第六節空間直角坐標系1/39三年1考高考指數:★1.了解空間直角坐標系，會用空間直角坐標表示點位置；2.會推導空間兩點間距離公式.2/391.本節內容屬了解內容，普通不單獨命題．2.本節內容重點是空間點坐標確實定及空間兩點間距離；3.經過求點坐標考查空間想象能力，經過求兩點間距離考查計算能力.3/391.空間直角坐標系及相關概念(1)空間直角坐標系名稱

內容

空間直角坐標系

以空間一點O為原點，含有相同單位長度,給定正方向,建立三條兩兩垂直數軸：x軸、y軸、z軸，這時建立了一個空間直角坐標系_____.坐標原點

點O坐標軸

_____、_____、_____坐標平面

經過每兩個坐標軸平面Oxyzx軸y軸z軸4/39(2)右手直角坐標系含義當右手拇指指向x軸正方向，食指指向y軸正方向時，中指指向_____正方向.(3)空間中點M坐標空間中點M坐標慣用有序實數組(x,y,z)來表示，記作M(x,y,z)，其中x叫做點M_______，y叫做點M_______，z叫做點M_______.建立了空間直角坐標系后，空間中點M和有序實數組(x,y,z)可建立一一對應關系.z軸橫坐標縱坐標豎坐標5/39【即時應用】(1)思索:空間直角坐標系中坐標平面把空間分成幾部分？提醒：三個坐標平面把空間分為八部分.(2)xOz平面內點坐標特點是__________.【解析】點在xOz平面內,故點在y軸上射影一定是坐標原點,其縱坐標為0,橫坐標、豎坐標不確定.答案:縱坐標為06/39(3)在空間直角坐標系中，點M(-5,3,1)關于x軸對稱點坐標為_____________.【解析】關于x軸對稱點坐標，橫坐標不變，其余坐標變為相反數.答案：(-5,-3,-1)7/392.空間兩點間距離(1)設點A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),則|AB|=____________________________尤其地，點P(x,y,z)與坐標原點O距離為|OP|=___________.(2)設點A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)是空間中兩點，則線段AB中點坐標為_____________________.8/39【即時應用】(1)思索:在平面內到一定點距離等于定長點軌跡是圓，那么在空間中到一個定點距離等于定長點軌跡是什么呢?提醒：是以定點為球心，以定長為半徑球面.(2)已知空間兩點A(2,0,4),B(-6,2,-2)，則線段AB中點到原點距離為___________.【解析】由中點坐標公式可得線段AB中點為(-2,1,1),故到原點距離為答案：9/39(3)已知點P(1,1,1),其關于xOz平面對稱點為P′，則

=___________.【解析】由題意得P′(1，-1，1),∴答案：210/39

求空間點坐標【方法點睛】1.建立恰當坐標系標準(1)合理利用幾何體中垂直關系，尤其是面面垂直；(2)盡可能地讓相關點落在坐標軸或坐標平面上.11/392.求空間中點P坐標方法(1)過點P作與x軸垂直平面，垂足在x軸上對應數即為點P橫坐標；同理可求縱坐標、豎坐標.(2)從點P向三個坐標平面作垂線，所得點P到三個平面距離等于點P對應坐標絕對值，再判斷出對應數值符號，進而可求得點P坐標.12/39【例1】(1)空間直角坐標系中,點P(2,3,4)在x軸上射影坐標為________.(2)已知正三棱柱ABC-A1B1C1各棱長均為2，以A為坐標原點建立適當空間直角坐標系，求其各頂點坐標.【解題指南】(1)空間直角坐標系中,點在x軸射影坐標滿足橫坐標相同,縱、豎坐標均為零.(2)注意空間直角坐標系建立以及三棱柱底面三角形角大小.13/39【規范解答】(1)點P(2,3,4)在x軸上射影橫坐標與點P相同,縱坐標、豎坐標均為0.故射影坐標為(2,0,0).答案：(2,0,0)(2)以A點為坐標原點，AC、AA1所在直線分別為y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖所表示.設AC中點是D，連接BD，則BD⊥y軸，且∴A(0,0,0),B(1,0),C(0,2,0)，A1(0,0,2),B1(1,2),C1(0,2,2).14/39【互動探究】本例(2)中若以AC中點D為坐標原點，以DB,DC所在直線分別為x軸、y軸建立空間直角坐標系，試寫出各頂點坐標.【解析】建立空間直角坐標系,如圖所表示，則A(0,-1,0),B(0,0),C(0,1,0)，A1(0,-1,2),B1(0,2),C1(0,1,2).15/39【反思·感悟】1.建立坐標系時，經常利用或結構兩兩垂直三條直線來解題，尤其是所給圖形中垂直關系，更要合理利用.2.對同一幾何體，建立坐標系不一樣，所得點坐標也不一樣．為方便起見常將盡可能多點建在坐標軸上.16/39【變式備選】如圖所表示，長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，BC=2，A1A=1，試寫出：(1)長方體全部頂點坐標；(2)棱A1B1中點M坐標.17/39【解析】(1)依題意知，各頂點坐標分別為D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，3，0)，C(0，3，0),D1(0，0，1)，A1(2，0，1)，B1(2，3，1)，C1(0，3，1).(2)A1B1中點M坐標為即18/39

空間中點對稱問題【方法點睛】空間直角坐標系中點對稱規律已知點P(x,y,z)，則點P關于點、線、面對稱點坐標為：點、線、面

對稱點坐標

原點

(-x,-y,-z)

x軸

(x,-y,-z)

y軸

(-x,y,-z)

z軸

(-x,-y,z)

xOy平面

(x,y,-z)

yOz平面

(-x,y,z)

xOz平面

(x,-y,z)

