第六章反比例函數

本/章/整/體/說/課

e教學目標

項旗與支能」

1.探索簡單實例中的數量關系和變化規律，了解常量、變量的意義.

2.結合實例，了解函數的概念和三種表示法,能舉出函數的實例.

3.能結合圖象對簡單實際問題中的函數關系進行分析.

4.能確定簡單實際問題中函數自變量的取值范圍，并會求出函數值.

5.能用適當的函數表示法刻畫簡單實際問題中變量之間的關系.

6.結合對函數關系的分析,能對變量的變化情況進行初步討論.

7.結合具體情境體會反比例函數的意義,能根據已知條件確定反比例函數的表達式.

8.能畫出反比例函數的圖象,根據圖象和表達式尸（后0）探索并理解k>0和k<0時，圖

象的變化情況.

9.能使用反比例函數解決簡單實際問題.

過程與方法

1.經歷從具體問題情境中抽象出反比例函數概念的過程,進一步感受函數的模型思想.

2.探索反比例函數的性質，體會研究函數的一般性方法.

與價面獷

1.在反比例函數學習的過程中,進一步發展勇于探索與合作交流的精神.

2.根據圖象和表達式理解反比例函數的性質，體會數形結合的思想和分類的思想.

G教材分析

函數是在探索具體問題中數量關系和變化規律的基礎上抽象出的重要數學概念,是研究

現實世界變化規律的重要數學模型,學生曾在七年級下冊和八年級上冊學習過“變量之間關

系”和“一次函數”等內容,對函數已經有了初步的認識,在此基礎上討論反比例函數及其性

質，可以進一步領悟函數的概念并積累研究函數性質的方法及用函數觀點處理實際問題的經

驗,這對后續學習會產生積極影響.

本章通過具體情境的分析,概括出反比例函數的表達式，明確反比例函數的概念,通過例

題和學生列舉的實例可以豐富對反比例函數的認識,理解反比例函數的意義.結合實例經歷

列表、描點、連線等活動，理解函數的三種表示方法，逐步明確研究函數的一般要求,反比例

函數的圖象具體展現了反比例函數的整體直觀形象,為學生探索反比例函數的一般形式,反

比例函數的性質提供了思維活動的空間，通過對反比例函數尸（心0和K0）圖象的全面觀察

和比較,發現反比例函數自身的規律,結合語言表述,在相互交流中發展從圖象中獲取信息的

能力，同時可以使學生更牢固地掌握反比例函數的性質.

本章最后討論了反比例函數的某些應用,包括在實際中的應用和在數學內部的應用.在

這些數學活動中，注意用函數觀點來處理問題或對問題的解決用函數做出某種解釋,用以加

深對函數的認識,并突出知識之間的內在聯系.

?教學重難點

【重點】反比例函數圖象及其性質;利用反比例函數解決簡單的生活問題.

【難點】根據具體情況對變量的情況進行討論.

J教學建議

1.注重反比例函數概念的形成過程和對概念意義的理解.在反比例函數概念形成的過程

中,應充分利用學生己有的生活經驗和背景知識,創設豐富的現實情境,引導學生關注問題中

變量的相依關系及變化規律,并逐步加深理解,教學中要提供直觀背景,其主要作用是:①展

現產生反比例函數的現實原型,提供可概括性材料,引導學生主動參與并感受數學概念的形

成過程;②在獲得反比例函數概念之后,現實原型將成為概念的某種直觀解釋或實際意義,通

過舉例、說理、討論等活動,力求使學生體驗如何用數學的眼光來審視某些實際現象，思考其

數學意義.

2.要注意和函數的有關知識的銜接,與一次函數進行類比,掌握函數的三種表示法,深化

對函數概念的理解.反比例函數概念的形成,是從感性認識到理性認識轉化的過程,概念一旦

建立后，即已擺脫其原型成為數學對象(有經驗支撐的數學知識).要通過對函數圖象的觀察

和分析,掌握反比例函數的主要性質，體驗“用數學眼光來研究某些數學現象”，深化函數模

型思想,進一步發展我們的抽象思維能力.另外,反比例函數尸("W0)具有豐富的數學含義，

應轉向對其數學意義的理解,從而可以進行更深層次的研究.

e課時劃分

講

1m時

1反比例函數K

講

2m時

反比例函數的圖象與性質K

課

2時

1nf

3反比例函數的應用K

課/時/教/學/詳/案

1反比例函數

■整體設計

◎教學目標

,知識寫技能.

經歷抽象反比例函數概念的過程，體會反比例函數的含義,理解反比例函數的概念.

?過程埸黝'

從現實情境和已有知識經驗出發,經歷抽象反比例函數的過程,讓學生建立初步的符號

感,發展學生的抽象思維能力.

啼瞬噲■價面見.

1.通過創設情境,讓學生經歷在實際問題中探索數量關系的過程,養成用數學思維方式

解決實際問題的習慣.

2.在小組討論中充分體會合作交流的重要性,培養合作意識,提高合作技能.

