第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年山東省濟南市歷城第一中學高一下學期第一次階段性測試數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知一組數據12,17,15,x,20的平均數為16，則這組數據的第60百分位數為(

)A.17 B.16.5 C.16 D.15.52.若復數z=a?i1+ia∈R是純虛數，則A.?1 B.?i C.i D.13.如圖所示，在?ABC中，點D是線段AC上靠近A的三等分點，點E是線段AB的中點，則DE=(

)

A.?13BA?16BC B.4.已知非零向量a，b滿足|a|=3|b|，cosaA.?3 B.?13 C.?2 5.已知在△ABC中，a=x,b=2,B=45°，若三角形有兩解，則x的取值范圍是(

)A.x>2 B.x<2 C.6.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a?b=ccosB?ccosA，則△ABCA.等腰三角形 B.等邊三角形

C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形7.嵩岳寺塔位于河南鄭州登封市嵩岳寺內，歷經1400多年風雨侵蝕，仍巍然屹立，是中國現存最早的磚塔.如圖，為測量塔的總高度AB，選取與塔底B在同一水平面內的兩個測量基點C與D，現測得∠BCD=30°，∠BDC=45°，CD=4，在C點測得塔頂A的仰角為60A.12?42 B.12?43 C.8.?ABC中，AB=2，∠ACB=π4，O是?A.1 B.2+1 C.3 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.某高中有學生500人，其中男生300人，女生200人，為獲得該校學生的身高(單位：cm)信息，按比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取一個樣本量為50的樣本.經計算得到樣本中男生身高的平均數為170，方差為17；女生身高的平均數力160，方差30.下列說法中正確的是(

)A.樣本中男生的人數為30 B.每個女生入樣的概率均為25

C.樣本的平均數為166 D.樣本的方差為10.設z1，z2是復數，則下列說法正確的是(

)A.若z1是純虛數，則z12<0 B.若z12+z22=0，則z11.對于△ABC，其外心為O，重心為G，垂心為H，則下列結論正確的是(

)A.OA?OB=OA?OC=OB?OC

B.AO?AB=12AB2

C.向量AH與AB|AB|cosB三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.將容量為n的樣本中的數據分成6組，繪制頻率分布直方圖.若第一組至第六組數據的頻率之比為2:3:4:6:413.在?ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，且asinB=3bcosA.若14.在?ABC中，AC=2，D為AB的中點，CD=12BC=7，P為CD上一點，且AP四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分在復平面內，復數z對應的點的坐標為(m,?1)(m∈R)，且z(1+3i)(1)求m的值；(2)復數z1=a+i16.(本小題15分)在2025年八省聯考結束后，某學校為了解高三學生的聯考情況，隨機抽取了100名學生的聯考數學成績作為樣本，并按照分數段[50,70),(1)求出圖中a的值并估計本次考試及格率(“及格率”指得分為90分及以上的學生所占比例)；(2)估計該校學生聯考數學成績的第80百分位數；(3)估計該校學生聯考數學成績的眾數、平均數．17.(本小題15分已知?ABC的內角A，B，C所對邊分別為a，b，c，?ABC的面積為2(1)求cosA(2)若bsinB+csinC=418.(本小題17分如圖，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AD⊥AB，AB=AD=2CD=4，

(1)求AE?(2)連接BD，交AE于點M，求AM；(3)若P1，P2，P3，…，Pn為BC邊上的n+1等分點，當n=10019.(本小題17分在?ABC中，∠A,∠(1)求A；(2)奧古斯丁?路易斯?柯西，法國著名數學家.柯西在數學領域有非常高的造詣.很多數學的定理和公式都以他的名字來命名，如柯西不等式?柯西積分公式.其中柯西不等式在解決不等式證明的有關問題中有著廣泛的應用．①用向量證明二維柯西不等式：x1②已知三維分式型柯西不等式：y1,y2,y3∈R?,x12y1+x2參考答案1.B

2.C

3.B

4.D

5.C

6.D

7.B

8.C

9.AC

10.ACD

11.BCD

12.120

13.21

14.1915.解：(1)復數z=m?i(m∈R)，且z?(1+3i)=(m+解得m=3．(2)i復數z1∴解得a>3．∴實數a的取值范圍是

16.解：(1)由頻率分布直方圖的性質，可得(0.004+a+0.013+0.014+0.016)×20=1，解得所以及格率為(0.016+0.014+0.003)×(2)得分在110分以下的學生所占比例為(0.004+0.013+0.016)×得分在130分以下的學生所占比例為0.66+0.014×所以第80百分位數位于[110,130)由110+20×0.8?0.660.94?0.66=120，估計第(3)由圖可得，眾數估計值為100分．平均數估計值為0.08×60+0.26×17.解：(1)根據余弦定理可得，3a?a2所以cosA=(2)因為0<A<π又?ABC的面積為22，所以1因為bsinB+csin又b2+c2?所以b2所以(b+c)2=所以?ABC的周長為a+b+c=2+2

18.解：(1)因為AB⊥AD，所以以A為坐標原點，AB為x軸，AD為建立如圖所示平面直角坐標系，則A(0,0),B(4,0),C(2,4),E(3,2)，AE=(3,2),BE=(?1,2)

(2)設AM=λAE,AM?BM=λ所以(4,0)=λ(3,2)?μ(?4,4)=(3λ+4μ,2λ?4μ)，所以3λ+4μ=42λ?4μ=0，解得所以|AM(3)在?MBC中，因為E為BC中點，所以MC又因為P1,P2,MP所以MP所以M由(2)得ME=所以ME?所以MP19.解：(1)在?ABC中，b由正弦定理得，sinB因為A∈0,π所以sinB+所以sinBcosA+因為A+B=π所以sinC=2因為C∈0,π故cosA=12，又A(2)①設a=x1,y從而x1x2②T=|AB|又S?∴c由三維分式型