2020-2021學年山東省濰坊市高二（下）期末數(shù)學試卷一、單項選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）.1．＝（）A．25 B．35 C．70 D．902．某校共有學生2500人，為了解學生的身高情況，用分層抽樣的方法從三個年級中抽取容量為50的樣本，其中高一抽取14人，高二抽取16人，則該校高三學生人數(shù)為（）A．600 B．800 C．1000 D．12003．△AOB的斜二測直觀圖△A'O'B'如圖所示，則△AOB的面積是（）A． B．2 C．2 D．44．我國古典樂器一般按“八音”分為“金，石，木，革，絲，土，匏（páo），竹”，其中“金，石，木，革為打擊樂器，“絲”為彈撥樂器，“土，匏，竹”為吹奏樂器，現(xiàn)從“金，石，土，竹，絲”中任取兩種樂器，則至少有一種為吹奏樂器的取法種數(shù)為（）A．5 B．6 C．7 D．85．若一個底面半徑為1的圓錐側面展開圖是一個頂角為的扇形，則該圓錐的體積為（）A．π B．π C．π D．2π6．如圖所示，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2AA1，P，Q分別是AD和BD的中點，則異面直線D1P與B1Q所成的角為（）A．90° B．60° C．45° D．30°7．從正方體的八個頂點中任取3個點為頂點，恰好構成直角三角形的概率為（）A． B． C． D．8．拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設事件E＝“第一枚硬幣正面朝上”，事件F＝“第二枚硬幣反面朝上”，則下列結論中正確的是（）A．E與F相互獨立 B．E與F互斥 C．E與F相等 D．P（E∪F）＝二、多項選擇題：本大題共4個小題每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分.9．設a，b為兩條不重合的直線，α為一個平面，則下列說法正確的是（）A．若a⊥b，b?α，則a⊥α B．若a⊥α，a∥b，則b⊥α C．若a∥α，b?α，則a∥b D．若a∥α，b⊥α，則a⊥b10．袋子中有3個黑球，2個白球，現(xiàn)從袋子中有放回地隨機取球4次，取到白球記1分，黑球記0分，記4次取球的總分數(shù)為X，則（）A．X～B（4，） B．P（X＝2）＝ C．X的期望E（X）＝ D．X的方差D（X）＝11．有3臺車床加工同一型號零件，第1臺次品率為6%，第2，3臺次品率為5%，加工的零件混在一起，已知第1，2，3臺車床加工的零件分別占總數(shù)的25%，30%，45%，記事件B＝“任取一個零件為次品”，事件Ai＝“零件為第i臺車床加工”（i＝1，2，3），則（）A．P（B|A1）＝0.06 B．P（A2B）＝0.015 C．P（B）＝0.0525 D．P（A1|B）＝12．在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E為AB中點，沿DE將△ADE折起到A'DE位置（A'不在平面ABCD內(nèi)），F(xiàn)，G分別為CA'與CD的中點在翻折過程中，下列結論正確的是（）A．FG∥平面A'DE B．DE⊥平面A'AG C．存在某位置，使得A'B⊥AG D．設直線BF與平面DEBC所成的角為θ，則sinθ的最大值是三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．某地區(qū)為調(diào)查該地的居民月用水量，調(diào)查了本地的10戶居民的月平均用水量為：2.0，3.2，4.5，5.3，6.0，7.6，8.0，9.2，10.0，11.6，這組數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)為．14．隨機變量ξ的分布列是ξ24Pab若E（ξ）＝，則D（ξ）＝．15．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝2，點D滿足，則||＝．16．