淀初一上期末）先化簡，再求值，，其中，．22．（2025北京海淀初一上期末）先化簡，再求值，，其中，．23．（2025北京通州初一上期末）求代數式的值．(1)，其中；(2)，其中，．24．（2025北京燕山初一上期末）已知，求代數式的值．25．（2025北京燕山初一上期末）化簡：(1)；(2)．26．（2025北京豐臺初一上期末）先化簡，再求值：，其中，27．（2025北京昌平初一上期末）先化簡，再求值：，其中，．

參考答案1．(1)(2)，13(3)【分析】本題主要考查了數字變化的規律及有理數的混合運算，理解題中所給“十進制”及“二進制”數的改寫方式是解題的關鍵．（1）根據題中所給示例，按要求進行改寫即可；（2）根據“二進制”數的定義，按要求進行改寫即可；（3）根據逢二進一的規則進行計算即可．【詳解】（1）解：由題知，．故答案為：．（2）由題知，．故答案為：，13；（3）根據逢二進一的規則可知，．2．(1)，2，5(2)1(3)，，【分析】本題考查了數軸，列代數式，正確列出代數式是解題的關鍵．（1）先求出點A，點B所表示的數，再分類討論即可；（2）求出滿足題意的x的取值范圍，從而得到x的最大值；（3）分三種情況進行討論即可．【詳解】（1）解：當時，點A表示的數為1，點B表示的數為3，①當點P在點A左側時，，∴點P表示的數為；②當點P在點A，點B之間，∴點P表示的數為2；③當點P在點B右側時，，∴點P表示的數為5；綜上所述：點P所表示的數為：，2，5，故答案為：，2，5；（2）∵線段上存在3個點P為線段的“等關聯點”，∴，∴，∴x的最大值是1，故答案為：1；（3）①當點P在點A左側時，，∴點P：；②當點P在點A，點B之間，∴點P：；③當點P在點B右側時，，∴點P：；綜上所述：點P所表示的數為：．3．，【分析】本題主要考查了整式的加減﹣化簡求值，解題的關鍵是掌握去括號法則、合并同類項法則．先去括號，再合并同類項，最后將代入求值．【詳解】解：，∵，∴原式．4．，【分析】本題考查了整式的加減－化簡求值，先去括號合并同類項，然后把代入計算即可．【詳解】解：原式∵，∴．5．（1）；（2）；（3）；（4），理由見解析【分析】本題主要考查圖形規律，數字規律，理解題意，找出數字規律、圖形規律是解題的關鍵．（1）根據一個面積為1的正方形紙片進行分割，部分②面積是部分①面積的一半，部分③面積是部分②面積的一半，依此類推，即可求解；（2）根據材料提示方法計算即可；（3）設，則，根據材料提示方法計算即可求解；（4）設，則，根據材料提示計算即可．【詳解】解：（1）根據圖示可得，故答案為：；（2）設，則，∴∴，故答案為：；（3）設，則，∴，故答案為：；（4）設，則，∴，∴，故答案為：．6．(1)9；(2)①③；(3)，理由見解析．【分析】本題考查了整式的加減運算，有理數的混合運算，熟練掌握相關運算法則是解題的關鍵．（1）參照示例，代入運算，即可得到結果；（2）對所給的四個數字，逐一計算，可得到結果；（3）表示出這個兩位數，代入運算，可得到結果．【詳解】（1）解：，故答案為：9；（2）解：∵，，，，∴時，x為14或32，故答案為：①③；（3）解：，理由如下：∵x的十位數字是m，個位數字是n，∴兩位數為，∴，故答案為：．7．，．【分析】本題考查了整式的加減—化簡求值．利用合并同類項法則計算，然后把代入求解即可．【詳解】解：，當時，原式．8．，【分析】本題主要考查了整式的化簡求值，先去括號，然后合并同類項化簡，最后代值計算即可得到答案．【詳解】解：，當時，原式．9．；【分析】本題考查了整式加減的化簡與求值，熟練掌握整式加減的運算法則是解題的關鍵．根據整式加減的運算法則化簡，再將，代入到化簡后的式子計算即可．【詳解】解：，當，時，原式．10．(1)②(2)；(3)①；②1或【分析】本題考查了新定義運算、程序流程圖、有理數的混合運算，理解題意，根據新運算結果探究出運算規律是解題的關鍵．（1）根據小華畫的部分流程圖，結合題目的運算即可判斷；（2）根據“”的一些具體例子，分和兩種情況討論，利用有理數的混合運算法則即可解答；（3）①利用（2）中的運算規律，直接計算即可；②由可得，從而列出方程，解出的值即可解答．【詳解】（1）解：當時，和不一定為0，故①③不符合小華畫的部分流程圖的運算；當時，符號為正；當時，結果為0；當時，符號為負；故②符合小華畫的部分流程圖的運算；故答案為：②．