⑥教學重難點

【重點】反比例函數的概念及應用.

【難點】根據已知條件確定反比例函數的表達式.

和教學準備

【教師準備】求函數值的統計表.

【學生準備】復習函數的相關知識.

區L教學過.

E新課導入

導入一：

我們知道,導體中的電流I,與導體的電阻K導體兩端的電壓〃之間滿足關系式FIR,

當代220V時，

(1)你能用含有#的代數式表示/嗎？

(2)利用寫出的關系式完成下表：

R/Q20406080100

當片越來越大時，/怎樣變化?當斤越來越小呢？

(3)變量/是"的函數嗎?為什么？

［設計意圖］從學生身邊的生活和已有知識出發,創設情境，目的是讓學生感受到生活

當中處處有數學,激發學生對學習數學的興趣和愿望，同時也為抽象反比例函數概念做鋪墊.

導入二：

我們在前面學過一次函數和正比例函數,知道一次函數的表達式為尸kx+b,其中46為

常數且AW0,正比例函數的表達式為尸kx,其中4為不為零的常數,但是在現實生活中,并不

是只有這兩種類型的函數.這就是本節課我們要揭開的奧秘.

留新知構建

1.復習舊知

在某變化過程中有兩個變量X,%若給定其中一個變量X的值,y都有唯一確定的值與它

相對應,則稱y是x的函數.

例如購買單價是0.4元的鉛筆,總金額y(元)與鉛筆數〃(支)的關系式是產0.4/7,這是一

個正比例函數.等腰三角形的頂角的度數y度與底角的度數x度的關系為尸180-2x,y是x

的一次函數.

2.問題探索

問題1

【課件1】導入一中的電流、電阻、電壓之間是否存在函數關系？

解：⑴戶.

(2)從左到右依次填:11,5.5,3.67,2.75,2.2.

利用表格數據提供的信息,并參照對關系式的分析,可以得出當電阻A越來越大時，電流

/越來越小;當7?越來越小時,/越來越大.

(3)當給定一個年的值時,相應地確定了一個/值,因此/是〃的函數.

［知識拓展］舞臺燈光可以在很短時間內將陽光燦爛的晴日變成濃云密布的陰天,或由

黑夜變成白晝,這樣的效果就是通過改變電阻來控制電流的變化實現的.因為當電流/較小

時,燈光較暗;反之,當電流/較大時，燈光較亮.

問題2

【課件2】京滬高速鐵路全長約為1318km,列車沿京滬高速鐵路從上海駛往北京,列

車行完全程所需要的時間t(h)與行駛的平均速度Mkm/h)之間有怎樣的關系?變量t是/的

函數嗎?為什么？

【師生活動】先讓學生進行小組合作交流,再在全班范圍內進行問答或交流.學生用自

己的語言說明兩個變量間的關系為什么可以看成函數，了解所討論的函數的表示形式.

【歸納規律】上述實例所列出的等式，它們是函數嗎?是正比例函數，還是一次函數？

如果不是一次函數，你能總結自變量和因變量之間的函數關系嗎？

一般地,如果兩個變量x,y之間的對應關系可以表示成尸（"為常數,"W0）的形式,那么

稱y是x的反比例函數.從嚴（20）中可知x作為分母,所以x不能為零.

［設計意圖］讓學生自己舉例、總結規律、抽象概念，便于學生理解和掌握反比例函數

的概念，同時培養和提高學生的總結歸納能力和抽象思維能力.

【做一做】

1.一個矩形的面積為20cm2,相鄰的兩條邊長為xcm和ycm,那么變量y是變量x的函

數嗎?是反比例函數嗎?為什么？

2.某村有耕地346.2hm2,人口數量〃逐年發生變化,那么該村人均占有耕地面積?（hm2/

人）是全村人口數n的函數嗎?為什么？

3.y是x的反比例函數,下車給出了x與y的f值：

x~2|T|-1］TT1

y2T

（1）寫出這個反比例函數的表達式；

（2）根據函數表達式完成上表.

［設計意圖］這一過程目的是強化學生對反比例函數概念的理解,體會反比例函數的實

際意義,并且讓學生感受自己探索發現的知識與實際生活有著密切的聯系并能解決實際問題,

從而獲得學習的成就感,激發學生的學習興趣.

［知識拓展］（1）反比例函數的一般式:尸（"為常數,"W0）.反比例函數的變形

式:①尸AxYx的指數為-1,4為常數,20）:②孑彳缶為常數,20）.

（2）取值范圍:①比例系數AWO;②自變量x是一切非0實數;③函數值y也是一切非0

實數.

（3）判斷方法:要判斷一個函數是不是反比例函數,就看它能不能寫成尸（"為常數,20）

的形式.

酗下列各式表示y是x的反比例函數的是（）

A.x+尸-2B.尸

C.y=D.y=~2x+l

（解析）A.y=-2~x,是一次函數;B.尸,本選項符合題意;C.尸,y是x的正比例函

數;D.尸-2x+l,y是x的一次函數.故選B.

