課程基本信息

課例編號2020QJ11SXRA024學科數學年級高二學期一學期

課題點到直線的距離公式

書名：普通高中教科書數學A版選擇性必修1

教科書

出版社：人民教育出版社出版日期：2020年5月

教學人員

姓名單位

授課教師佘巖北京匯文中學

指導教師雷曉莉北京市東城區教育研修中心

教學目標

教學目標：利用坐標法推導并掌握點到直線的距離公式；

利用向量法推導點到直線的距離公式，掌握用向量法推導的分析過程，體會

向量法和坐標法的差異.

教學重點：點到直線的距離公式.

教學難點：點到直線的距離公式的推導.

教學過程

教

學

時間主要師生活動

環

節

上節課我們研究兩點間的位置關系，得到兩點間的距離公式.今天我們來研

引究點與直線的位置關系。我們知道，在解析幾何中，點在直線上，則滿足直線

1’

言方程。如果點不在直線上，還可以研究點到直線的距離.在就是我們今天要學

習的內容——點到直線的距離公式。

問題1：如圖，已知點，直線，如

P(x0,y0)l:AxByC0(A0,B0)

何求P到直線l的距離？

21’

點

到

直

分析：要求點到直線的距離，需過點P作PQ垂直于l交直線l于Q.此時，點

線

距

P與垂足Q間的垂線段距離即為所求。

離

公

追問1：如何求出|PQ|的距離？

式

的利用兩點間距離公式，確定P，Q點的坐標.其中，P點坐標已知.之需求Q的

推坐標.

導

追問2：如何求出點Q的坐標？

點Q是直線l與垂線PQ的交點，所以聯立兩條直線方程求交點坐標.

追問3：如何求垂線PQ的方程？

已知一點，再求出的斜率，即可寫出的點斜式方程.

P(x0,y0)PQPQ

追問4：如何求垂線PQ的斜率？

AB

垂線PQ與直線l垂直，直線l的斜率為，可得垂線PQ的斜率.

BA

B

由此，求得垂線PQ方程為yy(xx)，

0A0

整理得

BxAyBx0Ay0.

AxByC0(1)

解方程組：

BxAyBx0Ay0(2)

將（）×（）×得222，

1A+2B(AB)xACABy0Bx00

B2xAByAC

整理得x00.

A2B2

ABxA2yBC

同理可得y00

A2B2

B2xAByACABxA2yBC

則Q(00,00).

A2B2A2B2

利用兩點間距離公式

B2xAByACABxA2yBC

|PQ|(00x)2(00y)2

A2B20A2B20

(A2xAByAC)2(ABxB2yBC)2

通分，原式0000

(A2B2)2

A2(AxByC)2B2(AxByC)2

0000

(A2B2)2

(A2B2)(AxByC)2

00

(A2B2)2

|AxByC|

00

A2B2

|AxByC|

由此，求得點P到直線l的距離d00.

A2B2

追問5：如圖，如果直線平行于軸，點

l:AxByC0(A0)xP(x0,y0)

到直線l的距離還滿足上式嗎？

C|ByC|

此時，P(x,y)到直線l的距離d|y|0

000B|B|

|AxByC|

由A0，d也表示為d00.

A2B2

追問6：如果直線垂直于軸，點到直線

l:AxByC0(B0)xP(x0,y0)

l的距離還滿足上式嗎？

C|AyC|

此時，P(x,y)到直線l的距離d|x|0，

000A|A|

|AxByC|

點到直線距離也可表示為d00.

A2B2

一般地，點到直線的距離：

P(x0,y0)l:AxByC0

|AxByC|

d00.

A2B2

問題2：上述推導過程思路自然，但運算較繁，反思求解過程，你能發現引起

復雜運算的原因嗎?

原因在于，求出的點Q坐標比較復雜，再代入兩點間距離公式造成了運算

的復雜。

追問1：能否不求出Q的坐標，推得點到直線距離公式?設Q(x,y)，觀察兩

點間距離公式的結構22，能否從方程組中直接寫

|PQ|xx0yy0

出，的表達式？

xx0yy0

AxByC0，

將B構造成，

yy0(xx0)

A

，

A(xx0)B(yy0)Ax0By0C0(3)

B(xx0)A(yy0)0(4)

從而(3)+(4),(3)-(4)可求得：

A(AxByC)B(AxByC)

xx00，yy00，

0A2B20A2B2

|AxByC|

代入2200

|PQ|(xx0)(yy0).

A2B2

追問2：與第一種方法相比，第二種方法的計算量大大降低。能否概述簡化運

算的過程嗎?

第二種方法的推導過程，實際上是從所求表達式的結構入手，雖然“設出”

Q的坐標，但是并不求出Q的坐標，通過整體代換簡化了運算。“設而不求”

也是運算中十分常用的方法。

問題3：向量是解決空間距離、角度問題的有力

工具，能否用向量方法求點到直線的距離呢?

如圖，點到直線的距離|PQ|是點與直線上

所有點的距離中最短的.

追問1：點P與直線l上任一點所成向量與向量PQ有何關系呢？

設M（x，y）是直線l上的任意一點，PQ是PM在直線PQ方向上的投影.

追問2：PM的模投影向量PQ的模？

|PQ||PMn|，其中n是與直線l的方向向量垂直的單位向量.

追問3：如何用坐標表示n?

A

因為直線l:AxByC0的斜率為，它的一個方向向量為

B

A

(1,)，

B

B

因此，由向量的數量積運算可求得與直線l垂直的一個方向向量為(1,)，

A

B

(1,)

A1

由此，與直線l垂直的單位向量nA，B

B22

1()2AB

A

由此便可計算|PQ|的長度.

因為，其中，所以

|PQ||PMn|PM(xx0,yy0)

|A(xx)B(yy)||AxByAxBy|

|PQ||PMn|0000(5)

A2B2A2B2

因為M（x，y）在直線l上，則AxByC0.代入(5)式整理得

|AxByC|

|PQ|00.

A2B2

問題4：公式有什么結構特征？

公式的分子：保留直線方程一般式的結構，只是把P的坐標代入到了直

線方程中，體現了公式與直線方程關系.特別地，如果P在直線上，點到直線

的距離為0，此時，式子中的分子為0，整個式子也等于0.運算結果與實際相

符。這么一來，這個公式可以表示平面內任一點到任一直線的距離。

注意，因為所求的是距離，所以要加絕對值保證結果為正。

分母則是未知數系數的平方和再開根。從向量法的推導過程中，我們也能

發現A2B2實際是與已知直線垂直的直線。它的方向向量單位化時模掉的

向量長度。

問題5：比較上述推導點到直線距離公式的坐標法和向量法兩種方法，它們

各有什么特點?

坐標法是通過尋找所求量的坐標表示再經過一系列運算最終得到點到直線

距離公式。有時坐標法運算量較大，所以我們還要尋求簡化運算的方法。這里

我們就用到了設而不求再整體代換的手段。

相比之下，向量法抓住了點到直線距離是點與直線上點的最短長度——這一

幾何特征，借助投影向量、直線方向向量的概念，并將向量用坐標表示，再運

算求解。這種方法體現了解析幾何形與數、數與形的轉化，“技巧性”強，但是

大大降低了運算量。

其實向量法只是用到了向量的“殼”，本質上還是在用點的坐標運算。

我們不是常說解析幾何就是用代數方法研究幾何問題。這里的代數方法就是

把圖形放入坐標系中，用點的坐標來刻畫圖形間的關系，這就是解析幾何的本

質。

問題1：本節課我們學了什么？

本節課的核心就是得到