（2）解：，，，，，當時，，小明畫的流程圖中的A處應填；，，，，，當時，；小明畫的流程圖中的B處應填；故答案為：；．（3）解：①，；②，，即，，，解得：或，的值為1或．故答案為：1或．11．【分析】此題考查整式加減中的化簡求值，正確掌握整式的加減法計算法則是解題的關鍵．【詳解】解：原式，∵，∴原式．12．(1)(2)【分析】本題考查的是整式的加減運算，列代數式；（1）由長方形的長與線段的和差運算可得答案；（2）先分別求解，，再求和即可．【詳解】（1）解：由題意可得：；（2）解：，，．13．，【分析】本題考查了整式的化簡求值的知識，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．根據整式的加減運算，化簡原式為，再將，分別代入原式即可求解．【詳解】解：，，，當，時，原式．14．(1)①0，3；②4，(2)①；②【分析】本題主要考查了數軸上兩點之間的距離，解題關鍵是運用數形結合和分類討論的思想分析問題．（1）①首先根據題意可知，分別求得與，0，3表示的點相距2個單位長度的點表示的有理數，然后結合“強關聯點”的定義分別判斷即可；②首先求得距離點為2的點表示的有理數以及距離點為2的點表示的有理數，再比較大小，即可獲得答案；（2）①根據題意作出圖形，結合（1）即可獲得答案；②由題意可知，點為線段的“強關聯點”所表示的最大數，且為線段的“強關聯點”所表示的最小數，然后作圖，結合圖形即可獲得答案．【詳解】（1）解：①如圖，∵點表示的數分別是0，2，∴，與表示的點相距2個單位長度的點表示的有理數為或，∵，∴表示的點不是線段的“強關聯點”；與0表示的點相距2個單位長度的點表示的有理數為或，∵，∴0表示的點是線段的“強關聯點”；與3表示的點相距2個單位長度的點表示的有理數為1或5，∵，∴3表示的點是線段的“強關聯點”；②距離點為2的點表示的有理數為和2，距離點為2的點表示的有理數為0和4，∵，∴線段的“強關聯點”所表示的數最大為4，最小為．故答案為：①0，3；②4，；（2）①如下圖，結合（1）可知，線段的“強關聯點”所表示的數中，最大數與最小數的差為；②若點既是線段的“強關聯點”，也是線段的“強關聯點”，且線段的“強關聯點”所表示的數中的最大數與線段的“強關聯點”所表示的數中的最小數的差取最大值，則為線段的“強關聯點”所表示的最大數，且為線段的“強關聯點”所表示的最小數，如下圖，∴．故答案為：①；②．15．的符號為正，理由見解析【分析】本題主要考查了整式加減運算，熟練掌握整式加減運算法則是解題關鍵．將，代入，并按照去括號、合并同類項的步驟化簡，結合，，即可獲得答案．【詳解】解：的符號為正，理由如下：．因為，所以．又因為，所以，即．16．，【分析】本題主要考查了整式的化簡求值和去括號，熟知相關計算法則是解題的關鍵．先根據整式的加減計算法則和去括號法則化簡，然后代值計算即可．【詳解】解：原式．當，時，原式．17．(1)(2)【分析】本題主要考查了整式的加減，去括號，合并同類項等知識點，熟練掌握整式的加減運算法則是解題的關鍵．（1）先將化成分數，再合并同類項即可；（2）先去括號，再合并同類項即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．18．(1)，，（答案不唯一）(2)見解析【分析】本題主要考查了列代數式、代數式變形等知識點，根據題意、正確列出代數式是解題的關鍵．（1）先用代數式表示出表示的數，然后列舉出能被9整除的數，最后確定a，b，c的值即可；（2）由，設（k為正整數），然后進行變形即可說明三位數能被9整除．【詳解】（1）解：∵，，∴，，（答案不唯一）．（2）解：由題意可知，．∵能被9整除，設（k為正整數）．∴．∴能被9整除．由題意可知，．∵，能被9整除，∴能被9整除．19．(1)(2)代數式的值是定值，其定值為【分析】此題考查列代數式及整式加減的應用，解題的關鍵是理解題意，弄清楚數字的排列規律．（1）分別用含的式子表示、、、，列出代數式，化簡后比較即可得出結論；（2）分別用含的式子表示、、、，列出代數式，化簡后即可解決問題．【詳解】（1）解：設（為正整數），則，，，則：，，，故答案為：；（2）代數式的值是定值，理由如下：設（為正整數），則，，，為定值，的值為定值，其定值為．20．，【分析】本題考查整式的化簡及求值．根據題意先將整式化簡，再將，代入化簡結果即可．【詳解】解：，當，時，原式．21．，．【分析】本題考查了整式