巨卷堂貽

k

Ly=一（笈#0且上為常數）；

x

幾種形式,-iz/

------------>o2.y=kx】（L萬#n0n且人L為常

數）；

3.卬=&awo且左為常數）.

反1.正確設出函數解析式；

比確定函數關系式.列方程求出比例系數;

例2.

函一3.兩個函數的比例系數要

數

用不同的字母表示.

囪地測反饋

1.一般地,如果兩個變量X,y之間的關系可以表示成的形式,那么y

是x的,這個函數中自變量x的取值范圍是.

答案:產（4為常數,AW0）反比例函數xWO

2.下列函數解析式中,y是x的反比例函數的是（)

A.j=B.尸

C.y=D.y=

答案:B

3.反比例函數戶（20）,若后時，尸4,則〃等于（）

A.B.4C.4D.

答案:C

4.當a=時，函數尸（a+2）是反比例函數.

答案：2

區板書設

1反比例函數

1.復習舊知

2.問題探索

形如:產（女為常數,4/0）的函數叫y是x反比例函數

①20

②xWO-x>0或x<0

③產￡0-y>0或jKO

【做一做】

叵布置作業

一、教材作業

【必做題】

教材第150頁隨堂練習的1,2題.

【選做題】

教材第151頁習題5.1的4題.

二、課后作業

【基礎鞏固】

1.下列函數中,P是X的反比例函數的是（）

A.y=~2xB.y=~

C.y=-D.y=~

2.下列函數關系是反比例函數的是（）

A.三角形的底邊為一常數,則三角形的面積y與三角形的高x間的函數關系

B.力尸為一常數,則力所做的功歷與物體在力的方向上移動的距離s間的函數關系

C.矩形的面積為一常數,則矩形的長y與寬x間的函數關系

D,當圓錐的底面積為一常數，圓錐的體積/與圓錐的高h的函數關系

3.已知函數尸是反比例函數，則〃的值為（）

A.-3B.0C.-3或0D.2

4.已知了與x成正比例，z與y成反比例，那么z與x之間的關系是（）

A.成正比例

B.成反比例

C.有可能成正比例,也有可能成反比例

D.無法確定

5.已知y是x的反比例函數,下表給出了x與y的一些值，由表知函數表達式為.根

據函數表達式完成下表._

xT368

y3-3.2

6.若y與V+1成反比例,且A=1時,7=2,則函數的解析式為.

【能力提升】

7.已知產為+%,K與x成正比例，乃與x成反比例，且當x=2時,產當x=-l時,產5,求出y

與x的函數關系式.

【拓展探究】

8.某工作人員打算利用不銹鋼制作一個面積為0.8才的矩形模具,設矩形模具的長為yrn,

寬為Xm.

⑴寫出p與x的函數關系式,并說明y與x之間是什么函數關系；

⑵若使模具長比寬多1.6m,已知每米這種不銹鋼條的價格為6元,制作這個模具共花多少

錢？

【答案與解析】

1.C（解析:A,D是正比例函數,B中A未說明不等于0,只有C符合定義.）

2.C

3.B（解析：由1/-3爐1,求出爐-3或0,又加3W0,.?.TTFO.）

4.B

5.-62-21

6.y=

7.解:7%與x成正比例，.??設廳Aix,???r與x成反比例，，設j2=,.\y=kx+.由x=2

時，產Y;A=T時，y=5得解得A=-l,左2二%.??產一汗-.

8.解：（1）分析題意，由矩形的長y與寬x之間的關系,可得#=0.8,即支，???p是x的反比例

函數.（2）由題意知y=x+l.6,/.x+L6=,整理得x+1.6x4）.8=0,解得矛尸0.4,*2=-2（不符合

題意,舍去）.當尸0.4時,x+1.6=2.A（0.4+2）X2X6=28.8（元）.二制作這個模具共花28.8

元.

區L教學反思

①）成功之處

1.反比例函數知識是對函數學習的進一步深化，與先前的知識有著密切的聯系.所有本

課時的教學過程中,對以往函數知識的簡要回顧取得了良好效果,不但建立起新舊知識的聯

系，也為繼續深入研究反比例函數奠定了知識基礎和方法基礎.

2.把生活中存在的反比例函數關系的事例進行導入和教學,拉近了生活和數學學習的距

離,幫助學生感受到反比例函數的知識就在我們的生活之中，就在我們的身邊.

不足之處

在反比例函數的關系式產（“為常數,20）中，忽略了強調20而出錯.

①）再教設計

反比例函數是生活中一種重要的函數關系式,在教學的過程中,要給學生更多的時間去

發現和總結生活中這樣的關系式.對于綜合性比較強的課堂練習，要給予學生及時的提示和

點撥.

舊教材習題解答

隨堂練習（教材第150頁）

1.解：（1）是反比例函數,A=5.（2）是反比例函數,A=0.4.（3）不是反比例函數（是正比例函

數）.（4）是反比例函數，公2.