三棱錐S﹣ABC的頂點均在半徑為4的球面上，△ABC為等邊三角形且外接圓半徑為2，平面SAB⊥平面ABC，則三棱錐S﹣ABC體積的最大值是．四、解答題：本大題共6小題，共70分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．已知的展開式中各項系數(shù)之和為32．（1）求n的值；（2）求展開式中的常數(shù)項．18．某校為推進科技進校園活動，組織了一次科技知識問答競賽，組委會抽取了100名學生參加，得到的競賽成績作出如圖所示頻率分布直方圖．已知成績在[75，80）的學生有20人．（1）求a，b的值，并估計本次競賽學生成績的中位數(shù)（結果保留一位小數(shù)）；（2）從成績在[65，70）與[95，100）學生中任取3人進行問卷調(diào)查．記這3名學生成績在[95，100）內(nèi)的人數(shù)為X，求X的分布列與期望．19．如圖，PA是圓柱的母線，點C在以AB為直徑的底面⊙O上，點D是PB的中點，點E在上，且OE∥AC．（1）求證：DE∥平面PAC；（2）求證：平面DOE⊥平面PBC．20．共享電單車作為一種既環(huán)保又便捷的綠色交通出行工具，不僅方便市民短途出行，還可以緩解城市交通壓力．A市從2016年開始將其投入運營，如表是該市年份代碼x與共享單車數(shù)y（單位：萬輛）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)：年份20162017201820192020x12345共享單車數(shù)y（萬輛）1014182326（1）經(jīng)分析，y與x存在顯著的線性相關性，求y關于x的線性回歸方程，并預測2021年的共享單車數(shù)；（2）根據(jù)往年統(tǒng)計數(shù)據(jù)可知2020年每輛車的各項支出費用大致符合正態(tài)分布N（μ，σ2），μ＝800，σ2＝10000，支出費用在1000元及以上的單車沒有利潤，支出費用在[800，1000）的單車每輛車年平均利潤為10元，支出費用低于800元的單車每輛車年平均利潤為20元，請預測2021年總利潤．參考公式和數(shù)據(jù)：＝，，若隨機變量X～N（μ，σ2），則P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）＝0.9974．21．如圖，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD為矩形，AD＝2AB，M為BC中點，平面A1D1DA⊥ABCD，AA1⊥A1D且A1A＝A1D．（1）證明：∠B1A1D＝90°．（2）若此四棱柱的體積為2，求二面角A﹣A1B﹣M的正弦值．22．一疫苗生產(chǎn)單位通過驗血方法檢驗某種疫苗產(chǎn)生抗體情況，需要檢驗血液是否有抗體．現(xiàn)有n（n∈N*）份血液樣本，每份樣本取到的可能性均等．有以下兩種檢驗方式：（1）逐份檢驗，則需要檢驗n次；（2）混合檢驗，將其中k（k∈N*且k≥2）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗．若檢驗結果無抗體，則這k份的血液全無抗體，因而這k份血液樣本只需檢驗一次就夠了，若檢驗結果有抗體，為了明確這k份血液究竟哪幾份有抗體，就要對這k份再逐份檢驗，此時這k份血液的檢驗總次數(shù)為k+1次．假設在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結果有無抗體都是相互獨立的，且每份樣本有抗體的概率均為p（0＜p＜1）．（1）假設有5份血液樣本，其中只有2份血液樣本有抗體，若采用逐份檢驗方式，求恰好經(jīng)過3次檢驗就能把有抗體的血液樣本全部檢驗出來的概率；（2）現(xiàn)取其中k（k∈N*且k≥2）份血液樣本，記采用逐份檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為ξ1，采用混合檢驗方式樣本需要檢驗的總次數(shù)為ξ2.若E（ξ1）＝E（ξ2），求p關于k的函數(shù)關系式p＝f（k），并證明p＜1﹣e．

