高級中學名校試題PAGEPAGE1新疆維吾爾自治區多校2025屆高三第二次模擬考試數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若為純虛數，則實數的取值集合為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由為純虛數，得且，解得.驗證符合題意，故選：C2.函數的值域為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】易知為減函數，所以.所以函數的值域為，故選：A3.若方程表示一個圓，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由，得，解得.故選：D4.在中，，，，，則（）A.2 B.3 C. D.【答案】B【解析】由余弦定理得，代入數據，得.因為，解得：.故選：B5.現給出四個函數①，②，③，④，其中所有周期函數的序號是（）A.①② B.③④ C.①②④ D.①②③④【答案】C【解析】對于③，因為偶函數，其圖象關于軸對稱，又是周期為的奇函數，故不是周期函數；對于④，是周期為的函數；對于①，易知是周期為的函數；對于②，由可知是周期為的函數.故所有周期函數的序號是①②④.故選：C.6.已知三棱錐的每個頂點都在球的球面上，底面為正三角形，底面，，且與底面所成的角為，則球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為底面，所以與底面所成的角為，則，又因為，所以.設為的外心，因為底面為正三角形，所以，所以球的半徑，球的表面積為.故選：A.7.甲、乙、丙三人各自計劃去河南洛陽旅游，他們在3月25日到3月27日這三天中的一天到達河南洛陽，他們在哪一天到達河南洛陽相互獨立，互不影響，且他們各自在3月25日、3月26日、3月27日到達河南洛陽的概率如下表所示：到達日期3月25日.3月26日3月27日0.30.40.30.40.50.10.20.305設甲、乙兩人在同一天到達河南洛陽的概率為，甲、丙兩人在同一天到達河南洛陽的概率為，乙、丙兩人在同一天到達河南洛陽的概率為，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意可知：，，，故.故選：A8.一架天平平衡時的軸截面示意圖如圖所示，，，，，和都是邊長為1的正三角形.當天平兩邊的重量發生變化時，繞點轉動（逆時針方向為正方向），轉動角度.在轉動過程中，和始終都與平行，且圖中，，，，，，，，，這10個點始終共面，則在轉動過程中，的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如圖，以為坐標原點，所在直線為軸建立平面直角坐標系，則，.由題意可得，，，，所以，，則.因為，所以，故.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知雙曲線，且，，則（）A.直線與有2個交點B.直線與有2個交點C.上存在無數個點，使得為定值D.上僅存在4個點，使得為定值【答案】AC【解析】，為的兩個焦點，由雙曲線的定義可知C正確，D錯誤.因為的漸近線的斜率為，直線斜率，所以直線與有2個交點，直線與僅有1個交點，A正確，B錯誤.故選：AC.10.若函數，，則（）A.B.當時，的取值范圍是C.不論為何值，總有3個零點D.當為奇函數時，的最小值是【答案】ACD【解析】因為，所以，A正確.當時，，則的取值范圍是，B錯誤.因為，,又，，所以二次方程有兩個異于0的實根，C正確.當為奇函數時，，則，，若，則，在單調遞減，若，則，在單調遞增，所以在上的最小值為，易知為偶函數，當時，，所以的最小值是，D正確.故選：ACD11.若圖的關聯結點（加黑的粗點）構成的點集記為，可劃分為兩個子集和，，，且圖中每一條邊的一個關聯結點在中，另一個關聯結點必在中，則將圖稱為偶圖.下列四個圖為偶圖的是（）A.B.C. D.【答案】ABD【解析】對于選項A，當，時，圖中每一條邊的一個關聯結點在中，另一個關聯結點必在中，A正確.對于選項B，當，時，圖中每一條邊的一個關聯結點在中，另一個關聯結點必在中，B正確.對于選項C，圖中出現了，則該三角形必然有一條邊的兩個頂點在一個子集內，這顯然不符合偶圖的定義，C錯誤.對于選項D，當，時，圖中每一條邊的一個關聯結點在中，另一個關聯結點必在中，D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.用0，1，4，6，7可以組成__________個無重復數字的五位數.【答案】96【解析】第一步：有的排法，第二步，剩余4個元素有中排列，所以共有個無重復數字的五位數.故答案為：9613.如圖，直線經過拋物線的焦點，點（位于第一象限）在上，點（位于第四象限）在的準線上，且，則直線的斜率為__________.【答案】【解析】過點作準線的垂線，垂足為.根據拋物線的定義可知.設，則，，故.故答案為：14.設為銳角，則的最小值為__________，此時__________.【答案】①.121②.【解析】，當且僅當，即，即（為銳角）時，等號成立，所以的最小值為121，此時.故答案為：121；四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.新能源汽車充電站作為新能源汽車發展的重要基礎設施，在城市交通的可持續發展中起著關鍵作用.現有20個新能源汽車充電站的日使用次數的頻率分布直方圖，如圖所示，其中各組區間為，，，，.（1）根據頻率分布直方圖，求的值，并求日使用次數在內的充電站個數；（2）從這20個充電站中任取2個，設這2個充電站中日使用次數在內的有個，求的分布列和期望.解：（1）由頻率和為1，可得，解得.因為日使用次數在內的頻率為，所以日使用次數在內的充電站個數為.（2）所有可能的取值為0，1，2.，，，所以的分布列為012故.16.定義“窄度數列”：若一個數列中任意兩項差均小于，則稱該數列為“窄度數列”.（1）試問數列是否為“1000窄度數列”？（無需說明理由）（2）若數列的前項和為，證明：數列為“1窄度數列”.（3）若數列為等比數列，且，求數列的通項公式，并證明為“窄度數列”.（1）解：數列不是“1000窄度數列”.取分別取，此時，故不是；（2）證明：，.因為，所以，所以數列中任意兩項的差均小于1，故數列為“1窄度數列”.（3）解：因為，所以，，所以等比數列的公比為，則，則.因為，當且僅當時，等號成立，所以數列從第二項起為遞增數列.又，，所以，所以數列中任意兩項差均小于，所以數列為“窄度數列”.17.已知函數.（1）求曲線在點處的切線方程.（2）證明：無極值.（3）若對任意恒成立，求的取值范圍.（1）解：，則.因為，所以曲線在點處的切線方程為.（2）證明：令的導數為.當時，，單調遞減；當時，，單調遞增.所以，所以在上為增函數，故無極值.（3）解：由，得.設，則，的導數為，所以為增函數，所以.當時，，，則為增函數，則，所以符合題意.當時，，設，，則在上單調遞減，在上單調遞增，所以，這與矛盾，所以不符合題意.綜上，的取值范圍是.18.已知橢圓的離心率為，的長軸為橢圓的短軸.（1）求的方程；（2）若直線與交于，兩點，且，求；（3）若直線與交于，兩點，與軸垂直，且線段的中點在軸上，證明：直線過定點.（1）解：因為長軸為橢圓的短軸，所以.又的離心率為，所以，解得，故的方程為.（2）解：設，.將代入，得，則，即，，，所以，解得.（3）證明：設，，則.因為直線過定點，且點在的內部，所以直線與總有兩個不同的交點.將代入，得，則，.因為直線的斜率為，所以直線的方程為，令，得因為，所以直線過定點.19.如圖，在正方體中，，均為線段上的動點（不含端點），.（1）證明：.（2）設，，.（i）試探究是否為定值，并說明你的理由；（ii）求二面角的余弦值的取值范圍.（1）證明：連接，，.在正方體中，平面，在平面，則.又，，都在平面內，所以平面，又在平面，所以.同理可得，因為，都在平面內，所以平面.又因為平面，所以.（2）解：（i）連接，.設，則，易知是正三