2.解:例如:①已知一個矩形的面積為20cm2,它的長y（cm）是寬x（cm）的反比例函數;表達式

為尸.②一本書30萬字,讀完它所用時間t是每天所讀字數a（萬字）的反比例函數;表達式為

仁.（答案不唯一）

習題6.1（教材第150頁）

1.解:根據題意,y與x之間滿足尸,y是x的反比例函數.

2.解:根據題意,y與x之間滿足尸,y是x的函數,y是x的反比例函數.

3.解：⑴⑶⑷是.理由如下：⑴孑-,即廣，滿足反比例函數的概念，其中k=~.

(2)j=5-x,即尸-x+5,是一次函數.⑶尸滿足反比例函數的概念，其中A=-.⑷產(aWO)

滿足反比例函數的概念,其中公2a.

4.解:表中依次填(1)變量7?是變量/的函數.⑵廬，不是/的反比例函數.

目備課資源

①)經典例題

例1已知反比例函數尸(A為常數,20)的圖象經過點2(2,3).

(1)求這個函數的解析式；

(2)判斷點8(-1,6),以3,2)是否在這個函數的圖象上,并說明理由.

〔解析)(1)把點力的坐標代入已知函數解析式，通過解方程即可求得"的值.(2)只要

把點B,。的坐標分別代入函數解析式,適合函數關系式的點在該函數圖象上.

解：?..反比例函數廣的圖象經過點4(2,3),

3=,解得A=6,

???函數的解析式為尸.

(2)把8,。兩點的坐標代入y=,有6#-6,2=

.?.點6不在該函數圖象上,點C在該函數圖象上.

［解題策略］確定反比例函數的表達式,常見類型有：已知圖象上一點的坐標、已知一對

函數值、己知一個圖形的面積求表達式,另外還有根據實際問題求表達式.

例2已知函數尸(箭-24.

(1)0為何值時,y是x的反比例函數？

(2)/為何值時,y是x的正比例函數？

解：(1)根據反比例函數的定義可知/n+m-l=-l,且方-2/W0,

解得BF-1.

所以爐T時函數尸癡2-24是反比例函數.

(2)當且〃2-2〃W0,

即?=1或-2時,此函數是正比例函數.

二例3I己知變量x,y滿足(x-2y)、(x+2y)2+10,則x,y是否成反比例關系?如果不是，請

說明理由；如果是，請求出比例系數.

〔解析)直接去括號,進而合并同類項得出y與x的函數關系式即可.

解：：(x-2力2=(x+2y)2+10,

'.x-4xy+4y=x+4^y+4y+10,

整理得出8%尸-10,

?*-y=,

??.x,y成反比例關系，比例系數為二

2反比例函數的圖象與性質

①］教學目標

,知識寫技能?

1.能畫出反比例函數的圖象,進一步掌握畫函數圖象的步驟.

2.理解和掌握反比例函數的性質.

噎程導考

通過畫圖象，進一步培養“描點法”畫圖的能力和方法,并提高對函數圖象的分析能力,

同時嘗試用類比和由特殊到一般的思維方法.

歸納反比例函數的一些性質特征，由圖象的畫法和分析,體驗數學活動中的探索性和創

造性、感受雙曲線的數學美,并通過圖象的直觀教學激發學習興趣.

⑥教學重難點

【重點】反比例函數的圖象畫法和性質.

【難點】借助于圖象理解反比例函數的性質.

第HI課時

■整體設.

教學目標

"知識寫技能.

進一步熟悉畫函數圖象的主要步驟,會畫反比例函數的圖象,能夠利用反比例函數的圖

象解決一些實際問題.

?過程期修

激勵學生在探索反比例函數的圖象的過程中,積極展開思考,理解并掌握反比例函數的

圖象特點.

省.如

調動學生的主觀能動性，積極參與教學活動,促使學生在學習中培養良好的情感態度與

合作、交流的意識，提高觀察、分析、解決問題的能力.

色教學重難點

【重點】反比例函數的圖象.

【難點】對反比例函數圖象是平滑雙曲線的理解及對圖象特征的分析.

①教學準備

【教師準備】幾個反比例函數圖象的投影圖片、教材相關圖片的投影等.

【學生準備】直尺，坐標紙;復習函數圖象的作圖過程與方法.

舊教學過.

E新課導入

導入一：

【提出問題】還記得一次函數產kx+b("的圖象嗎?那么反比例函數的圖象又會是

什么樣子呢?你想知道嗎？

導入二：

同學們還記得正比例函數圖象的特點嗎?那么反比例函數圖象又是怎樣的呢？

正比例函數

解析式尸kx(kWQ)

經過(0,0)與(1,一

國會當k〉Q時，圖象經過第一、

圖豕三象限；當-0時，圖象經過

第二、四象限

區新知構建

［過渡語］畫一個函數圖象的基本方法是相同的.我們嘗試一下畫出產的圖象吧.