19/39【例2】如圖,已知長方體ABCD-A1B1C1D1對稱中心在坐標原點，交于同一頂點三個面分別平行于三個坐標平面，頂點A(-2,-3,-1)，求其它七個頂點坐標.【解題指南】由題意知，長方體各頂點關于原點O和三個坐標平面及三條坐標軸含有對稱性，據此可寫出其它七個頂點坐標.20/39【規范解答】由題意得，點B與點A關于xOz面對稱，故點B坐標為(-2,3,-1)；點D與點A關于yOz面對稱，故點D坐標為(2,-3,-1);點C與點A關于z軸對稱，故點C坐標為(2,3,-1)；因為點A1,B1,C1,D1分別與點A,B,C,D關于xOy面對稱，故點A1,B1,C1,D1坐標分別為A1(-2,-3,1),B1(-2,3,1),C1(2,3,1),D1(2,-3,1).21/39【反思·感悟】1.求對稱點坐標要看點是關于軸對稱還是關于坐標平面對稱，明確哪些坐標發生了改變，哪些沒變，一定要記清改變規律．2.記清各類對稱點坐標間特征關系是正確解題關鍵.22/39【變式訓練】已知在矩形ABCD中，A(4,1,3)，B(2,-5,1)，C(3,7,-5)，求頂點D坐標.【解析】由題意知，點A(4,1,3)，C(3,7,-5)中點為M(4,-1).設點D坐標為(x,y,z)，則故點D坐標為(5,13,-3).23/39

空間兩點間距離【方法點睛】1.求空間兩點間距離步驟(1)建立坐標系，寫出相關點坐標；(2)利用公式求出兩點間距離.2.兩點間距離公式應用(1)求兩點間距離或線段長度；(2)已知兩點間距離，確定坐標中參數值；(3)依據已知條件探求滿足條件點存在性.24/39【例3】(1)已知點B是點A(3,7,-4)在xOz平面上射影，則|OB|等于()(A)(9,0,16)(B)25(C)5(D)13(2)如圖所表示，以棱長為a正方體三條棱所在直線為坐標軸建立空間直角坐標系，點P在正方體體對角線AB上，點Q在棱CD上．當點P為對角線AB中點，點Q在棱CD上運動時，探究|PQ|最小值.25/39【解題指南】(1)依據空間點在xOz平面上射影特點及距離公式求解.(2)確定點P、Q坐標，利用兩點間距離公式得到|PQ|，然后利用函數知識處理.【規范解答】(1)選C.由題意得點B坐標為(3,0,-4),故(2)因為B(0,0,a),A(a,a,0)，P為AB中點,所以P().26/39又點Q在棱CD上運動，所以可設Q(0,a,z0)，其中z0∈［0,a］，故所以當時，|PQ|最小值為27/39【互動探究】本例(2)中,若將“當點P為對角線AB中點”改為“當點P在對角線AB上運動時”,其余條件不變,則結果怎樣?【解析】顯然，當點P在AB上運動時，點P到坐標平面xOz、yOz距離相等，且P在第一象限，所以可設P(t,t,a-t),t∈［0,a］，又Q在CD上運動，28/39所以可設Q(0,a,z0)，z0∈［0,a］.所以=故當時，|PQ|有最小值為29/39【反思·感悟】1.解這類問題關鍵是確定點坐標，常出現錯誤是將坐標求錯.2.利用空間兩點間距離公式，能夠求兩點間距離或某線段長度，只要建立恰當坐標系，經過簡單坐標運算即可處理.30/39【變式備選】已知點A(1，a，-5)、B(2a，－7，－2)(a∈R)，則|AB|最小值是()【解析】選B.∴當a=-1時,|AB|取最小值31/39【易錯誤區】求點坐標時忽略解討論致誤【典例】(·臨沂模擬)已知點P在z軸上，且滿足|OP|=1(O為坐標原點)，則點P到點A(1,1,1)距離為________.【解題指南】先確定點P坐標，然后利用兩點間距離公式求解即可.32/39【規范解答】設點P坐標為(0,0,z)，由|OP|=1得=|z|=1，故z=±1.當z=1時，點P坐標為(0,0,1),當z=-1時，點P坐標為(0,0,-1),答案：33/39【閱卷人點撥】經過閱卷數據分析與總結，我們能夠得到以下誤區警示和備考提議：誤區警示

在解答本題時有兩點輕易造成失誤：(1)忽略對點P坐標討論而丟失一個解；(2)不能分析點P特點，造成引入參數較多而無法解題.34/39備考建議

本節主要內容為空間坐標系基礎知識，高考對這部分內容考查較少，所以備考時要重視怎樣恰當地建立空間直角坐標系、怎樣確定點坐標以及怎樣利用兩點間距離公式處理相關問題.35/391.(·合肥模擬)已知點A(-3,0,-4)，點A關于原點對稱點為B，則|AB|等于()(A)12(B)9(C)25(D)10【解析】選D.由題意知點B坐標為(3,0,4),故36/392.(·福州模擬)在坐標平面xOy上，到點A(3,2,5)，B(3,5,1)距離相等點有()(A)1個(B)2個(C)不存在(D)無數個【解析】選D.在坐標平面xOy內，可設點P(x,y,0)，由題意得解得所以符合條件點有沒有數個.37/393.(·揚州模擬)正方體不在同一表面上兩個頂點為A(-1,2,-1)，B(3,-2,3),則正方體體積為()