參考答案一、單項選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）.1．＝（）A．25 B．35 C．70 D．90【分析】由題意利用組合數(shù)公式，計算求得結果．解：＝+＝15+20＝35，故選：B．2．某校共有學生2500人，為了解學生的身高情況，用分層抽樣的方法從三個年級中抽取容量為50的樣本，其中高一抽取14人，高二抽取16人，則該校高三學生人數(shù)為（）A．600 B．800 C．1000 D．1200【分析】求出抽樣比例為50，根據(jù)高一、高二抽取的人數(shù)求出高三抽取的人數(shù)，即可求出該校高三學生人數(shù)．解：由題意知，抽樣比例為2500÷50＝50，高一抽取14人，高二抽取16人，則高三抽取50﹣14﹣16＝20（人），所以該校高三學生人數(shù)有20×50＝1000（人）．故選：C．3．△AOB的斜二測直觀圖△A'O'B'如圖所示，則△AOB的面積是（）A． B．2 C．2 D．4【分析】由直觀圖和原圖形的關系易知△AOB的底邊OB以及OB上的高線，計算它的面積即可．解：由直觀圖和原圖形的關系易知，△AOB中底邊OB＝2，底邊OB上的高線長為4，∴△AOB的面積為S＝×4×2＝4．故選：D．4．我國古典樂器一般按“八音”分為“金，石，木，革，絲，土，匏（páo），竹”，其中“金，石，木，革為打擊樂器，“絲”為彈撥樂器，“土，匏，竹”為吹奏樂器，現(xiàn)從“金，石，土，竹，絲”中任取兩種樂器，則至少有一種為吹奏樂器的取法種數(shù)為（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】根據(jù)題意，由間接法分析：先計算全部的取法，排除其中沒有吹奏樂器的取法，分析可得答案．解：根據(jù)題意，從“金，石，土，竹，絲”中，任選兩種樂器，有C52＝10種取法，其中沒有吹奏樂器的有C32＝3種，則至少有一種為吹奏樂器的取法有10﹣3＝7種；故選：C．5．若一個底面半徑為1的圓錐側面展開圖是一個頂角為的扇形，則該圓錐的體積為（）A．π B．π C．π D．2π【分析】由已知求出圓錐的母線長，再由勾股定理求圓錐的高，代入圓錐體積公式求解．解：圓錐的底面半徑r＝1，設母線長為l，則，解得l＝3r＝3，∴圓錐的高h＝，可得圓錐的體積V＝．故選：B．6．如圖所示，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2AA1，P，Q分別是AD和BD的中點，則異面直線D1P與B1Q所成的角為（）A．90° B．60° C．45° D．30°【分析】以D為原點，DC為x軸，DA為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法求出異面直線D1P與B1Q所成的角的余弦值，即可得到它們所成的角．解：以D為原點，DCx軸，DA為y軸，DD1為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設底面邊長為2，則D（0，0，0），A（0，2，0），B（2，2，0），C（2，0，0），B1（2，2，1），C1（2，0，1），D1（0，0，1），因為P，Q分別是AD和BD的中點，所以P（0，1，0），Q（1，1，0），則＝（0，1，﹣1），＝（﹣1，﹣1，﹣1），設直線D1P與B1Q所成的角為θ，則cosθ＝＝0，故選：A．7．從正方體的八個頂點中任取3個點為頂點，恰好構成直角三角形的概率為（）A． B． C． D．【分析】本題是一個等可能事件的概率，試驗發(fā)生包含的事件是從正方體的8個頂點中任取3個有種取法，即可構成的三角形有56種可能，正方體有6個表面和6個對角面，每一個面中的任意3個頂點可構成4個直角三角形，得到結果．解：由題意知本題是一個等可能事件的概率，試驗發(fā)生包含的事件是從正方體的8個頂點中任取3個有＝56種取法，可構成的三角形有56種可能，正方體有6個表面和6個對角面，它們都是矩形（包括正方形），每一個矩形中的任意3個頂點可構成4個直角三角形，共有12×4＝48個直角三角形，故所求的概率：P＝，故選：D．