畫反比例函數廣的圖象

L列表：

王…—8/—3<一1一12348…

y=--1--24-88421

描點：以表中各組對應值作為點的坐標，在直角坐標系內描出相應的點.

連線:用光滑的曲線順次連接各點，即可得到函數尸的圖象(如下圖).

強調:列表時，自變量的值可以選取絕對值相等而符號相反的一對一對的數值,這樣既可

簡化計算,又便于描點.

2.如果在列表時所選取的數值不同,那么圖象的形狀是否相同?連線時能否連成折線?為

什么必須用光滑的曲線連接各點？曲線的發展趨勢如何？

3.讓學生嘗試作出反比例函數度的圖象.

學生采用相同的步驟和方法完成作圖,教師巡視，指導一段時間后,請學生在黑板上畫出

圖象.

4.觀察函數尸和尸的圖象,它們有什么相同點和不同點？

圖象分別都是由兩支曲線組成的,它們都不與坐標軸相交,兩個函數圖象都是軸對稱圖

形,它們都有兩條對稱軸.

5.反比例函數的性質.

再讓學生觀察反比例函數圖象,提問：

(1)當k〉0時,雙曲線的兩個分支各在哪個象限？

(2)A<0時,雙曲線的兩個分支各在哪個象限？

【總結】(1)當k>0時，雙曲線的兩個分支分別分布在第一、三象限內；當K0時,雙曲

線的兩個分支分別分布在第二、四象限內.

(2)兩個分支都無限接近但永遠不能達到x軸和y軸.

［知識拓展］反比例函數的圖象是雙曲線,它有兩個分支,這兩個分支分別位于第一、三

象限或第二、四象限,它們關于原點對稱，由于反比例函數中自變量x#0,函數值因此

它們的圖象與x軸、y軸都沒有交點，即雙曲線的兩個分支無限接近坐標軸，但永遠不會與坐

標軸相交.

巨課堂小結

反比例函數尸（AW0）的圖象是由兩支曲線（雙曲線）組成的，當A>0時，兩支曲線分別位

于第一、三象限內；當人0時，兩支曲線分別位于第二、四象限內.

>0)

<0)

W檢測反饋

1.反比例函數廣的圖象位于（）

A.第一、三象限內B.第一、二象限內

C.第二、四象限內D.第三、四象限內

答案:A

2.反比例函數尸（總0）的圖象,當J&0時,兩支曲線分別位于第、象

限內；當K0時,兩支曲線分別位于第、象限內.

答案:一三二四

3.反比例函數產（20）的圖象是兩支,又稱,這兩個分支不連續,都

無限接近但永遠不會到達和.

答案:關于原點對稱的曲線雙曲線x軸y軸

4.若力（X1,力），6（總,㈤是雙曲線產上的兩點，且荀〉茲〉0,則yi乃.（填

或）

答案:〈

叵板書設計

第1課時

函數戶（A#0）的圖象

①孑〉0②K0

叵布置作業

一、教材作業

【必做題】

教材第153頁隨堂練習.

【選做題】

教材第154頁習題6.2的3題.

二、課后作業

【基礎鞏固】

1.如圖，是我們學過的反比例函數圖象，它的函數解析式可能是（）

A.y=xB.產

C.T=-D.產x

2.反比例函數尸（-0）的大致圖象是（）

3.已知點（1,1）在反比例函數尸（A為常數,AWO）的圖象上,則這個反比例函數的大致圖象是

4.如圖，已知A是反比例函數尸（AWO）的圖象上一點,軸于點B,且△48。的面積是3,

則4的值是（）

A.3B.-3

C.6D.-6

5.如圖，點A在雙曲線尸上,點6在雙曲線尸上,且軸，C,〃在x軸上,若四邊形ABCD

為矩形,則它的面積為

【能力提升】

6.關于反比例函數產的圖象，下列說法正確的是()

A必經過占(11)

B：兩手分箋分希在第二、四象限內

C.兩個分支關于x軸對稱

D.兩個分支關于原點成中心對稱

7.函數尸2x與函數產在同一坐標系中的大致圖象是下圖中的)

【拓展探究】

8.如圖所示,A,C是函數產的圖象上任意兩點,過/作y軸的垂線,垂足為B,記RtA/出的面

積為S;過。作y軸的垂線,垂足為〃記RtA60的面積為題則()

A.S>SB.

C.S=SD.不能確定

9.在平面直角坐標系中，反比例函數產(4#0)的圖象與產的圖象關于x軸對稱,且反比

例函數尸的圖象經過/(I,A),試確定n的值.

