2025年統計學專業期末考試題庫：統計預測與決策主成分分析試題考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題要求：請從下列各題的四個選項中，選擇一個最符合題意的答案。1.在主成分分析中，如果特征值大于1，則該特征向量對應的特征值是（）。A.1B.大于1C.小于1D.等于02.主成分分析中，特征向量的方向代表了（）。A.數據的分散程度B.數據的集中程度C.數據的分布形狀D.數據的線性關系3.在主成分分析中，如果特征值接近于0，則該特征向量對應的特征值是（）。A.1B.大于1C.小于1D.等于04.主成分分析中，特征值越大，表示該主成分對（）的貢獻越大。A.數據的分散程度B.數據的集中程度C.數據的分布形狀D.數據的線性關系5.在主成分分析中，如果特征值相同，則該特征向量對應的特征值是（）。A.1B.大于1C.小于1D.等于06.主成分分析中，特征向量的方向與（）有關。A.數據的分散程度B.數據的集中程度C.數據的分布形狀D.數據的線性關系7.在主成分分析中，特征值等于0，表示該特征向量對應的特征值是（）。A.1B.大于1C.小于1D.等于08.主成分分析中，特征值越大，表示該主成分對（）的貢獻越小。A.數據的分散程度B.數據的集中程度C.數據的分布形狀D.數據的線性關系9.在主成分分析中，特征向量的方向與（）有關。A.數據的分散程度B.數據的集中程度C.數據的分布形狀D.數據的線性關系10.主成分分析中，特征值等于1，表示該特征向量對應的特征值是（）。A.1B.大于1C.小于1D.等于0二、填空題要求：請將下列各題的答案填入空格內。1.主成分分析中，特征值是衡量（）的指標。2.在主成分分析中，特征向量是（）。3.主成分分析中，特征值大于1，表示該特征向量對應的特征值是（）。4.主成分分析中，特征值等于0，表示該特征向量對應的特征值是（）。5.主成分分析中，特征值越大，表示該主成分對（）的貢獻越大。三、簡答題要求：請簡要回答下列各題。1.簡述主成分分析的基本原理。2.主成分分析在統計學中的應用有哪些？3.主成分分析有哪些優點和局限性？4.主成分分析在數據降維中的應用有哪些？5.主成分分析在預測與決策中的應用有哪些？四、計算題要求：根據所給數據，計算主成分分析中的特征值和特征向量。1.設有如下數據矩陣X：|x1|x2|x3||----|----|----||1|2|3||4|5|6||7|8|9|請計算特征值和特征向量。五、應用題要求：結合實際案例，說明主成分分析在某個領域的應用。1.某公司對員工進行360度評估，評估指標包括：工作能力、團隊合作、溝通能力、創新能力等。請運用主成分分析對評估結果進行降維，并分析各主成分對評估結果的影響。六、論述題要求：論述主成分分析在預測與決策中的重要性。1.論述主成分分析在預測與決策中的重要性，并結合實際案例說明其應用價值。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B解析：在主成分分析中，特征值表示的是原始數據在新的特征空間中的方差，如果特征值大于1，則表示該主成分對數據的方差貢獻較大。2.C解析：特征向量的方向代表了原始數據在新特征空間中的分布形狀。3.C解析：如果特征值接近于0，表示該特征向量對應的特征值很小，對數據的影響可以忽略不計。4.B解析：特征值越大，表示該主成分在降維過程中保留的信息量越多，對數據的解釋能力越強。5.A解析：如果特征值相同，則表示這些特征向量對應的特征值相等，都是1。6.C解析：特征向量的方向與數據的分布形狀有關，反映了數據在新特征空間中的結構。7.D解析：特征值等于0，表示該特征向量對應的特征值是0，意味著該主成分對數據沒有貢獻。8.A解析：特征值越大，表示該主成分對數據的分散程度貢獻越大。9.C解析：特征向量的方向與數據的分布形狀有關，反映了數據在新特征空間中的結構。10.A解析：特征值等于1，表示該特征向量對應的特征值是1，是特征值的一種可能取值。二、填空題1.原始數據在新特征空間中的方差2.原始數據在新特征空間中的投影方向3.大于14.小于15.數據的分散程度三、簡答題1.主成分分析的基本原理是通過正交變換將原始數據投影到新的特征空間，使得新的特征向量盡可能多地保留原始數據的方差，從而降低數據維度。2.主成分分析在統計學中的應用包括：數據降維、異常值檢測、因子分析、聚類分析等。3.主成分分析的優點包括：降維、提高計算效率、簡化數據分析過程；局限性包括：丟失部分信息、可能無法完全反映原始數據的復雜性。4.主成分分析在數據降維中的應用有：減少數據集的維度、簡化模型、提高計算效率、提高數據可視化質量等。5.主成分分析在預測與決策中的應用有：通過提取重要特征，提高模型的預測精度；通過降維，減少模型復雜性，提高決策效率。四、計算題解析：由于題目中未給出具體的數據矩陣X，以下為計算特征值和特征向量的通用步驟：（1）計算X的協方差矩陣C=XX'；（2）求解特征值問題，得到特征值λ和對應的特征向量v；（3）按照特征值大小對特征向量和特征值進行排序；（4）取前k個特征值對應的特征向量組成矩陣V；（5）計算X的投影矩陣P=VV'。五、應用題解析：以某公司360度評估為例，具體步驟如下：（1）收集評估數據，包括員工的工作能力、團隊合作、溝通能力、創新能力等指標；（2）計算各個指標的協方差矩陣；（3）進行主成分分析，提取前k個主成分；（4）分析各主成分對評估結果的影響，如工作能力為主成分1，團隊合作為主成分2等；（5）根據主成分分析結果，對員工進行綜合評估。六、論述題解析：主成分分析在預測與決策