8．拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設事件E＝“第一枚硬幣正面朝上”，事件F＝“第二枚硬幣反面朝上”，則下列結論中正確的是（）A．E與F相互獨立 B．E與F互斥 C．E與F相等 D．P（E∪F）＝【分析】先求出拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，所得的總的基本事件數(shù)，再對應各個選項逐個判斷即可．解：拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，所得的總的基本事件數(shù)有：“兩枚硬幣都朝上”，“兩枚硬幣都朝下”，“第一枚硬幣朝上，第二枚硬幣朝下”，“第一枚硬幣朝下，第二枚硬幣朝上”，共4種情況，故事件E與事件F不互斥，也不相等，故B，C錯誤，A正確，且P（E）＝，P（F）＝，所以P（E∪F）＝P（E）P（F）＝，故D錯誤，故選：A．二、多項選擇題：本大題共4個小題每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分.9．設a，b為兩條不重合的直線，α為一個平面，則下列說法正確的是（）A．若a⊥b，b?α，則a⊥α B．若a⊥α，a∥b，則b⊥α C．若a∥α，b?α，則a∥b D．若a∥α，b⊥α，則a⊥b【分析】由直線與直線垂直、直線在平面內(nèi)可得線面關系判斷A；由直線與平面垂直的性質(zhì)判斷B；由直線與直線平行、直線在平面內(nèi)可得線面關系判斷C；由直線與平面垂直、直線與平面平行分析直線與直線的位置關系判斷D．解：若a⊥b，b?α，則a?α或a∥α或a與α相交，相交也不一定垂直，故A錯誤；若a⊥α，a∥b，由直線與平面垂直的性質(zhì)可得b⊥α，故B正確；若a∥α，b?α，則a∥b或a與b異面，故C錯誤；若b⊥α，則b垂直于所有與α平行的直線，又a∥α，則a⊥b，故D正確．故選：BD．10．袋子中有3個黑球，2個白球，現(xiàn)從袋子中有放回地隨機取球4次，取到白球記1分，黑球記0分，記4次取球的總分數(shù)為X，則（）A．X～B（4，） B．P（X＝2）＝ C．X的期望E（X）＝ D．X的方差D（X）＝【分析】由題意可得，每次抽到白球的概率為，且每次積1分，則4次取球的總分數(shù)X服從二項分布，即X～B（2，），結合期望與方差公式，以及概率公式，即可求解．解：由題意可得，每次抽到白球的概率為，且每次積1分，則4次取球的總分數(shù)X服從二項分布，即X～B（2，），故A選項正確，P（X＝2）＝＝，故B選項錯誤，E（X）＝4×，故C選項錯誤，D（X）＝4×，故D選項正確．故選：AD．11．有3臺車床加工同一型號零件，第1臺次品率為6%，第2，3臺次品率為5%，加工的零件混在一起，已知第1，2，3臺車床加工的零件分別占總數(shù)的25%，30%，45%，記事件B＝“任取一個零件為次品”，事件Ai＝“零件為第i臺車床加工”（i＝1，2，3），則（）A．P（B|A1）＝0.06 B．P（A2B）＝0.015 C．P（B）＝0.0525 D．P（A1|B）＝【分析】根據(jù)已知條件，結合全概率公式和條件概率公式，即可求解．解：由題意可得，P（A1）＝0.25，P（A2）＝0.3，P（A3）＝0.45，P（B|A1）＝0.06，P（B|A2）＝P（B|A3）＝0.05，故A選項正確，由全概率公式可得，P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）＝0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.05＝0.0525，故C選項正確，P（A2B）＝P（A2）P（B|A2）＝0.3×0.05＝0.015，故B選項正確，P（A1|B）＝，故D選項錯誤．故選：ABC．12．在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E為AB中點，沿DE將△ADE折起到A'DE位置（A'不在平面ABCD內(nèi)），F(xiàn)，G分別為CA'與CD的中點在翻折過程中，下列結論正確的是（）A．