【答案與解析】

l.B

2.B

3.C（解析：：點（1,1）在反比例函數產（k為常數,k#0）的圖象上，...A=1X1=1,/.此反比例函

數的圖象在第一、三象限內，，C正確.故選C.）

4.C（解析:根據題意可知Se*又因為反比例函數的圖象位于第一象限,k>0,則公6.故選

C.）

5.2（解析:過/點作/此y軸，垂足為￡:點/在雙曲線產上，.?.四邊形/￡切的面積為1,V

點6在雙曲線產上，且四/x軸，，四邊形龐力的面積為3,.?.四邊形/頗的面積為3-1=2.）

6.D

7.B

8.C（解析：由反比例函數尸（AWO）中比例系數次的幾何意義可以推出Rt如與RtAa力的

面積都等于.故選C.）

9.解:因為反比例函數尸的圖象與尸的圖象關于x軸對稱，則公T,故反比例函數戶的解析

式為尸.因為點/（I,〃）在反比例函數產的圖象上,所以/F-3.

區1_教學反思

①）成功之處

研究反比例函數的方法同先前研究函數的方法有著高度的一致,在這里利用學生對以往

研究函數的方法，比較順利地解決了畫反比例函數圖象、分析反比例函數特點的探索活動，

取得了事半功倍的效果.

①）不足之處

在學生畫反比例函數圖象的時候,老師擔心學生畫不準、畫不好,過早地把一些提示話語

傳遞給了學生,沒有等學生可能出現問題之后，顯得對學生放手不夠,過多地干預了學生的自

主探究活動.

①）再教設計

應該重點強調反比例函數尸（AWO）中比例系數4的值對函數圖象的影響,并幫助學生通

過規律性的總結,熟記反比例函數圖象的特點.調整部分難度過大、綜合性過強的訓練試題，

設置習題的目的以鞏固知識、強化記憶為主.

國教材習題解答

隨堂練習（教材第153頁）

解：圖（1）是反比例函數尸的圖象.因為圖象的兩分支位于第二、四象限.

習題6.2（教材第154頁）

1.解:列表如下：

描點、連線，如圖所示.

2.解:不對,因為反比例函數中的x,y的值都不能為0,所以反比例函數的圖象不可能與坐標

軸相交.

3.解:列表:

X???-3-2-1123

y=???--1-221

y=x-l???-4-3-2012

描點、連線，圖象如圖所示.可見尸與尸xT的圖象交于點（T,-2）和點（2,1）.

①）經典例題

例1若ab<0,則正比例函數尸ax和反比例函數尸在同一坐標系中的大致圖象可能是

下圖中的（）

(解析)'：ab<Q,；.a,6為異號，分兩種情況：(1)當a〉0,次0時，正比例函數尸ax

的圖象過原點、第一、三象限，反比例函數圖象在第二、四象限內，無此選項；⑵當a〈0">0

時,正比例函數的圖象過原點、第二、四象限，反比例函數圖象在第一、三象限內，選項C符

合.故選C.

例2某地資源總量0一定,該地人均資源享有量x與人口數n的函數關系圖象是

()

〔解析):.由題意，得/xn,：.".為一定值，...x是〃的反比例函數，其圖象為

雙曲線.又：x>0,〃〉0,圖象在第一象限內.故選B.

第②課時

年整體設計

(￡)教學目標

知識寫技能「

掌握反比例函數產(AWO)隨著“值的不同在不同象限的增減性.

「過程碧芳才

激勵學生在探索反比例函數圖象性質的過程中,積極展開思考,理解并掌握反比例函數

圖象的性質.

忤與優gn

調動學生的主觀能動性，積極參與教學活動,促使學生在學習中培養良好的情感態度與

合作、交流的意識，提高觀察、分析、抽象的能力.

國)教學重難點

【重點】反比例函數戶(A#0)隨著A值的不同在不同象限的增減性.

【難點】反比例函數尸(AWO)隨著次值的不同在不同象限的增減性.

區)教學準備

【教師準備】反比例函數基本圖象的投影圖片.

【學生準備】復習上一課時學過的孑值不同,反比例函數尸("W0)圖象所處的不同象

限.

區L教學過.

E新課導入

導入一：

在反比例函數產(叱0)中,4的值對函數的性質有什么影響呢？

導入二：

【提出問題】

1.作函數圖象的一般步驟是什么？

2.一次函數圖象是什么？它具有怎樣的性質？

3.我們知道反比例函數的圖象是雙曲線,那么它又具有怎樣的性質呢?帶著這個疑問我

們一起走入今天的課堂.

【師生活動】教師提出問題,找學生回答,并引出本節新課的內容.

［設計意圖］通過創設問題情境,引導學生復習一次函數的性質,激發學生參與課堂學

習的熱情,為學習反比例函數的性質奠定基礎.

區新知構建

［過渡語］研究反比例函數的性質,我們必須借助于反比例函數的圖象.

一、探究反比例函數的性質

出示教材圖6-4.

【問題思考】

⑴三個函數解析式的“值有什么特點？

⑵當x取值-2,-4,與時,y值是怎樣變化的？

(3)在第一象限內，隨著x值的增大,y值是怎樣變化的?

(4)在第三象限內，隨著x值的增大,y值是怎樣變化的?

_【小結】當心。時,函數圖象位于第一、三象限內，在每個象限內，y的值隨x值的增

大而減小.