FG∥平面A'DE B．DE⊥平面A'AG C．存在某位置，使得A'B⊥AG D．設直線BF與平面DEBC所成的角為θ，則sinθ的最大值是【分析】對于選項A：由題意可得FG||A'D，進而判斷FG||平面A'DE；對于選項B：如圖1，連接GE，證明DE⊥AG，即可判斷DE⊥平面A'AG；對于選項C：假設存在某位置，使得A'B⊥AG，如圖1，連接GB，A'G，由題意可證得AG⊥平面A'GB，進而得出AG⊥A'G，從而得出矛盾，即可判斷選項C的正確性；對于D選項：如圖2，延長CB，DE交于點N，連接A'N，由題意可將直線BF與平面DEBC所成的角轉(zhuǎn)化為A'N與平面DEBC所成的角，要使A'N與平面DEBC所成的角的正弦值最大，只需A'H⊥平面ABCD，進而可得出sinθ的最大值．解：對于選項A：因為F，G分別為CA'與CD的中點，所以FG||A'D，又因為FG?平面A'DE，所以FG||平面A'DE，故A選項正確；對于選項B：如圖1，連接GE，因為在矩形ABCD中，E，G分別為AB，CD的中點，AB＝2，AD＝1，所以四邊形AEGD是正方形，△A'DE是等腰直角三角形，所以DE⊥AG，設AG與DE的交點為H，連接A'H，所以A'H⊥DE，因為A'H∩AG＝H，所以DE⊥平面A'AG，故B項正確；對于選項C：假設存在某位置，使得A'B⊥AG，如圖1，連接GB，A'G，由題意知：AG＝GB＝，由AB＝2得：AB2＝AG2+GB2，故BG⊥AG，又因為A'B∩BG＝B，所以AG⊥平面A'GB，所以AG⊥A'G，顯然不成立，故假設錯誤，即不存在某位置，使得A'B⊥AG，故C項不正確；對于D選項：如圖2，延長CB，DE交于點N，連接A'N，所以BN||EG，EN||GB，所以四邊形BNEG是平行四邊形，所以BN＝EG＝BC，即點B為NC的中點，又因為F是CA'的中點，所以BF||A'N，所以直線BF與平面DEBC所成的角等于A'N與平面DEBC所成的角相等，由B選項可知：DE⊥平面A'AG，故平面ABCD⊥平面A'AG，故要使A'N與平面DEBC所成的角的正弦值最大，只需A'H⊥平面ABCD，此時A'H＝，HN＝HE+EN＝，A'N＝，所以sinθ＝＝，故D選項正確．故選：ABD．三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．某地區(qū)為調(diào)查該地的居民月用水量，調(diào)查了本地的10戶居民的月平均用水量為：2.0，3.2，4.5，5.3，6.0，7.6，8.0，9.2，10.0，11.6，這組數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)為9.6．【分析】百分位數(shù)的定義知這組數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)是從小到大排序后的第8、9個數(shù)的平均數(shù)．解：∵10×80%＝8，∴這組數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)是從小到大排序后的第8、9個數(shù)的平均數(shù)，這組數(shù)據(jù)從小到大排序后的第8、9個數(shù)分別是9.2，10，其平均數(shù)為×（9.2+10）＝9.6，故答案為：9.6．14．隨機變量ξ的分布列是ξ24Pab若E（ξ）＝，則D（ξ）＝．【分析】根據(jù)已知條件，結合離散型隨機變量分布列的性質(zhì)，以及期望和方差公式，即可求解．解：由分布列的性質(zhì)可得，a+b＝1①，又∵E（ξ）＝，∴2a+4b＝②，聯(lián)立①②解得，a＝，b＝，∴D（ξ）＝．故答案為：．15．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝2，點D滿足，則||＝2．【分析】首先確定點D的位置，然后利用幾何體的空間結構特征作出輔助線，最后然后結合勾股定理可得向量的模的大小．