出示教材圖6T.

【問題思考】

(1)三個函數解析式的孑值有什么特點？

(2)當x取~6,-4,-2時,y值是怎樣變化的？

⑶在第二、四象限內，隨著x值的增大,y的值是怎樣變化的？

【小結】當a0時,函數圖象位于第二、四象限內，在每個象限內，y的值隨著x值的

增大而增大.

二、想~'想

'星一行反比例函數圖象上任取兩點na過點尸分別作x軸、y軸的平行線,與坐標軸圍

成的矩形面積為S;過點0分別作X軸、y軸的平行線,與坐標軸圍成的矩形面積為￡,S與

S有什么關系?為什么？

【總結】S=S.原因如下:在反比例函數尸(AWO)的圖象上任取一點,過這一點分別作

x軸、y軸的平行線,與坐標軸所圍成的矩形面積始終等于常量.

［知識拓展］判斷一個點是否在反比例函數戶(A#0)的圖象上,關鍵是看這個點的橫、

縱坐標的乘積是否等于k.如果等于k,那么說明點在其圖象上,反之就不在圖象上,例如，由

點⑵5)在反比例函數尸的圖象上,得公2X5=10.因為(⑸X(-2)=10,所以點(七，-2)在反

比例函數戶的圖象上.

叵課堂小結

反比例函數尸(AW0)：

A〉0o雙曲線在第一、三象限內=在每個象限內，y隨著x增大而減小；

衣0。雙曲線在第二、四象限內=在每個象限內，y隨著x增大而增大.

區方測反饋

I.已知反比例函數尸("W0)的圖象位于第二、四象限內，函數圖象上有兩點

4(2,yi),爾5,乃)，則%與%的大小關系為()

A.yi>j2B.yi=y2

C.yi<y2D.無法確定

解析：由反比例函數尸(20)的圖象位于第二、四象限內，可知衣0,且在每一象限內，y

隨著x增大而增大.因為2>5>0,所以為>姓.故選A.

2.對于反比例函數尸,下列說法正確的是()

A.圖象經過點(1,-3)

B.圖象位于第二、四象限內

C.x>0時,y隨著x增大而增大

D.x<0時,y隨著x增大而減小

解析：由反比例函數尸,得x尸3,所以該圖象經過點(1,3),故A選項錯誤;因為k>0,所以

圖象位于第一、三象限內，故B選項錯誤;當k>0,x〉0時,y隨著x增大而減小,故C選項錯誤；

當k>Q,*0時,y隨著x增大而減小,故D選項正確.故選D.

3.當aWO時，函數產ax+1與函數產在同一坐標系中的圖象可能是圖中的()

解析：當a>0時，y=ax+l經過第一、二、三象限,尸位于第一、三象限內；當水0時，y=ax+l

過第一、二、四象限，尸位于第二、四象限內.故選C.

4.設有反比例函數尸，（矛1,%）,（晶㈤為其圖象上兩點，若矛1〈0〈義2,%>%則

k.

解析：（矛1,%）,（晶㈤為函數產圖象上兩點，又;xidz,%>丹，???該反比例函數的圖象

位于第二、四象限內，???4-2〈0,解得A<2.故填<2.

區板書設計

第2課時

反比例函數尸的圖象，

當A>0時,在每一象限內,y的值隨x的值的增大而減小；

當衣0時,在每一象限內,y的值隨x的值的增大而增大.

叵布置作業

一、教材作業

【必做題】

教材第155頁隨堂練習的1,2題.

【選做題】

教材第156頁習題6.3的5題.

二、課后作業

【基礎鞏固】

1.反比例函數尸的圖象經過點"（T,-2）,則當x〉l時,函數值y的取值范圍是（）

A.y>lB.0<J<1

C.y>2D.0<j<2

2.若四4戶三點都在函數尸（KO）的圖象上，則幾姓,加的大小關系為（）

A.獨>%>/B.?>■〉、

C.%>/>VD.必）〉再〉■

3.若點（荀,■）,（松㈤，（苞,㈤都是反比例函數尸-的圖象上的點，并且水0〈至則下列各

式正確的是（）

A.yi<y2<yiB.姓〈％〈力

C.yi<y3<yiD./）〈姓〈與

4.已知點力（-1,m），6（2,㈤（（“，片）在雙曲線尸-上，則下列關系式正確的是（）

A.yi>j^>j3B.y-^y^y-i

C.弦>力>%D.必）〉姓〉力

5.如圖，一次函數為=41矛+灰6W0)與反比例函數萬=("W0)的圖象交于力(1,4),6(4,1)兩點,

若乃〉姓,則x的取值范圍是.

6.已知反比例函數尸(〃-2)的圖象在每個象限內,y隨著x增大而減小,求加的值.

7.若點(T,m)，(-3,姓)，⑵%)在反比例函數尸-的圖象上，則%,角,％的大小關系怎樣？

【能力提升】

8.如圖所示，已知反比例函數尸的圖象與一次函數戶Ax+4的圖象交于P,0兩點，并且戶點的

縱坐標是6.

(1)求這個一次函數的解析式；

(2)求APO0的面積.

【拓展探究】

9.定義:在平面直角坐標系中,過一點分別作坐標軸的垂線,若垂線與坐標軸圍成矩形的周長

與面積相等,則這個點叫做“和諧點”.如圖所示,矩形的周長與面積相等,則點力是“和

諧點”.

(1)判斷點￡(2,3),6(4,4)是否為“和諧點”；

(2)若點P(a,6)是雙曲線產上的“和諧點”，求滿足條件的所有戶點坐標.

【答案與解析】

1.D(解析：：反比例函數的圖象過點2(-1,-2),.,.由函數圖象可知，當K-1時，-2<爪0,.,.當

x〉l時,0<jK2.故選D.)

2.B(解析：比較幾為萬的大小一用特殊值法令公Y一把各x值代入關系式后求出y值再比

較.)

3.B(解析：由0〈xz<X3,得(至,㈤和(汨，為)在同一象限內，?..公T,成再，；朽<0,則(覆,㈤在

第二象限內，yi>0,而亥<%〈0,71>%>亥.)

4.B(解析：由-(始+1)〈0-作草圖一描出廣-1,2,m時的大致點一比較",姓,四.雙曲線草圖如

圖所示，由圖可知為＞%＞姓.故選B.)

5.X0或l〈x〈4(解析:通過觀察圖象,當圖象在A,6之間時,一次函數的圖象在反比例函數圖

象上方，同時,當X0時,一次函數的圖象在反比

例函數圖象上方,所以x的取值范圍是x〈0或KK4.)

6.解：由題意得解得?=3.

7.解：由產-,A=-l＜0知函數的圖象在第二、四象限內.在每個象限內，y隨著x增大而增大，

畫草圖如圖所示...,-3〈T〈0,.而點⑵④在第四象限內，...先〈0....%＞女》外

8.解：⑴：點尸在反比例函數尸的圖象上,且其縱坐標為6,；.=6,解得下2,...2(2,6),又：

點尸在函數戶Ax+4的圖象上，；.6=24+4,解得公1....所求一次函數的解析式為產x+4.

⑵作PA垂直x軸于點A,/垂直x軸于點B.解方程組得或；.0點的坐標為(~6,-2).令尸0,

代入戶產4得x=-A,故尸矛+4的圖象與x軸的交點是MM,0).A/W和Aa加的公共邊

0用4,加邊上的高分別為以=6,g2.；.SA做FSM加析X4X6+X4X2=16.

9解:⑴：2X(2+3)=10,2X3=6,10W6,.?.點雙2,3)不是“和諧

點”，：2義(4+4)=16,4X4=16,16=16,...點尸是''和諧點”.(2)設二點的坐標為,由題意得

出18=2.當x＞0時,整理,得/-9^+18=0,解得xi=3,xz=6.當X0時,整理,得9+9矛+18=0,解得

王3=3,為=-6.；.滿足條件的尸點的坐標為(3,6),(6,3),(-3,-6),(-6,-3).

區L教學反思

,)成功之處

通過復習整理一次函數的相關知識,有效地引導了學生對反比例函數的學習.不但幫助

學生建立起知識之間的練習，也降低了學習知識的難度.

①不足之處

各種函數圖象是學生比較難記憶的知識.在記憶反比例函數圖象特點的時候,沒有給予

學生方法上的指導.

T)再教設計

放手讓學生借助于以往研究函數的方法，自我總結和探索反比例函數的性質.并給學生

空白的表格,讓學生對比一次函數的性質，自我嘗試總結反比例函數的性質.

區)教材習題解答

隨堂練習(教材第155頁)

1.解：(1)因為與〈0,所以反比例函數產-的圖象在每個象限內y隨x的增大而增大.因為

代司，所以⑵因為與〈0,所以反比例函數圖象在每個象限內y隨x的增大而增大，

因為4〈6,所以與〈加(3)因為與〈0,所以反比例函數圖象位于第二、四象限，當后司時,入〉0.

當尸6時,j6<0,所以為>為.

2.(1)(2)(3)(4)

習題6.3(教材第157頁)

1.(1)(2)(3)(4)

2.解：?.?上1>0,.?.點(T,其和點(-2,㈤都在第三象限..??齊〈％〈().同理可知

0<y".〈水女.

3.解:把點A3,2)代入戶,得2=，所以A=6.所以反比例函數的表達式為尸.把點0(-2,a)代入

產中，得a=,所以年-3.由次的幾何意義可知S=S>=|A|=6.

4.解：因為荀與范的符號不確定,所以無法比較%與入大小,所以需要分類討論.當擊>茲〉0

時，水姓；當X1>Q>X2時，%>弦,當O>X1>X2時，水姓.

5.解：以矩形的一個頂點為坐標原點0,以兩鄰邊所在直線為x,y