解：由題意可知，點D為A1B的中點，如圖所示，取AB的中點E，連接ED，EC，DC，由正三棱柱的性質(zhì)可知：DE⊥平面ABC，則DE⊥CE，在Rt△CDE中，，∴||＝CD＝＝2．故答案為：2．16．三棱錐S﹣ABC的頂點均在半徑為4的球面上，△ABC為等邊三角形且外接圓半徑為2，平面SAB⊥平面ABC，則三棱錐S﹣ABC體積的最大值是．【分析】由題意畫出圖形，求得S到底面ABC距離的最大值，再求出底面三角形ABC的面積，可得三棱錐S﹣ABC的體積的取值范圍，結合選項得答案．解：如圖，設三棱錐S﹣ABC的外接球的球心為O，則OA＝OB＝OC＝OS＝4，設△ABC外接圓的圓心為O1，則O1A＝O1B＝O1C＝2，連接OO1，則OO1⊥平面ABC，可得OO1＝＝2，設△ABC的邊長為a，由＝2×2＝4，得a＝2，OO2＝2＝1，平面SAB⊥平面ABC，當△SAB為等腰三角形且SA＝SB時，S到底面ABC的距離最大，設為h，則h＝OO1+SO2＝2+＝2+．又S△ABC＝＝3，∴三棱錐S﹣ABC的體積的最大值為V＝＝6+3，故答案為：6+3．四、解答題：本大題共6小題，共70分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．已知的展開式中各項系數(shù)之和為32．（1）求n的值；（2）求展開式中的常數(shù)項．【分析】（1）對x賦值1，可求得n的值；（2）先求得二項式的通項，再求得x﹣1項與x項的系數(shù)，求和即可求得答案．解：（1）由題意，令x＝1得（3﹣1）n＝2n＝32，解得n＝5．（2）因為二項式的通項為＝，令5﹣2r＝﹣1，解得r＝3，故展開式中含有x﹣1項的系數(shù)為：；再令5﹣2r＝1，解得r＝2，展開式中含有x項的系數(shù)為：，所以展開式中的常數(shù)項為：＝＝＝180．18．某校為推進科技進校園活動，組織了一次科技知識問答競賽，組委會抽取了100名學生參加，得到的競賽成績作出如圖所示頻率分布直方圖．已知成績在[75，80）的學生有20人．（1）求a，b的值，并估計本次競賽學生成績的中位數(shù)（結果保留一位小數(shù)）；（2）從成績在[65，70）與[95，100）學生中任取3人進行問卷調(diào)查．記這3名學生成績在[95，100）內(nèi)的人數(shù)為X，求X的分布列與期望．【分析】（1）由成績在[75，80）的學生有20人，可得其頻率為，即可得，再由頻率分布直方圖的性質(zhì)，可得各個區(qū)間的頻率和為1，即可求a的值，再結合中位數(shù)的公式，即可求解．（2）由題意知，成績在[65，70）的學生人數(shù)為3人，成績在[95，100）的學生人數(shù)為5人，X所有可能的取值為0，1，2，3，分別求出對應的概率，即可得X的分布列，并結合期望公式，即可求解．解：（1）已知成績在[75，80）的學生有20人，故其頻率為，所以，所以（0.006+0.034+0.040+a+0.036+0.014+0.010）×5＝1，得a＝0.060，由題得左邊第一個矩形的面積為0.03，第二個矩形的面積為0.17，第三個矩形的面積為0.2，第四個矩形的面積為0.3，所以中位數(shù)在第四個矩形里面，設中位數(shù)為x，則0.03+0.17+0.2+（x﹣80）×0.06＝0.5，所以x≈81.7，故中位數(shù)為81.7分．（2）由題意知，成績在[65，70）的學生人數(shù)為3人，成績在[95，100）的學生人數(shù)為5人，X所有可能的取值為0，1，2，3，，，，，故X的發(fā)布列為：X0124PX服從超幾何分布所以X的期望為．19．如圖，PA是圓柱的母線，點C在以AB為直徑的底面⊙O上，點D是PB的中點，點E在上，且OE∥AC．（1）求證：DE∥平面PAC；（2）求證：平面DOE⊥平面PBC．【分析】（1）由OD//PA，OE//AC，知平面DOE//平面PAC，再由面面平行的性質(zhì)定理，得證；（2）由BC⊥AC，OE//AC，推出BC⊥OE，由PA⊥底面⊙O，OD//PA，推出OD⊥BC，再結合線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，得證．【解答】證明：（1）因為點D為線段PB的中點，O為線段AB的中點，所以OD//PA，又因為OE//AC，OE∩OD＝O，PA∩AC＝A，所以平面DOE//平面PAC，又因為DE?平面DOE，所以DE//平面PAC．（2）因為點C在以AB為直徑的底面⊙O上，所以∠ACB＝90°，BC⊥AC，又因為OE//AC，所以BC⊥OE，因為PA是圓柱的母線，所以PA⊥底面⊙O，因為OD//PA，所以OD⊥底面⊙O，所以OD⊥BC，又因為OE?平面DOE，OD?平面DOE，且OD∩OE＝O，所以BC⊥平面DOE，又因為BC?平面PBC，所以平面DOE⊥平面PBC．20．共享電單車作為一種既環(huán)保又便捷的綠色交通出行工具，不僅方便市民短途出行，還可以緩解城市交通壓力．A市從2016年開始將其投入運營，如表是該市年份代碼x與共享單車數(shù)y（單位：萬輛）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)：年份20162017201820192020x12345共享單車數(shù)y（萬輛）1014182326（1）經(jīng)分析，y與x存在顯著的線性相關性，求y關于x的線性回歸方程，并預測2021年的共享單車數(shù)；（2）根據(jù)往年統(tǒng)計數(shù)據(jù)可知2020年每輛車的各項支出費用大致符合正態(tài)分布N（μ，σ2），μ＝800，σ2＝10000，支出費用在1000元及以上的單車沒有利潤，支出費用在[800，1000）的單車每輛車年平均利潤為10元，支出費用低于800元的單車每輛車年平均利潤為20元，請預測2021年總利潤．參考公式和數(shù)據(jù)：＝，，若隨機變量X～N（μ，σ2），則P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）＝0.9974．【分析】（1）根據(jù)已知條件，結合最小二乘法和線性回歸方程的公式，將x＝7代入上式的線性回歸方程中，即可求解．（2）根據(jù)已知條件，結合正態(tài)分布的對稱性，即可求解．【解答】（1）解：由條件，，，，，，所以y關于x的線性回歸方程，x＝6時，，預測2021年共享單車數(shù)為30.5萬輛．（2）由題意支出費用X服從正態(tài)分布，即X～N（800，1002），P（800≤X＜1000）＝P（800≤X＜800+2×100）＝0.4772，所以支出費用在[800，1000）的單車總利潤為30.5×0.4772×10＝145.546萬元，，所以支出費用在800元以下的單車總利潤為30.5×0.5×20＝305萬元，所以預測2021年總利潤為145.546+305＝450.546萬元．21．如圖，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD為矩形，AD＝2AB，M為BC中點，平面A1D1DA⊥ABCD，AA1⊥A1D且A1A＝A1D．（1）證明：∠B1A1D＝90°．（2）若此四棱柱的體積為2，求二面角A﹣A1B﹣M的正弦值．【分析】（1）推導出AB⊥平面A1D1DA，A1B1⊥平面A1D1DA，從而A1B1⊥A1D，由此能證明∠B1A1D＝90°．（2）取AD中點O，連接A1O，則A1O⊥AD，推導出A1O⊥平面ABCD，由四棱柱的體積求出AB＝1，以O為坐標原點，，，為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A﹣A1B﹣M的正弦值．解：（1）證明：因為平面A1D1DA⊥平面ABCD，平面A1D1DA∩平面ABCD＝AD，AB?平面ABCD，AB⊥AD，所以AB⊥平面A1D1DA，因為AB//A1B1，所以A1B1⊥平面A1D1DA，又因為A1D?平面A1D1DA所以A1B1⊥A1D，即∠B1A1D＝90°．（2）取AD中點O，連接A1O，因為A1A＝A1D，所以A1O⊥AD，又因為平面A1D1DA⊥平面ABCD，平面A1D1DA∩平面ABCD＝AD，所以A1O⊥平面ABCD，所以A1O為四棱柱ABCD﹣A